三维坐标几何-直线方程

要求二维平面上直线的方程，我们需要知道直线经过的点以及斜率。类似地，在三维空间中，如果我们知道直线通过的点以及直线的方向，我们可以得到直线的方程方向向量，它指定线的方向。公式如下：

带方向向量的直线方程 $\向量{d}=（l，m，n）$通过了这个点 $（x_1，y_1，z_1）$由公式给出

$\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}，$

哪里 $l、 m,，$和 $N$是非零实数。 $_\方格$

考虑一条穿过这个点的线 $P=（x_1，y_1，z_1）$并有方向矢量 $\向量{d}=（l，m，n），$哪里 $l、 m,，$和 $N$是非零实数。让 $X=（X，y，z）$可以是线上的一个随机点。然后是向量 $\vec{PX}，$图中的红色箭头将平行于 $\vec{d}。$因此，我们有

$\开始{aligned}\vec{PX}&=t\vec{d}\\（x-x_1，y-y_1，z-z_1）&=t\cdot（l，m，n）\\t&=\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}\结束{对齐}$

因此，任何一点 $X=（X，y，z）$在线将满足方程

$\frac{x-x\u 1}{l}=\frac{y-y\u 1}{m}=\frac{z-z\u 1}{n}.\\平方$

带方向向量的直线方程 $\向量{d}=（l，m，0）$通过了这个点 $（x_1，y_1，z_1）$由两个公式给出

$\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}\quad和\quad z=z_1，$

哪里 $L$和 $M$是非零实数。

这个证明与前一个非常相似。

求有方向向量的直线的方程 $\vec{d}=（1,2,3）$通过了这个点 $P=（-1,0,1）。$

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根据上述公式，直线方程为

$x+1=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}.\\平方$

与坐标平面上的直线相似，当直线上有两个不同的点时，我们可以在三维空间中找到直线的方程，因为减去这两个点的位置向量将得到方向向量。

找到通过点的行的等式 $P=（3，-1,2）$和 $Q=（-3,0,1）。$

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减去两点的位置向量得到方向向量，即

$\vec{d}=\vec{PQ}=（-6,1，-1）。$

我们两个都可以 $P$或者 $Q$作为 $（x_1，y_1，z_1）。$使用 $P$会给

$\frac{x-3}{-6}=y+1=-（z-2），\qquad（1）$

和使用 $Q$会给

$\frac{x+3}{-6}=y=-（z-1）。\qquad（2）$

观察（2）的所有边加1得到（1），这意味着两个方程是相同的。 $_\方格$

如果方向向量的坐标等于零呢？假设 $x$-方向向量的坐标为零。这表示线上的所有点具有相等的 $x$-坐标。因此，这种情况下的方程式如下

$\ begin {对齐} \ frac {y-y_1} {m}＆= \ frac {z-z_1} {n} \\ x＆= x_1。\结束{对齐}$

类似地，在方向向量的两个坐标为零的情况下（例如 $x$- 和 $Y$-坐标），方程看起来像

$\开始{aligned}x&=x_1\\y&=y_1。\结束{aligned}$

求通过两点的直线方程 $P=（1,1,1）$和 $Q=（-1,1,3）。$

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减去两点的位置向量得到方向向量，即

$\vec{d}=\vec{PQ}=（-2,0,2）。$

自从 $Y$-方向向量的坐标为零，方程为

$\开始{aligned}\frac{x-1}{-2}&=\frac{z-1}{2}\\y&=1\\\\\&\text{or}\\\\\\\\\frac{x+1}{-2}&=\frac{z-3}{2}\\y&=1.\\平方\结束{aligned}$

三维空间中两条不同直线之间的关系始终是三条直线中的一条：它们可以平行、倾斜或在一点相交。如果直线的方向向量平行，则直线也平行（前提是它们不相同）。如果直线不相交且其方向向量不平行，则它们是倾斜的。如果直线相交且其方向向量不平行，则直线在单个点处相交。正如我们所看到的，比较方向向量通常会给出关于两条直线的有用信息。

以下两条线之间的关系是什么：

$\frac{x-2}{2}=y=\frac{z+1}{-3}\quad\text{and}\quad\frac{x+7}{-6}=-\frac{y}{3}=\frac{z+1}{9}？$

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两条直线的方向向量为 $\vec{d_1}=（2,1，-3）$和 $\vec{d_2}=（-6，-3,9）。$自从 $-3\vec{d_1}=\vec{d_2}，$两个方向向量是平行的。这意味着这两条线要么相同，要么平行。第一条线通过的点是 $(2,0,-1).$由于该点不满足第二条直线的方程式，因此第二条直线不通过该点。因此，这两条线是平行的。 $_\方格$