概率-独立事件

在概率,两事件是独立的如果一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率。如果一个事件发生做影响其他事件的概率，则事件是依赖．

有一个红色的六面均匀骰子和一个蓝色的六面均匀骰子。两个骰子同时掷出。让 $一个$为红骰子结果为偶数的事件。让 $B$就是蓝色骰子的结果是奇数的事件。这些事件是独立的吗?

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考虑在红色骰子上掷出偶数是否会影响蓝色骰子掷出奇数。红色骰子的结果对蓝色骰子的结果没有影响。同样，蓝色骰子的结果不会影响红色骰子的结果。

$P (A) = \ dfrac {1} {2}$不管 $B$发生与否。

$P (B) = \ dfrac {1} {2}$不管 $一个$发生与否。

因此，这些事件是独立的。

确定事件的独立性很重要，因为它通知是否应用规则的产品来计算概率。只要所处理的事件是独立的，使用乘积规则计算概率是相当简单的。计算相关事件的概率可能更有挑战性，也不那么直接。因此，考虑事件是否独立是很重要的，因为它影响解决问题的方法。

介绍中的示例演示了明显独立的事件。然而，确定事件是否独立有时是一个挑战。考虑下面的例子:

袋子里有3个绿色的弹珠和5个蓝色的弹珠。随机从袋子里抽出两颗弹珠。让 $G$当第一个弹珠是绿色的时候。让 $B$当第二个弹珠是蓝色的时候。这些事件是独立的吗?

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案例1： $G$发生

当第一个弹珠是绿色的时候，就有 $7$袋子里剩下的弹珠 $5$其中有蓝色的。在这种情况下, $P (B) = \ dfrac {5} {7}$．

案例2： $G$不会发生

当第一个弹珠是蓝色的时候，就有 $7$袋子里剩下的弹珠 $4$其中有蓝色的。在这种情况下, $P (B) = \ dfrac {4} {7}$．

的发病率 $G$影响 $B$．因此，这些事件是不独立的。换句话说，他们是依赖．

在前面的例子中，第一个弹珠会影响袋子里剩下的弹珠。当事件按顺序发生，并且事件的发生影响到下一个事件的样本空间时，事件将是相互依赖的。

事件不一定要按顺序发生才能相互依赖。考虑一下这个例子:

一场比赛有12匹马。奈奎斯特和夸张者就是其中的两匹马。每匹马获胜的机会均等。让 $一个$奈奎斯特赢得了比赛，让 $B$是夸大者赢得比赛的事件。这些事件是独立的吗?

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案例1： $一个$发生

如果奈奎斯特赢了，那就是夸张者不能赢得比赛。在这种情况下, $P (B) = 0$．

案例2： $一个$不会发生

如果奈奎斯特没有赢得比赛，那就有 $11$其他有可能赢得比赛的马，每一匹都有相同的获胜机会。夸张者就是其中之一，所以 $P (B) = \ dfrac {1} {11}$．

的发病率 $一个$影响 $B$．因此，事件是相互依赖的。

当试图确定事件是依赖还是独立时，考虑一个事件的发生率如何影响另一个事件的概率。如果概率受到影响，那么事件是相关的。如果对概率没有影响，那么事件是独立的。

的概念条件概率与独立事件的概念密切相关。您可能会注意到，前面的一些示例可以使用条件概率来重述。例如，在大理石的例子中，可以这样说 $P (B \中期G) = \ dfrac {5} {7}$和 $P (B \ G) =中期\ dfrac {4} {7}$．

通过对条件概率的理解，独立事件和依赖事件的定义可以重新表述:

两个事件 $一个$和 $B$是独立的如果:

$P (A \中期)= P(中期\ B”)$和 $P (B \中期)= P (B \“中期)$

两个事件 $一个$和 $B$是依赖如果:

$P(A\mid B)\ne (A\mid B')$或 $P(B\mid A') \ne (B\mid A')$

请注意： $一个“$和 $B”$是补充的 $一个$和 $B$,分别。

由于相关事件的性质，在概率方面有一些结果可能会令人惊讶。有时，事件被描述得似乎没有关联。然而，进一步的分析表明，存在一定的相关性，这对概率有影响。

一对夫妇有两个孩子。两个孩子都是男孩的概率是多少，假设其中一个孩子是男孩?

假设当一个孩子出生时，男孩和女孩的机会是一样的。

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在这个问题上一个常见的错误是假设一个孩子是男孩，另一个孩子只是有一个 $\ dfrac {1} {2}$成为男孩的机会。然而，这个解决方案忽略了条件概率是如何定义的，它也忽略了问题中描述的事件的依赖性。实际的解决方案更令人惊讶。

让 $年代$为本实验的样本空间。让 $B$代表一个男孩 $G$代表一个女孩，出生的顺序很重要。 $S = \ {BB, BG, GB, GG \}$．

让 $C$因为两个孩子都是男孩。 $C = \ {BB \}$．

让 $D$如果这些孩子中有一个是男孩，你就会生气。 $D = \ {BB, BG, GB \}$

$C \ cap D = \ {BB \}$．

样本空间是均匀的，所以 $P (C \中期D) = \ dfrac {| C \帽D |} {D | |} = \ dfrac {1} {3}$

因此，如果两个孩子中有一个是男孩，那么两个孩子都是男孩的概率是 $\盒装{\ dfrac {1} {3}}$．

这个解决方案可能看起来不直观，但它可以用现实世界的证据来证明。如果你发现很多家庭正好有两个孩子，其中至少有一个是男孩，那么粗略地说 $\ dfrac {1} {3}$这些家庭中有两个男孩。

这个结果如此令人惊讶的部分原因是这些事件 $C$和 $D$是相关的。 $P (C \中期D ') = 0$,所以 $P(C\mid D') \ne (C\mid D')$．知道一个孩子是男孩，会对两个孩子都是男孩的概率产生戏剧性的影响。

让 $一个$， $B$, $C$顺其自然，顺其自然互相独立．也就是说，每一对事件是独立的: $一个$和 $B$是独立的, $一个$和 $C$是独立的, $B$和 $C$是独立的。这是否意味着 $一个$， $B$, $C$是相互独立的?不幸的是，两个以上事件的相互独立有更严格的要求:

给定一组两个以上的事件，事件集是互相独立的如果每个事件都是独立的十字路口其他事件。

如果连一个独立性都不满足，那么一系列事件就会满足相互依赖．

掷两个公平的六面骰子，一个红色，一个蓝色。让 $一个$是红骰子结果为3的事件。让 $B$是蓝色骰子结果为4的事件。让 $C$如果滚动的总和是7。是 $一个$， $B$, $C$互相独立的?

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$P (A \中期)= \ dfrac {1} {6}$和 $P(中期\ B”)= \ dfrac {1} {6}$．因此, $一个$和 $B$是独立的。

$P(中期\ C) = \ dfrac {1} {6}$和 $P() = \ \中期C”dfrac {1} {6}$．因此, $一个$和 $C$是独立的。

$P (B \中期C) = \ dfrac {1} {6}$和 $P (B) = \ \中期C”dfrac {1} {6}$．因此, $B$和 $C$是独立的。

这些事件是成对独立的。然而，为了使所有三个事件相互独立，每个事件必须与其他事件的每个交集独立。

$P \离开(B \帽C)中期(\ \)= 1$和 $P \离开(B \帽C)中期(\ ' \右)= \ dfrac {1} {7}$

它们不相等，所以 $一个$， $B$, $C$是相互依赖。

在前面的例子中，在给定事件的情况下，人们可能会怀疑发生了可疑的事情 $C$包括两种掷骰子。鉴于此，我们通常会怀疑是否能找到独立的事件 $C$．事实证明，这是巧合，这些事件对满足独立的定义。

相互独立性的定义与规则的产品，因为产品规则需要独立的事件。在前面的例子中，如果我们(错误地)试图获取 $P (C B \ \帽帽)$根据乘积法则，得到 $\ dfrac {1} {216}$．然而，事件交集的正确概率是 $P (B \ \帽帽C) = \ dfrac {1} {36}$．

下面的定理有时可以作为“完备性检查”来确保你正确地应用了独立性原则:

一系列事件 $\ {A_1, \点,an \}$是相互独立的，当且仅当，对于每个事件子集，这些事件的交集概率等于这些事件的概率的乘积。

两个随机变量 $X$和 $Y$被称为独立的如果，为了任何结果 $一个$和 $b$，

$P(X = a \text{and} Y = b) = P(X = a) \cdot P(Y = b)。$

更笼统地说，是一个集合 $X_1、\ ldots X_n$任意结果的随机变量称为独立变量 $\{a_i\}_{1\ I \ n}$，

$P \离开(\ bigcap_ {i = 1} ^ {n} (X_i = ai) \右)= \ prod_ {i = 1} ^ {n} P (X_i = ai)。\ _ \广场$注意: $\ bigcap$是一个系列的交叉符号，和 $\刺激$是某系列产品的符号。

作为这个定义的应用，我们可以证明 $\ mathbb {E} [X \ cdot Y] = \ mathbb {E} [X] \ cdot \ mathbb {E} [Y]$如果 $X$和 $Y$是独立的随机变量。这非常有用;线性的期望意味着 $mathbb{E}[X+Y] = mathbb{E}[X] + mathbb{E}[Y]$不管 $X$和 $Y$是独立的还是依赖的 $\ mathbb {E} [X \ cdot Y] \ neq \ mathbb {E} [X] \ cdot \ mathbb {E} [Y]。$

如果 $X$和 $Y$是独立的随机变量吗 $\ mathbb {E} [X \ cdot Y] = \ mathbb {E} [X] \ cdot \ mathbb {E} [Y]$．

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假设 $X$就值 $a_1, \ ldots an$和 $Y$就值 $b_1、\ ldots b_m$．根据期望的定义，

$\ mathbb {E} [X \ cdot Y] = \ sum_ {i, j} P (X = ai \文本{和}Y = b_j) ai b_j。$

自 $X$和 $Y$是独立的, $P (X = ai \文本{和}Y = b_j) = P (X = ai) \ cdot P (Y = b_j)$接下来就是

$\开始{对齐}\ mathbb {E} [X \ cdot Y] & = \ sum_ {i, j} P (X = ai) \ cdot P (Y = b_j) ai b_j \ \ & = \离开(\ sum_{我}P (X = ai) ai \) \离开(\ sum_ {j} P (Y = b_j) b_j \) \ \ & = \ mathbb {E} [X] \ cdot \ mathbb {E} [Y]。\ \ _ \广场结束{对齐}$

概率-乘积法则

条件概率