坐标几何-角等分线gydF4y2Ba

在gydF4y2Ba几何坐标gydF4y2Ba的方程gydF4y2Ba角平分线gydF4y2Ba可以用这些线来表示。gydF4y2Ba

角平分线gydF4y2Ba在构造gydF4y2Ba内心gydF4y2Ba在几何学的其他应用中。gydF4y2Ba

$$ $$

让线gydF4y2Ba $ABgydF4y2Ba$由方程定义gydF4y2Ba $a_1x + b_1y + c₁= 0gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $CDgydF4y2Ba$由方程定义gydF4y2Ba $a_2x + b_2y + c₂= 0gydF4y2Ba$．只要这些线不是gydF4y2Ba平行线gydF4y2Ba(在这种情况下，“角平分线”不存在)，这两条线相交于某一点gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

注意，这定义了两个独立的角(不是四个，而是两对)gydF4y2Ba垂直的角度gydF4y2Ba是相等的):gydF4y2Ba $AMC \角gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $BMC \角gydF4y2Ba$．让gydF4y2Ba $国会议员gydF4y2Ba$的角等分线gydF4y2Ba $AMC \角gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $MQgydF4y2Ba$的角等分线gydF4y2Ba $BMC \角gydF4y2Ba$．然后,gydF4y2Ba

$国会议员gydF4y2Ba$(位于原点的角等分线)可以用这个方程来定义gydF4y2Ba

$\压裂{a_1x + b_1y + c₁}{\√6{一个^ {2}_1 + b ^{2} _1}} = \压裂{a_2x + b_2y + c₂}{\√6{一个^ {2}_2 + b ^ {2} _2}},gydF4y2Ba$

和gydF4y2Ba

$MQgydF4y2Ba$(不位于原点的角等分线)可以定义为gydF4y2Ba

$\压裂{a_1x + b_1y + c₁}{\√6{一个^ {2}_1 + b ^{2} _1}} = - \压裂{a_2x + b_2y + c₂}{\√6{一个^ {2}_2 + b ^{2} _2}}。gydF4y2Ba$

注意这些方程实际上是相同的;一个只是另一个的“否定”。这并不奇怪，因为两个角的等分线是必然的gydF4y2Ba垂直的直线gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $国会议员gydF4y2Ba$的角等分线gydF4y2Ba $AMC \角gydF4y2Ba$,让gydF4y2Ba $R = (h, k)gydF4y2Ba$是这个平分线上的一个点。让gydF4y2Ba $l1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $l2gydF4y2Ba$是两条垂线的脚gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $ABgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $CDgydF4y2Ba$,分别。然后三角形gydF4y2Ba $MRL_1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $MRL_2gydF4y2Ba$在所有方面都是一致和平等的。因此,gydF4y2Ba $RL_1 = RL_2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

由gydF4y2Ba点与线之间的距离gydF4y2Ba公式,gydF4y2Ba

$\{对齐}RL_1开始& = \压裂{| a_1h + b_1k + c₁|}{\√6{一个^ {2}_1 + b ^ {2} _1}} \ \ \ \ RL_2 & = \压裂{| a_2h + b_2k + c₂|}{\√6{一个^ {2}_2 + b ^{2} _2}}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

WLOG,假设gydF4y2Ba $国会议员gydF4y2Ba$躺在…的同一边gydF4y2Ba $AB、CDgydF4y2Ba$就像原点一样gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$别的,交换gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $问)gydF4y2Ba$．注意，这意味着gydF4y2Ba $a_1h + b_1k + c₁gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $a_2h + b_2k + c_2kgydF4y2Ba$将有相同的符号gydF4y2Ba $c₁gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $c₂gydF4y2Ba$分别将。假设gydF4y2Ba $c₁gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $c₂gydF4y2Ba$有相同的符号gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$其他的,再交换gydF4y2Ba $PgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $问)gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $a_1h + b_1k + c₁gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $a_2h + b_2k + c₂gydF4y2Ba$两个符号相同。因此gydF4y2Ba

$\压裂{a_1h + b_1k + c₁}{\√6{一个^ {2}_1 + b ^{2} _1}} = \压裂{a_2h + b_2k + c₂}{\√6{一个^ {2}_2 + b ^ {2} _2}}gydF4y2Ba$

对所有gydF4y2Ba $R \议员gydF4y2Ba$．把这一切都表现出来要容易得多gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$满足以上所述gydF4y2Ba $国会议员gydF4y2Ba$把步骤反过来，方程gydF4y2Ba $国会议员gydF4y2Ba$正是如上所述。gydF4y2Ba

在另一种情况下，符号gydF4y2Ba $a_1h + b_1k + c₁gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $a_2h + b_2k + c₂gydF4y2Ba$就不一样了，所以呢gydF4y2Ba

$\压裂{a_1h + b_1k + c₁}{\√6{一个^ {2}_1 + b ^{2} _1}} = - \压裂{a_2h + b_2k + c₂}{\√6{一个^ {2}_2 + b ^ {2} _2}},gydF4y2Ba$

给出的方程是gydF4y2Ba $MQgydF4y2Ba$,如预期。gydF4y2Ba

假设我们有一对直线gydF4y2Ba

$ax ^ 2 + 2 hxy + ^ 2 = 0文本{或}\四\ \四\压裂{一}{b} x ^ 2 + \压裂{2 h} {b} xy + y ^ 2 = 0 \ \ (b \ ne 0),gydF4y2Ba$

可以用哪种形式写gydF4y2Ba $(mx-y) (m 'x-y) = 0gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $毫米' = \压裂{一}{b}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $m + m ' = \压裂{2 h} {b}gydF4y2Ba$．我们指的是夹角gydF4y2Ba $mx = ygydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $m 'x = ygydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$分别设在gydF4y2Ba $\φgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $φ\ 'gydF4y2Ba$．两个角的等分线，一个在外面，一个在里面，是互相垂直的。所以内角等分线和外角等分线之间的角gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$-axis可以表示为gydF4y2Ba $φ\压裂{\ ' +φ\}{2}gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $φ\压裂{\ ' + \φ+ \π}{2}gydF4y2Ba$,分别。gydF4y2Ba

现在回想一下下面的三角恒等式gydF4y2Ba

$\ tan(\ \α+β)= \压裂{\ tanα(\)+ \ tan(\β)}{1 - \ tanα)(\ \ tan(\β)}。gydF4y2Ba$

利用这个关系,gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ tan(\ ' +φ\φ)& = \压裂{\ tan(\φ)+ \ tan(φ\ ')}{1 - \ tanφ(\)\ tan(\φ ')} \\ &= \ 压裂{m + m '}{1毫米 '} \\ &= \ 压裂{2 h} {b}。结束\ qquad(1) \{对齐}gydF4y2Ba$

假设有一个点gydF4y2Ba $(x, y)gydF4y2Ba$在其中一条角平分线上用红色标出，这条平分线的角是相对于gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$设在gydF4y2Ba $\Phi_\text{bisector} = \frac{\Phi + \Phi'}{2}。gydF4y2Ba$

再一次，利用上面的三角关系，gydF4y2Ba

$\开始{对齐}\ tan(\ ' +φ\φ)= \ tan(文本\ Phi_ \{平分线}+文本\ Phi_ \{平分线})& = \压裂{\ tan(文本\ Phi_ \{平分线})+ \ tan(文本\ Phi_ \{平分线})}{1 - \ tan ({\ Phi_ \文本{平分线}})\ tan(文本\ Phi_ \{平分线 })} \\ &= \ 左(压裂{2 \ \压裂{y} {x} \右)}{1 -左(\ \压裂{y ^ 2} {x ^ 2} \ ) } \\ &= \ 压裂{2 xy} {x ^ 2 y ^ 2}。结束\ qquad(2) \{对齐}gydF4y2Ba$

等同gydF4y2Ba $(1）gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $（2）gydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始压裂{2 xy} {x ^ 2 y ^ 2} & = \压裂{2 h} {b} \ \ \ \ \压裂{xy} {h} & = \压裂{x ^ 2 y ^ 2} {a - b} \ \ \ \ hx ^ 2 - (a - b) xy - hy ^ 2 & = 0。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

但如果这两个角的平分线不在原点处相交呢?这是一个简单的问题，只用直线的次方程。首先，重新定位原点gydF4y2Ba $(p, q)gydF4y2Ba$，那么点的坐标就是gydF4y2Ba $(X, Y)gydF4y2Ba$,这是gydF4y2Ba $(xp y-q)gydF4y2Ba$．代入后，得到gydF4y2Ba

$\{对齐}开始hX ^ 2 - (a - b) XY - hY ^ 2 & = 0 \ \ h (xp) ^ 2 - (a - b) (xp) (y-q) - h (y-q) ^ 2 & = 0。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

扩展它是留给你的一个练习。记住它的膨胀形式是gydF4y2Ba $Ax ^2 +2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + cgydF4y2Ba$．检查是否gydF4y2Ba

$\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix}gydF4y2Ba$

为0，以确定所给方程为一对直线。gydF4y2Ba

• 角平分线定理gydF4y2Ba
• 点与线之间的距离gydF4y2Ba
• 内心gydF4y2Ba