切瓦定理
切瓦定理是欧几里得平面几何中关于三角形的一个定理。它是一个三角形的边长除以海鳗的比率。
曼纽拉斯定理使用非常相似的结构。这两个定理在奥林匹克几何中都非常有用。
切瓦定理在证明三角形中切瓦的同时性方面很有用,在奥林匹德几何中得到了广泛的应用。
声明
给定一个三角形 与一个点 在三角形内,继续画线 达到 在 分别。
切瓦定理州
切瓦定理的反面也是正确的:如果 在国 分别为, ,然后行 在某一点上是并发的吗 .
切瓦定理的证明
对于Ceva定理有各种各样的证明。在这个维基里,我们要用三角形的面积来证明它。
请注意,
因为 和 高度相同(最后两个三角形也是)。
通过用第一个等式减去第二个等式的三角形面积,我们得到
同样的,
把前面三个方程相乘,我们得到
实践问题
证明,如果 都是两边的中点,这三个cevian是并发的。
在这种情况下, 是它们各自边的中点。因此, 和 所以它立即满足Ceva定理,证明了交点的存在,也就是质心。
证明垂直于相对边的动物是共扼的。
让 成为脚下的高度。
请注意, 类似地, .因此,
这三个方程相乘得到
重新排列左边得到
因此,这三个高度重合在一个点上,即圆心。