多重积分

一个多重积分是一般化的常规吗积分在一维中，多变量函数在高维空间中，如。

$\int \int f(x,y) \，dx \， dy，$

它是一个二维区域上的函数的积分。最常见的多重积分是二重积分和三重积分，分别涉及两个或三个变量。由于世界有三个空间维度，许多物理基本方程都涉及多重积分(例如，关于每个空间变量)。

所绘函数的二重积分对应于对应于该函数的曲面下所包含的体积。

通常，多个积分用一个积分符号来表示，但这种符号仍然暗示了积分的正确数量，如下所示:

$\ \: int f哒,\四\ \:int f d ^ 3 x, int \四\ f (x_1、\ ldots x_n) \: dx_1 \ ldots dx_n, \四\ int_ f S ^ {2},$

指在一个区域内的整合 $一个$,所有的 $R \ mathbb {} ^ 3$,所有的 $R \ mathbb {} ^ n$和球体的表面 $S ^ 2$,分别。多重积分是一种强大的工具，因为它允许我们通过积分来做所有在一维中可以做的事情，比如求平均值或在多维中所做的功。

就像在偏微分法其中，在求偏导数时，除一个变量外，其余变量都被视为常数，在多重积分中，除一个变量外，其余变量都被视为常数，并迭代积分。也就是说，给定一个积分

$\int \int f(x,y) \，dy\，dx，$

一个人应该治疗 $x$作为常数进行积分 $y,$然后进行积分 $x。$注意积分极限 $y$可能是 $x$在这种情况下;这些对应于在一个非矩形的区域上进行积分 $xy$飞机。

根据Fubini定理，在大多数情况下可以交换积分顺序 $x$而且 $y$根据需要。这通常是非常有用的，因为有些积分只能用一个顺序计算。然而，富比尼定理在 $\int \int \大|f(x,y)\大| dx\， dy = \infty$．

2D中相同区域的集成可以通过执行不同的“切片” $dx$或 $dy$集成。

二重积分在几何上对应于某曲面下的体积 $R \ mathbb {} ^ 3$．函数的二重积分 $f (x, y) = 1$因此对应于积分区域的面积。

计算二重积分

$\int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2 + y^2}{2} \， dx\，dy。$

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首先执行关于的积分 $x$，然后关于 $y$：

$1 \ \ int_0 ^ int_0 ^ 1 \压裂{x ^ 2 + y ^ 2} {2} \: dx \: dy = \离开了。左(\ \ int_0 ^ 1 \压裂{x ^ 3}{6} + \压裂{y ^ 2 x}{2} \) \右| _0 ^ 1 dy = \ int_0 ^ 1 \ frac16 + \压裂{y ^ 2} {2} \: dy = \离开了。\frac{y + y^3}{6} \right|_0^1 = \ fra13。$

这个积分在几何上对应于给定函数对有边长的平方的和 $1$． $_ \广场$

求三重积分的值 $\ int _ {0} ^ {2} {\ int _ {3} ^ {0} {\ int _{1} ^{1}{\离开({x} ^ {2} + yz \右)dz \, dy \, dx}}}。$

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自 $z$是最里面的微分，我们先对它积分。我们需要把其他的变量都当作常数，对 $z$．具体内容如下: $\ int _ {0} ^ {2} {\ int _{3} ^{0}{{左\ [{x} ^ {2} z + \压裂{1}{2}{z} y ^{2} \右]}_ {z = 1} ^ {z = 1} \, dy} \, dx}。$就像其他积分一样，我们要代入上界代入 $z$然后减去代入的下限 $z$,得到 $\ int _ {0} ^ {2} {\ int _{3} ^{0}{左\ [{x} ^{2}(1) + \压裂{1}{2}y({1} ^{2}) - \离开({{x} ^{2}(1) + \压裂{1}{2}{(1)}y ^{2}} \) \右]dy} \, dx}。$这简化了 $\ int _ {0} ^ {2} {\ int _ {3} ^ {0} {2 {x} ^ {2} dy} \, dx} = \ int_0 ^ 2 6 x ^ 2 dx = 16。\ _ \广场$

计算二重积分

$\int_0^1 \int_y^1 e^{-x^2} dx\， dy$

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自 $e ^ {- x ^ 2}$总是正的和有限的，并且积分区域是一个有限的区域，绝对值的积分是有限的，所以应用了Fubini定理:积分的顺序可以交换。这是理想的，因为高斯积分不能直接计算。注意，积分是在区域上的:

积分区域是蓝色的三角形。

改变积分顺序，积分就变成 $1 \ \ int_0 ^ int_0 e x ^ ^ {- x ^ 2} dy \, dx = \ int_0 ^ 1 xe ^ {- x ^ 2} dx = \ frac12 \大(1 - e ^{1} \大)。$注意积分极限的变化来自于变量的变化;变量更改之后，首先从 $x$设在 $y = 0$的线 $y = x$，然后在对面 $x = 0$来 $x = 1$． $_ \广场$

计算二重积分

$1 \ \ int_0 ^ int_0 ^ 1 \压裂{x ^ 2 y ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} \,, dy, dx \ \四\ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \压裂{x ^ 2 y ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} \, dy \, dx。$

对结果进行评论。

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很方便，被积函数可以写成混合二阶偏导数:

$\压裂{x ^ 2 y ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} = - \压裂{\部分^ 2}{\部分x \偏y} \反正切\ \压裂yx \(右)。$

对这些点上偏导数值的仔细分析 $(0,1)$原点给出了第一个二重积分

${对齐}\ \开始int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \压裂{x ^ 2 y ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} dx \, dy & = \ int_0 ^ 1 \ (\ biggl离开了。-\frac{\partial}{\partial y} \arctan \left(\frac yx\right)\biggr|_{x=1} +\biggl。\压裂{\部分}{\偏y} \反正切\左(右\压裂yx \) \ biggr | _ {x = 0} \右)dy \ \ & = \ int_0 ^ 1 \离开(- \压裂{\部分}{\偏y} \反正切(y) + \压裂{\部分}{\偏y} \反正切(\ infty) \右)dy \ \ & = - \反正切(1 ) \\ &= -\ 压裂{\π}{4}。结束\{对齐}$

通过对称来执行其他的积分(注意被积函数分子中的负号)

$1 \ \ int_0 ^ int_0 ^ 1 \压裂{x ^ 2 y ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} \, dy \, dx = \压裂{\π}{4}。$

有一个因素 $－1$积分的两种不同顺序之间的差异。这是因为违背了富比尼定理的条件。在原点附近, $\大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)^ 2$发散很快，因此积分 $1 \ \ int_0 ^ int_0左| ^ 1 \ \压裂{x ^ 2 y ^ 2} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} \ | dx \, dy$发散的。 $_ \广场$

下面的问题可以用黎曼和和二重积分来解决。注意内积分的边界可以是变量。

对于某些函数，改变用于求积分的坐标系可能是有利的。例如，极坐标 $X =r\cos \theta, y=r\sin \theta$可以使用。然而，在这种情况下，必须小心，因为面积元素 $达$在笛卡尔坐标和极坐标中是不同的。具体地说,

$\int \int f(x,y)\， dx\， dy = \int \int f(r\cos \theta, r\sin \theta) \左|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r，\theta)}\右| dr\， d\theta = \int \int f(r\cos \theta, r\sin \theta) r\， dr\， d\theta。$

第二项的表达式是雅可比矩阵行列式

$\def\arraystretch{1.5} \左|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r，\theta)}\右| = \text{det} \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\ \partial r} & \frac{\ \partial x}{\ \partial \theta} \\ frac{\partial \ y}{\ \partial \theta} & \frac{\ \partial \ y}{\ \partial \theta} \end{pmatrix} = \text{det} \begin{pmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta\ sin \theta & r\ cos \theta\ end{pmatrix} = r\左(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\右)= r。$

阴影区域是一个面积元素 $达$，分解为边长 $博士$而且 $r \ \ dθ$．为无穷小 $博士$而且 $d \θ$， $dA = r \ \ \博士dθ$是一个近似矩形。

集成功能 $f (r,θ\)= \压裂{1}{r}$在圆圈围成的环上 $x ^ 2 + y ^ 2 = 4$而且 $x ^ 2 + y ^ 2 = 1$．

问题中描述的环形区域

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在极坐标中，区域的边界为 $r = 1$而且 $r = 2$, $\θ$从 $0$来 $2 \π$在环。因此积分是 $\ int_0 ^{2π\}\ int_1 ^ 2 \压裂{1},{}r \ \ \博士dθ= 2π\ \ int_1 ^ 2 = 2π\博士。\ _ \广场$

在更高数量的维度中，这个过程没有什么不同;沿着每个变量的积分是迭代的，积分的极限可能取决于所有尚未被积分的变量，对应于某些特定的积分区域。在三维空间中，三重积分 $\int \int \ dx\， dy\， dz$通过集成定义 $1$给出了特定区域的体积。

(2012 AIME I第8题)
多维数据集 $ABCDEFGH$，标签如下所示，具有边长 $1$被一个经过顶点的平面切割 $D$和中点 $米$而且 $N$的 $\眉题{AB}$而且 $\眉题{CG},$分别。平面把立方体分成两个固体。两种固体中较大的那一种的体积可以写成这样的形式 $\ tfrac {p} {q}$,在那里 $p$而且 $问$是互素正整数。找到 $p + q$．

魔方引用的问题，从2012 AIME I

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定义点 $米$是笛卡尔坐标下的原点。平面由两个向量定义 $\眉题{MD}$而且 $\眉题{MN}$，可以写成以下坐标:

$\overline{MD} = \left(-\frac12,1,0\right)， \quad \overline{MN} = \left(\frac12, 1， \frac12 \right)。$

这个平面的法向量是叉积两个:

$\overline{MD} \times \overline{MN} = \左(\frac12， \frac14， -1\右)，$

这个平面的方程是

$\frac12 x + \frac14 y - z = 0。$

看小以平面和立方体为界的固体 $z$-coordinate的界在 $0$上面是平面 $\frac12 x +\frac14 y$．函数的边界 $x$-坐标是通过平面与 $z = 0$飞机: $X = -\frac12 y$是下限，而 $x = 1$在立方体的边缘是上界。在这些约束中，没有进一步的约束 $y$．因此较小的固体的体积为

${对齐}\ \开始int_0 ^ 1 \ int_ {- \ frac12 y} ^ 1 \ int_0 ^ {\ \ frac14 frac12 x + y} \: dz \: dx \: dy & = \ int_0 ^ 1 \ int_ {- \ frac12 y} ^ 1 \离开(\ frac12 x + y \ \ frac14右)\:dx \: dy \ \ & = \ int_0 ^ 1 \ Biggl。左(\ \压裂{x ^ 2} {4} + \ frac14 xy \) \境| ^ 1 _ {- \ frac12 y} dy \ \ & = \ int_0 ^ 1 \离开(\ frac14 - \ frac14 y \压裂{1}{16}y ^ 2 + \压裂{1}{8}y ^ 2 \右)dy \ \ & = \ frac14 - \ frac18 \压裂{1}{48}+ \压裂{1}{24}= \压裂{7}{48}。结束\{对齐}$

减去单位立方体的体积，就得到较大立方体的体积为 $\压裂{41}{48},$所以 $p + q = 89$． $_ \广场$

就像在二维空间中一样，使用与手头问题相适应的坐标系可能会更容易解决某些问题。二维极坐标的自然推广是柱坐标 $(r,θ,z)$,在那里 $r$而且 $\θ$的定义方式与2D和 $z$-coordinate保持不变。

计算以圆柱为界的体积 $x ^ 2 + y ^ 2 = 1$而且 $x ^ 2 + y ^ 2 = 4$和飞机 $z = 0$， $z = 1$．

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相关积分可以立即计算:

$1 \ \ int_0 ^ int_0 ^{2π\}\ int_1 ^ 2 r \: \博士:dθ\ \:dz = 3 \π。\ _ \广场$

在球几何问题中经常有用的坐标是球坐标 $(\ \ρ,\ \θ,φ)$,定义为 $X = \rho \sin \phi \cos \theta, y = \rho \sin \phi \sin \theta, z = \rho \cos \phi$．注意，在物理学中 $\θ$而且 $\φ$通常互换。几何, $\ρ$是点到原点的半径， $\θ$通常是极角，和 $\φ$向量和向量之间的夹角 $z$设在。

在球坐标下，用上述雅可比矩阵行列式法证明

$dx \: dy \: dzφ= r ^ 2 \罪\ \:d \ρ\:dθ\ \:d \φ。$

向球体的北极靠近时，体积一定会越来越小 $罪\ \φ$因为在北极它们收缩到一个点。

计算函数的积分 $r \罪\压裂{\θ}{4}$在单位球的上半球上。

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根据定义计算，

$\开始{对齐}\ int_0 ^{\π/ 2}\ int_0 ^{2π\}\ int_0 r ^ 3 ^ 1 \罪罪\φ\ \压裂{\θ}{4}\:d \ρ\:dθ\ \:d \φ& = \ int_0 ^{\π/ 2}\ int_0 ^{2π\}\ frac14 \罪罪\φ\ \压裂{\θ}{4}\:dθ\ \:φd \ \ \ & = \ int_0 ^{\π/ 2}\罪\ \:φdφ\ \ \ & = 1。\ \ _ \广场结束{对齐}$

当这些方法被推广到超过三个维度时，没有任何变化:

计算四维四联积分:

$1 \ \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 (w + x + y + z) \, dw \, dx \, dy \, dz。$

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迭代求每个积分的过程与前面相同:

${对齐}\ \开始int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 (w + x + y + z) \, dw \, dx \, dy \, dz & = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \离开(\ frac12 + x + y + z \右)dx \, dy \, dz \ \ & = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \离开(\ frac12 + \ frac12 + y + z \右)dy \, dz \ \ & = \ int_0 ^ 1 \离开(\ frac12 + \ frac12 + \ frac12 + z \右)dz \ \ & = 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

的坐标质量中心一个二维物体(或具有一维平移对称的三维物体)的

$文本\ vec {x} _ {\ {COM}} = \压裂{1}{M} \ int \σvec {x}) (\ \ vec {x} \,哒,$

与 $米$物体的总质量和 $vec {x} \σ(\)$质量面积密度。

找到 $(x, y)$圆心:有半径的圆盘的上半部分的质心坐标 $1$质量面积密度 $\σ= x ^ 2 + y ^ 2$．

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首先，用极坐标计算圆盘的总质量:

$M =σ\ int \ \, dA = \ frac12 \ int_0 ^{2π\}\ int_0 ^ 1 r ^ 3 \ \ \博士:dθ=π(\)\ frac14 = \压裂{\π}{4}。$

现在每个坐标都可以单独计算。通过对称, $x$协调是零。的 $y$协调是

$y_{_ \文本{COM}} = \压裂{4}{\π}\ int_0 ^{\π}\ int_0 ^ 1 r ^ 4 \罪\θ\:\博士:d \θ= \压裂{4}{5π\}\ int_0 ^{\π}\罪\θ\ d \θ= \压裂{8}{5 \π}。\ _ \广场$

高斯定律在电和磁读数

$vec {E} \ \ iint \ cdot vec {dA} = \ \压裂{Q} {\ epsilon_0},$

在哪里 $E$是一个三维的向量场， $一个$是某个闭合曲面， $问$总电荷被这个表面包围了吗 $\ epsilon_0$是一个常数。如果 $问$是球对称电荷分布，推导出电场外电荷分布。

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在一个假想的半径为的球面上 $r$在远离电荷分布中心的地方，根据球对称，电场必须处处相等。所以左边变成

$\iint \vec{E} \cdot \vec{dA} = E \int dA = E \左(4\pi r^2\右)。$

曲面积分变成了曲面上的二重积分 $E$删除;如前所述，这就得到了表面的面积。因此，高斯定律说

$E(4 \πr ^ 2) = \压裂{Q} {\ epsilon_0} \意味着E = \压裂{Q}{4 \π\ epsilon_0 r ^ 2}。$

这是库仑定律为电场在球对称带电球的外面。 $_ \广场$

一个粒子在量子力学在二维范围内有波函数

$公元\ psi (x, y) = ^ {- x ^ 2 y ^ 2}。$

找到常数 $C$给定归一化条件 $\int |\psi|^2 dx dy = 1$．

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在极坐标下计算二重积分，

$\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} C ^ 2 e ^ {2 x ^ 2-2y ^ 2} dx \, dy = \ int_0 ^{2π\}\ int_0 ^ {\ infty} C ^ 2再保险^ {2 r ^ 2} \博士d \θ= C ^ 2 2 \π\离开(\ frac14 \右)= C ^ 2 \压裂{\π}{2}。$

因此,不断 $C$是

$大概{C = \ \压裂{2}{\π}}。\ _ \广场$