球面几何学
球面几何学是研究位于球面上的几何物体的学科。球面几何原理类似于欧几里德几何其中仍然存在点、线和角。例如,球面上两点之间的一条“线”实际上是a大圆这也是三维空间中的一条线在球面上的投影。
然而,它不同于典型的欧几里德几何在以下几个方面:
①没有。平行线在球面几何学。事实上,所有的大圆都相交于两个对跖点。
三角形(每条边都是大圆的圆弧)的角加起来大于
度。
③线段(大圆的圆弧)有一定的长度,球面上的区域有一定的面积。
球面几何有助于精确计算地球上的角度、面积和距离;天文学的研究,宇宙学和导航;和应用的极射赤面投影贯穿复分析,线性代数和算术几何。不管他们是否知道,几乎每个人都有依赖于球面几何的时候。考虑一下绘制飞机航线的最佳方法。
距离
区域
两条测地线之间的夹角就是它们的大圆的两个平面之间的夹角。这个角度的测量是正常的,得到一个介于 而且 .
球面三角形是顶点在球面上,边是球面的测地线的“三角形”。
如果一个球面三角形有量角(以弧度为单位) , , ,那么它有面积 .所有的多边形都可以由共享边的三角形创建。
一个圆球面上的边界与三维空间中的球面的边界相同:即平面与球面的交点。圆的内部是球体在边界一侧的部分。有半径的圆 在三维空间中,球面上有面积 符号是由圆的内部是否包含一个大圆来决定的。
属性
就像在地球上,一条直线最终会变成一个大圆,而三角形实际上是一个球三角形一样,在这一节中,“线”指的是大圆,“三角形”指的是球三角形。
所有相似的三角形都是相等的。
这意味着角完全描述一个三角形!所以不存在大小不同的相似三角形。
给定一个线 ,存在两个对跖点,任何垂直的线都经过这两个对跖点 必须通过。
记住一条线实际上是一个大圆,这就更有意义了;对跖点也决定了与大圆内部垂直的直径。
确定每一个点与它的对跖点会产生实点射影平面.
射影平面有助于加深对几何概念的理解,无论是射影几何还是欧氏几何,球面几何和射影几何之间的联系在复杂数学和实数数学中产生了各种各样的结果。
投影 是一个从球面上的点到实平面和无穷远处的点的双射平滑映射。这个投影保留了角度测量。
极射赤面投影它还有其他一些很好的特性,可以使球面几何更加强大。