绝对值
的绝对值的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数" target="_blank">实数这个数字的距离是多少 在一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sat-number-line/" class="wiki_link" title="数轴" target="_blank">数轴.的绝对值 写为 例如,
这是一个特例<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers-absolute-values/" class="wiki_link" title="复数的大小" target="_blank">复数的大小.
在阅读本页之前,您应该了解如何<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/evaluate-equations-at-specific-values/" class="wiki_link" title="表达式求值" target="_blank">表达式求值.如果你想解带有绝对值的方程,请参见<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/absolute-value-equations/" class="wiki_link" title="绝对值方程" target="_blank">绝对值方程.
绝对值的定义
思考要点 而且 在数轴上假设 而且
比较这两个数字,我们可以很容易地说 仅仅因为 是正的 是负的。如果我们不关心符号而只关心每个数字到0的距离会怎样?然后我们说 或 在哪里 是绝对值的值的符号 而且 不考虑他们的迹象。因此定义如下:
对于任何实数 我们定义它绝对值 如下:
那么为什么是绝对值呢?什么时候我们只考虑与零的偏差?假设你的房子位于东西向的公路上,而你停在车道上的车被偷了。如果小偷离得够近,你就想自己出去抓住他。否则,你会报警的。根据所收集到的情报,据说那个偷车贼已经开车往东走了 迈尔斯,不知出于什么原因,掉头向西行驶 英里。
东为正,西为负,盗贼目前在 一英里以外,也就是他的位置 在你家西边一英里处。但是,请记住,在决定是自己出门还是报警时,你唯一要考虑的因素是小偷与你房子的距离,无论方向如何。那么此时此刻与你相关的计算就是 而不是 例如,这就是绝对值发挥作用的地方。有意义吗?
绝对值的性质
现在,让我们考虑一些更有趣的事情。失窃的车离你家有多远 大于汽车行驶的距离 去那里?我们从上面知道,汽车到你家的距离是 英里。因为汽车行驶的距离是 问题的答案 是否定的。
如果小偷往东走得更远,而不是掉头向西,因为 英里?你的回答仍然是“不”吗?让我们看看。在这种情况下,汽车到你家的距离是英里 而汽车行驶的距离以英里为单位是
因为这两个数字相等,所以上述问题的答案仍然是否定的。也就是说,你偷来的车离你家的距离永远不可能大于车开到你家的距离。一般来说,对于任何实数 而且 这是以下内容的一部分:
绝对值的性质:
- 当且仅当 或
- 对于任何正整数
- 如果
下面是一些使用上述属性计算绝对值的例子:
计算
我们有
计算
的数量 而且 是正的,所以当绝对条下降时,它们保持不变。然而,由于 是负的,我们有吗
评估
我们有
找到…的价值 用分数的最低项表示你的答案。
我们有
绝对值的图形解释
现在,是时候对绝对值进行图形化解释了。请看下面的图表
你看到它完全是根据绝对值的定义和的值画出来的吗 总是非负的?你看到那条红色虚线了吗 为 是翻转过来的 的负值 成为积极的?
关于偷车贼的例子,让我们说,如果坏人在车里,车主想自己出去抓小偷 离他家几英里远。在第一种情况下,小偷最终 在他家西边一英里处 小偷就是这样 离家一英里远的地方,他不叫警察,而是自己出去。相反,在第二种情况下,小偷最终 在他家东边几英里处 小偷就是这样 在离家几英里远的地方,他会报警。
现在,如果车主的房子在 而不是 一开始和偷车贼表现得一样吗?图形看起来会有多大不同?答案就在下面:
因为房子位于 在这种新情况下,第一种情况下的小偷没有被杀死 但 以东数英里 所以他到房主房子的距离是 英里。 如果你注意到这一点,你就明白了 在上面的例子中可以认为是
在第二种情况下,小偷最终没有 但 以东数英里 所以他到房主房子的距离是 英里。因此上图的方程为 红色虚线在哪里,这是图像 为 是翻转过来的 设在在 因为基准点就是现在 而不是
现在我们知道如何得到 这是 形状,我们试着求一个 形图。要做到这一点,我们首先平移 通过 在负方向 -轴,如下图所示,平移后的图方程为
然后我们会问,什么图形 看起来像什么?”因为所有的值 为 在图中 为负时,我们将图像的这一部分翻转,得到以下结果,就像我们上面所做的那样:
你真的看到了吗 形状图形?一个自然出现在你脑海里的问题是如何画出 从头开始,不参考小偷的例子。我们可以用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-inequalities/" class="wiki_link" title="线性不等式" target="_blank">线性不等式要做到这一点。
从方程中观察 ,如果 然后 可以更详细地改写为以下两种情况: 你能否证实 对应于上面的图 而且 对应于上面的图 我想你已经说过了。
类似地,从方程中观察 ,如果 然后 这相当于 可以更详细地改写为以下两种情况: 你能否再次证实 对应于上面的图 而且 对应于上面的图 我相信你已经做到了。
现在,是时候让你尝试一些例子了。
下面哪个是的图 为
如果 然后 这意味着 如果 然后 这意味着 因此,正确的答案是
下列哪个条件不总是满足
(一) 是一个非负实数。
(b) 是正实数。
(c) 为正整数。
(d) 是一个非零实数。
如果 然后 这意味着 适用于所有非负实数。因此, 而且 总是满足
如果 然后 这意味着 从不坚持
因此,正确的答案是
求绝对值表达式
考虑到 是不是非零实数,求出所有可能值的表达式 .
自 对于任何 而且 对于任何 ,
如果 都是负的;
如果恰好有两个 是消极的;
如果恰好是其中之一 是负的;
如果 都是积极的。
因此,给定表达式的可能值为 而且
绝对值问题解决-基本
解方程
我们需要讨论三种情况:
当 ,
当 ,
任何 是一个解。当 ,
但既然我们假设 ,这种情况没有解决办法 .总之,方程的解 是 .
绝对值问题解决-中间
求的最小值 .
案例1:当 ,
案例2:当 ,
案例3:当 ,
案例4:当 ,
因此,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/global-extrema/" class="wiki_link" title="全球最低" target="_blank">全球最低的值为4.