欧几里得N空间

我们可以用对数来确定坐标系中的任何一点。在二维几何我们需要两个数字，并且在3 d几何学我们需要3个数字来表示一个点。很可能很多人都不知道什么是超越3 d如何表达一个观点。如果我们想在四维或五维或更高的空间中表示一个点，我们能做什么?四倍的数字 $(2、4、3、1)$例如，用于表示四维空间中的一个点，在高维空间中也是如此。因此我们可以表示 $n$-数组中的数字 $n$维空间。数学上，这类空间中有很多向量的规则和性质，我们会在维基中讨论。但我们应该记住，到目前为止，在三维空间中从几何上形象化任何数字元组都是不可能的。

如果 $n$是正整数，然后是有序的 $n$-tuples被称为序列 $n$实数，表示为 $\离开(现代{1},现代{2},现代{3},现代{4},\ ldots现代{n} \右)$。所有有序的集合 $n$-tuples被称为 $n$-space，表示为 $R ^ {n}$。

如果 $n$是2或3，我们可以说它们分别是有序对和有序三重。我们用 $R ^ {2}$和 $R ^ {3}$，通常分别称为二维空间和三维空间。

如果我们想表示任意空间中的一点，假设空间中包含一些液体，我们想表示液体中的单个点。根据三维空间，这个点可以用3个数字表示。但是，如果我们考虑液体的性质，密度是其中之一。所以，我们必须加一个点来表示液体点。这是 $d。$那么液体进入整个液体的精确点可以看作是一组 $4$-tuple，其表示形式应为 $v =(2) 5、4、9日$,在那里 $d = 2$描述该点液体的密度。

如果 $v = \离开(v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}, \ ldots v_ {n} \右)$， $u = \离开(u_ u_ {1}, {2}, v_ {3}, \ ldots u_ {n} \右)$， $w = \离开(w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, \ ldots w_ {n} \右)$, $米$和 $k$是否有任意标量 $R ^ {n},$然后

• $u + v = v + u$
• $U +(v+w) =左(U +v +右)+w$
• $u + 0 = 0 + u = 0$
• $U +左(-u \右)= 0$
• $k(μ)=(公里)$
• $k (u + v) = ku +千伏$
• $(k + m) u = ku +μ$。

向量的内积 $R ^ {n}$

如果 $v = \离开(v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}, \ ldots v_ {n} \右)$和 $u = \离开(u_ u_ {1}, {2}, v_ {3}, \ ldots u_ {n} \右)$是两个向量 $R ^ {n},$那么它们的内积就是 $\ langle u, v \捕杀= u_ {1} v_ {1} + u_ {2} v_ {2} + \ cdots + u_ {n} v_ {n}。$例如,如果 $U = (-1, 3, 5, 7)$和 $V = (5， -4, 7, 0)$在 $R ^ {4},$那么它们的内积是 $角u, v，角=角- 1,5，角+角3，-4，角+角5,7，角+角7,0，角= 18。$

向量的范数和距离 $R ^ {n}$：

如果 $U =\左(u_{1}，u_{2}，v_{3}，\ldots,u_{n} \右)$和 $V =\左(v_{1}，v_{2}，v_{3}，\ldots,v_{n} \右)$是两个向量 $R ^ {n}$，然后是向量的范数 $u$可以表示为 $\ \ | u \左右\ | = \√6 {u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + \ cdots + u_ {n} ^{2}}。$两个向量之间的距离 $u$和 $v$是 $左\ \ | uv \ \ | = \√6{\离开(u_ {1} -v_{1} \右)^{2}+ \离开(u_ {2} -v_{2} \右)^ {2}+ \ cdots + \离开(u_ {n} -v_ {n} \右)^{2}}。$

如果一个函数 $f$的域 $R ^ {n}$函数把上域映射到 $R$,然后 $f$是变换还是映射 $R ^ {n}$来 $R$。表示为 $f: R ^ {n} \ rightarrow R$。

我们可以变换一个函数 $R ^ {n}$来 $R$。很简单。参见示例了解转换:

如果一个函数 $f$的域 $R ^ {n}$把上域映射到 $R ^ {m}$,然后 $f$是变换还是映射 $R ^ {n}$来 $R ^ {m}$。表示为 $f: R ^ {n} \ rightarrow R ^ {m}$。在这里 $f: R ^ {n} \ rightarrow R ^ {m}$叫接线员吗 $R ^ {n}$。

假设 $间间的{1},{2},间,{3}\ ldots间{n}$有一些真正的价值和 $f$函数是映射这些的吗 $n$值 $米$值的数量 $w_ w_ {1}, {2}, w_ {3}, \ ldots w_ {m}$。那么这个变换可以写成

• $w_ f{1}{1} =(间的{1},间的{2},间,{3}\ ldots间{n})$

• $w_ {2} = f{2}(间的{1},间的{2},间,{3}\ ldots间{n})$

• $w_ {3} = f{3}(间的{1},间的{2},间,{3}\ ldots间{n})$

• $\ ldots$

• $\ ldots$

• $w_ {m} = f {m}(间的{1},间的{2},间,{3}\ ldots间{n})$。

上面的 $米$方程指定一个唯一的点 $w_ w_ {1}, {2}, w_ {3}, \ ldots w_ {m}$在空间 $R ^ {m}$eact点 $间间的{1},{2},间,{3}\ ldots间{n}$在 $R ^ {n}$。实际上，这是函数的变换 $R ^ {n}$来 $R ^ {m}$。

一个转换的 $R ^ {2}$来 $R ^ {3}$

假设有以下3个方程:

• $w_{1} =间的{1}+间的{2}$

• $w_{2} = 3间的{1}间的{2}$

• $w_{3} =间的{1}^{2}间的{2}^ {2}$。

还有一个函数 $F$它变换了空间的函数 $R ^ {2}$来 $R ^ {3}$。表示为 $F: R ^ {2} \ rightarrow R ^ {3}$。通过这种变换，图像 $(间的{1},间的{2})$可通过以下途径获得:

$F \离开(间的{1},间的{2}\右)= \离开(间的{1}+间的{2},,\ \,3间的{1}间的{2},\:\:间的{1}^{2}间的{2}^{2}\右)。$

你可以在变量处使用任何值。