部分公式

的部分公式告诉我们坐标分一个给定点的线段分成两部分，这样它们的长度就在比 $m: n$．

的线段的中点是将线段分两个等分数的点分割。截面公式构建在它上，是一个更强大的工具;它定位以任何所需比率划分线段的点。

截面公式有助于坐标几何;例如，它可以用来找出重心，刺客和外心一个三角形。它在物理学中也有应用;它有助于找到系统的质心，平衡点，等等。

如果点 $P (x, y)$位于线段上 $\ overline {ab}$ $（$在点之间 $一个$和 $B)$和满足 $AP：Pb = M：n，$然后我们这么说 $P$分 $\ overline {ab}$内部比率 $m：n。$部门的点有坐标

$左(P = \ \ dfrac {mx_2 + nx_1} {m + n}, \ dfrac {my_2 + ny_1} {m + n} \右)。$

这个公式可以通过构造两个来推导类似的右三角形， 如下所示。它们的斜噬血液沿着线段，并且是比例 $m: n$．

红色三角形和绿色三角形相似，因为三角形的同位角相等。这意味着它们对应边的比例相等。请注意这一点 $P$是 $\ frac {m} {m + n} \ time ab$远离 $一个$．那是，

$\{对齐}开始x & = x_1 + \压裂{m} {m + n} (x_2 - x_1 ) \\ & = \ 压裂{(m + n) x_1 + m x_2 - m x _1} {m + n } \\ & = \ 压裂{m {x} _ {2} + n {x} _ {1}} {m + n}。结束\ qquad(1) \{对齐}$

同样，解决 $y$给了

$Y = \frac{m{Y}_{2}+n{Y}_{1}}{m +n}。\ qquad (2)$

因此,从 $(1）$和 $（2）$

$p（x，y）= \左（\ dfrac {m {m×} _ {2} + n {x} _ {1}} {m + n}，\ dfrac {m {y} _ {2} + n{y} _ {1}} {m + n} \右）。\ _ \ square$

作为内部部门的特殊情况，如果 $P$是个中点的 $\ overline {ab}$，然后它分裂 $\ overline {ab}$内部比率 $1：1$．从而应用内除法和代入公式 $M = n = 1$，我们得到

$左(P = \ \ dfrac {x_1 + y_1}, {2} \ dfrac {x_2 + y_2}{2} \右)。$

给予 $= (3,1)$和 $B =（3，-6）$，点的坐标是什么 $P = (x, y)$哪个内部划分线段 $\ overline {ab}$在比例中 $1:2吗?$

回答

这一点 $P$是 $\压裂{1}{1 + 2}\ * AB$远离点 $一个$．

当测量平行于 $x$- 我们得到了

$\{对齐}开始x & = 3 + \压裂{1}{3}\ * \大(3 -(3)\大)\ \ & = 1。结束\{对齐}$

当测量平行于 $y$- 我们得到了

$\{对齐}开始y & = 1 + \压裂{1}{3}\ * (6 1 ) \\ & = - \ 压裂{4}{3}。结束\{对齐}$

因此，坐标 $P$是 $\big(-1， - frac{4}{3} \big)$ $_ \广场$

给予 $a =（ - 3,6）$的坐标是什么 $y_2 B = (x_2)$如果点 $P =(2、4)$划分线段 $\ overline {ab}$内部比率 $1:3吗?$

回答

在这个例子中，我们要找出线段的一个端点。画相似三角形也会帮助我们解决这个问题。

三角形的边在比例中 $1：3$．粉色三角形的底是有长度的 $-2 - （-3）= 1$．绿色三角形的底部只有三倍，即 $X -(-2) = 3 \乘以1$．解决这一收益率 $x = 1$．

粉色三角形的高度是 $4 - 6 = -2$．绿色三角形的高度只有三倍，即 $Y - 4 = 3 × (-2)$．解这个方程的结果是 $y = -2$．

因此，坐标 $B$是 $(1、2)。$ $_ \广场$

给予 $= (2, 1)$和 $B =（4,11）$,点 $P = (x, y)$内部分隔线段 $\ overline {ab}$在比例中 $m: n$．如果 $P$的交点是 $\ overline {ab}$和 $y$的值 $m: n ?$

回答

因为点 $P$在 $y$- 它，它 $x$坐标为零。我们可以编写坐标 $P$作为 $(0, y)$．

之间的水平距离 $P$和 $一个$是 $0 - （-2）= 2$．
之间的水平距离 $B$和 $P$是 $4 - 0 = 4$．

右三角形的基部的比率是 $2: 4$,或 $1：2$．因为三角形是相似的，所以它们的斜边之比也是 $1：2$．

因此，点 $P$划分线段 $AB$在比例中 $1：2$． $_ \广场$

什么比例才是关键 $p =（ - 3,7）$划分线段加入 $a =（ - 5,11）$和 $b =（4，-7）？$

回答

我们可以绘制2个类似的右三角形：带有斜边的红色三角形 $美联社$和斜边的蓝色三角形 $PB。$

观点 $P$划分线段 $AB$在比例中 $记者:PB$，等于 $答：B$因为三角形是相似的。让我们求出长度 $一个$和 $b:$

$a =（-3） - （-5）= 2，\ quad b = 4 - （-3）= 7。$

因此,点 $P$划分线段 $AB$在比例中 $A: b = 2: 7$．

或者，比率 $记者:PB$也等于 $C：D，$即。

$C = 7 - 11 = -4，\ quad d =（-7） - 7 = -14 \意味着c：d = 2：7。$

我们得到比例 $2: 7$这和我们之前的计算是一致的。 $_ \广场$

为了解决类似于上面的示例的问题，存在一种替代方法，您需要仅对一个变量而不是两个变量来解决。下面给出的例子演示了它。

求这一点的比值 $（5,4）$分界线连接点 $（2,1）$和 $(7,6)$．

回答

您可以通过假设往常来解决正常方法中的这个问题 $M：N.$．但是现在我们要做一个不同的替换。假设 $k = \ dfrac {m} {n}$这 $M: n = k: 1$．现在要求的比率将是 $K：1$． $p〜（x，y）= \左（\ dfrac {kx_2 + x_1} {k + 1} \ quad，\ quad y = \ dfrac {ky_2 + y_1} {k + 1}右）$鉴于这一点 $p =（5,4）$．所以，替代 $x$或者 $y$在上述结果中。

$X = \dfrac{kx_2 + x_1}{k + 1} \意味着5 = \dfrac{7k + 2}{k + 1}$

$\意味着k = \ dfrac {3} {2}$．

求点的坐标 $P$哪条线连接 $A = (4， -5)$和 $B =（6,3）$在比例中 $2: 5$．

回答

的坐标 $P$是 $(x, y)$． $\{对齐}开始P ~ (x, y) & = \离开(\ dfrac {2 \ * 6 + 5 \ * 4} {2 + 5}, \ dfrac {2 \ * 3 + 5 \ * 5} {2 + 5} \) \ \ P ~ (x, y) & = \离开(\ dfrac {12 + 20} {7}, \ dfrac{6 - 25}{7} \) \ \ \因此P & = \离开(\ dfrac{32}{7},——\ dfrac{19}{7} \) \ \ \{对齐}结束$

找到加入点的线段中点的协调 $(4、6)$和 $(2、4)$．

回答

$中午〜point = \左（\ dfrac {x_1 + x_2} {2}，\ dfrac {y_1 + y_2} {2} \ reve）= \ left（\ dfrac {4 - 2} {2}，\ dfrac { -6 + 4} {2}右）=（1，-1）$

你可以找到更多关于中点这wiki。

如果 $P = (x, y)$在于延长线段 $\ overline {ab}$ $（$不是在点之间 $一个$和 $B)$和满足 $AP：Pb = M：n，$然后我们这么说 $P$分 $\ overline {ab}$在外部比率 $m：n。$除法的意义在于

$p = \ left（\ dfrac {mx_2 - nx_1} {m-n}，\ dfrac {my_2 - ny_1} {m-n} \ led）。$

这个结果的证明类似于内部分歧，通过画两个相似的直角三角形。黄色和橙色三角形的边的比例是相等的 $M：N.$．

从图中，我们可以看到这个点 $P$距离是 $\ frac {m} {m-n} \ times ab$远离点 $答:$

$\begin{aligned} x & = x_1 + \frac{m}{m - n} (x_2 - x_1) \\ & = \frac{(m - n)x_1 + mx_2 - mx_1 }{m-n} \\ & = \frac{mx_2 - nx_1}{m-n}. \qquad (3) \end{aligned}$

同样，解决 $y$给了

$Y =\frac {m{Y}_{2}-n{Y}_{1}}{m-n}。\ qquad (4)$

因此,从 $（3）$和 $（4）$

$左(P (x, y) = \ \ dfrac {m {x} _ {2} - n {x} _ {1}} {m n}, \ dfrac {m {y} _ {2} - n {y} _ {1}} {m n} \右)。\ _ \广场$

如果点 $P$和 $问$哪个在线段上 $AB$把它分成三等份也就是说，如果Ap = pq = qb然后点 $P$和 $问$被称为的三分的 $AB$．

你应该记住的是 $P$分 $AB$在比例中 $2: 1$和 $问$分 $AB$在比例中 $1：2$．

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