球面几何学

球面几何学是研究位于球面上的几何物体的学科。球面几何原理类似于欧几里德几何其中仍然存在点、线和角。例如，球面上两点之间的“线”实际上是一个大圆球面的投影，也就是三维空间中直线在球面上的投影。

球形的身体

然而,它不同于典型的欧几里得几何在以下几个方面:

①没有平行线在球面几何中。事实上，所有的大圆都相交于两个对跖点。
三角形(每条边都是大圆的圆弧)的内角之和大于 $180$度。
③线段(大圆的圆弧)长度有界，球体表面的区域面积有界。

球面几何对于精确计算地球上的角度、面积和距离是有用的;天文学的研究，宇宙学、导航;和应用极射赤面投影贯穿复杂分析、线性代数和算术几何。不管他们是否知道，几乎每个人都有依赖球面几何的时候。只要想想绘制飞机航线的最佳方法。

两点之间的最小距离称为a测地线和是线段的球面模拟:大圆的圆弧。两点之间的距离是 $R \ varphi$,在那里 $R$球面的半径和 $\ varphi$是两点的半径所对应的圆心角的度量(以弧度为单位)。

最小距离是多少在球面上，以原点和半径为中心 $2$，点间 $\大(1，\，1，\，\sqrt{2}\大)$和 $\big(-1， \， 1， \， \sqrt{2}\big)?$

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的点积这两点的向量 $R^2 \cos \varphi = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + \根号{2}\cdot \根号{2}= 2$,这意味着 $\cos \varphi = \tfrac{1}{2}$．因此, $\varphi = \tfrac{\pi}{3}$，沿球面的距离为 $R \varphi = \frac{2\pi}{3}。\ _ \广场$

赤道的纬度是 $0 ^ {o} \文本。$找出它从北极测量的方位位置。

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红色弧表示方位角所对应的弧。

为了从北极到赤道，人们必须旅行 $\ frac14$绕地球周长的方式，所以赤道的方位位置是 $\ frac14$的 $360 ^ \文本{o}$或 $90 ^ {o} \文本。$

因为纬度是在赤道以外测量的，惯例实际上是 $90 ^ \文本{o}$从一个真实的方位测量。 $_ \广场$

一个球形三角形在旋转

两个测地线之间的夹角被认为是它们的大圆平面之间的夹角。该角度的测量是正常获得的，产生一个值之间 $0 ^ \保监会$和 $180 ^ \保监会$．

球面三角形是顶点在球面上，边是球面测地线的“三角形”。

如果一个球面三角形有测量角(以弧度为单位) $\α$， $β\$, $\γ$，那么它有面积 $(\alpha + \beta + \gamma - \pi) \cdot R^2$．所有多边形都可以由共享边的三角形创建。

一个圆在一个球面上具有与三维空间中的球面相同的边界:即平面与球面的交点。圆的内部是球面边界一侧的部分。有半径的圆 $r$在三维空间中，球面上有面积 $2\pi R \cdot \big(R \pm \√{R^2 - R^2}\big)，$这里的符号是由一个大圆是否包含在圆的内部决定的。

就像在地球上，直线最终会变成一个大圆，三角形实际上是一个球三角形一样，“线”指的是大圆，“三角形”指的是球三角形。

所有相似的三角形都相等。

这意味着角度完全描绘一个三角形!所以不存在大小不同的相似三角形。

给定一条直线 $l$，存在两个对跖点，任何直线都与之垂直 $l$必须通过。

记住一条线实际上是一个大圆，这就说得通了;对跖点也决定了垂直于大圆内部的直径。

将每个点与它的对跖点相对应，就产生了实点射影平面．

射影平面有助于提供一个更强的几何概念的理解，无论是在射影几何和欧几里得几何，和球几何和射影几何之间的联系产生了各种各样的结果，在复杂的和真实的数学。

投影 $\ \ (x, y, z) \ mapsto \离开(\压裂{x} {R - z},, \ \压裂{y} {R - z} \右)$是从球面上的点到实平面和无穷远点的双射光滑映射。这个投影保留了角度测量。

极射赤面投影具有各种其他良好的属性，有助于使球面几何更加强大。

通过选取不同的球面半径值，可以用球面几何解释三维笛卡尔空间 $R = \rho$．这一点 $(x， \， y， \， z)$可由下列公式转换为球坐标:

$\begin{aligned} x &= \rho \sin \theta \ y &= \rho \sin \varphi \sin \theta \ z &= \rho \cos \varphi。结束\{对齐}$

然后, $X²+ y²+ z²= \rho²$．在这里, $\ρ$表示球体的半径， $\ varphi$的角度 $z$设在, $\θ$的角度 $x$设在。请注意, $\θ$作用和极坐标．按照惯例，变量取满足的值 $\rho \ge 0$， $0 \le \theta < 2\pi$, $0 \le \varphi \le \pi$．除了原点以外，两者之间是一一对应的 $(x， \， y， \， z)$和 $(\rho， \theta， \， \varphi)$．

球坐标很有用，因为它们允许三重积分重写。例如，给定一个多变量函数 $F$，

$\int \int \int_E F(x, y, z) \， dV = \int \int \int_E \rho^2 \sin \varphi F(\rho \sin \varphi \sin \theta， \， \rho \cos \varphi) \， d\rho \， d\theta \， d\varphi。$

这允许计算更多类型的三重积分，并为某些情况提供了另一种方法旋转体积．

• 极坐标
• 球面谐波