皮亚诺公理

皮亚诺公理公理定义自然数集 $N \ mathbb$使用设置语言。与 $+$和 $\ *$由皮亚诺算术定义， $(\ mathbb N + 0 \ * 1)$形成了一个交换森马．这个分析的目的是形式化算术。与接受算术结果为事实相反，算术结果是通过皮亚诺公理和数学过程建立的感应．

的继任者函数,表示 $(n),$接受一个自然数作为参数，并返回下一个连续的自然数作为结果。在普通算术表示法中，这是:

$S (n) = n + 1。$

但是，在使用继承函数时通常避免使用这种表示法。通常，目标是纯粹通过继承函数定义数学运算和结果，特别是作为一系列嵌套的继承函数。例如,

$开始\{对齐}1 & = S (0) \ \ 2 & = S (S (0)) \ \ 3 & = S (S (S (0))) \ \ & \ vdots \{对齐}结束$

公理如下。 $0$一个符号代表一个常数和吗 $(\ cdot)$为一元继承函数。

1. $0在mathbb N。$(注意0是作为一个自然数包含在这个分析中。)
2. $对于所有的x在mathbb N, S(x)在mathbb N。$
3. $x = y \ Leftrightarrow S (x) = (y)。$
4. $不存在x: S(x)=0。$
5. $(0 \in K) \wedge ((x \in K) \ right tarrow (S(x) \in K)) \ right tarrow K= mathbb N。$

这些公理将被用来用归纳法“证明”自然数集合上的算术事实。

皮亚诺算法定义了集合中的两个二元函数 $N \ mathbb$,即除了 $+$和乘法 $\ *$．它们是递归定义的:

除了
1. $x + 0 = x$
2. $x + S (y) = S (x + y)$

找到 $S (S (0)) + S (S (S (0)))$．

$颜色\;\ \;\ \ {# D61F06} {S (S (0))} + S(\颜色{# D61F06} {S (S (0))})$
$= S(颜色\ {# D61F06} {S (S (0))} + S(\颜色{# D61F06}{年代(0)}))$(申请(2))
$=(年代(\颜色{# D61F06} {S (S (0))} + S(\颜色{# D61F06} 0)))$(再一次)
$= S (S (S (S(\颜色{# D61F06}{年代(0)}+ {# D61F06} \颜色0))))$(再一次)
$= S (S (S (S (S (0)))))$(适用于(1))

这实际上是 $2 + 3 = 5$在我们通常使用的符号中。

从现在起，为了简单起见，我们将使用通常使用的符号来表示自然数，而不是一长串的数字 $年代$．

乘法
1. $X乘以0等于0$
2. $x \ * S(y) = x + x * y$

找到 $2 \ * 3$．

$\ \; \ \; 2 \ * 3$
$= 2 + (2 \ * 2)$
$= 2 + (2 + (2 \ * 1))$
$= 2 + (2 + (2 + (2 \ * 0)))$
$= 2 + (2 + (2 + (0)))$
$= 2 + (2 + (2))$
$= 2 + (4)$
$= 6$