蒙蒂大厅问题

这蒙蒂大厅问题是一个着名的，看似矛盾的问题条件概率和推理使用贝叶斯的定理．信息影响您的决定，乍一看似乎不应该。

在问题上，您正在展示游戏节目，被要求在三个门之间进行选择。每扇门后面，有汽车或山羊。你选择一扇门。主持人，蒙特大厅挑选了一个其他的门，他知道它背后有一个山羊，并打开它，向你展示山羊。（你知道，通过游戏规则，那个Monty将永远露出一只山羊。）蒙蒂然后询问你是否想将你选择的门切换到另一个剩下的门。假设您更喜欢拥有山羊的汽车，你选择切换还是不切换？

解决方案是，交换将让您赢得两倍的速度粘在原始选择中，这似乎对许多人逆行。当他们试图在一列中“纠正”玛丽莲VOS保存人的解决方案时，蒙蒂霍特问题令人着重的博士学位，博士学位游行杂志．[1]

看到解决方案的一种方法是明确列出所有可能的结果，并且如果保持与交换机相比，您将获得汽车的频率。没有普遍存存，假设你的选择是门 $1$．然后可以在此表中看到可能的结果：

在三种情况下，在揭示其中一个门后，您可以通过改变选择赢得汽车。这是因为你在第一次去之前选择了一个山羊的门，然后蒙蒂是保证揭示其中一个门在它背后有一个山羊。因此，通过改变您的选择，您将赢得胜利的概率。

看到同一组选项的另一种方式是通过将其作为决策树绘制出来，如下图所示：

蒙蒂·霍尔问题有两个方面是许多人难以认同的。首先，为什么主人开门后的赔率不是50% ?为什么换门有2 / 3的机会赢，而坚持第一个选择只有1 / 3的机会?其次，为什么如果蒙蒂真的随机地打开一扇门，然后碰巧看到一只山羊，那么留在门上和换门的几率现在是50% ?贝叶斯的定理我可以回答这些问题。

贝叶斯定理是一个公式，它描述了如何在给定证据的情况下更新假设正确的概率。在这种情况下,这是我们最初的概率选择门的车后面(保持是正确的)鉴于蒙蒂打开了一扇门后面显示一只山羊:蒙蒂已经显示我们,我们没有选择的选择之一是错误的选择。让 $H$假设"门1后有辆车"然后 $E.$证明蒙蒂打开了一扇门，门后有一只山羊。那么这个问题可以重新表述为计算 $p（h \ mid e）$的条件概率 $H$给予 $E.$．

由于每扇门都有汽车或山羊，假设“ ${不}H \文本$“与”门1有一个山羊背部“一样。”

在这种情况下，贝叶斯的定理表明了

$p（h \ mid e）= \ frac {p（e \ mid h）} {p（e）} p（h）= \ frac {p（e \ mid h）\ times p（h）} {p（e \ mid h）\ times p（h）+ p（e \ mid \ text {not} h）\ times p（\ text {not} h）}。$

问题是，蒙蒂·霍尔故意给你看一扇门，门后面有只山羊。

打破本方程式的每个组件，我们有以下几个组件：

• $p（h）$是门1后面有一辆车的先验概率，而不知道蒙蒂打开的门是什么。这是 $\压裂{1}{3}$．
• $p（\ text {not} h）$是我们在它后面的汽车没有选择门的概率。由于门要么背后的车， $p（\ text {not} h）= 1 - p（h）= \ frac {2} {3}$．
• $P (E中期\ H)$蒙蒂在它后面有一只山羊的巨大展示的概率，因为门后1.由于蒙蒂总是展示一个山羊的门，这是等于的 $1$．
• $P (E{不是}\ \中期文本H)$是蒙蒂展示山羊的概率，前提是门1后面有一只山羊。再一次，因为蒙蒂总是带着山羊来开门，这个等于 $1$．

结合所有这些信息给出

$P(H \mid E) = \frac{1 \times \frac13} {1 \times \frac13 + 1\times \frac23} = \frac{hspace{1mm} \frac13\hspace{1mm}}{1} = \frac{1}{3}。$

汽车在门1后的概率完全没有根据证据改变。然而，由于汽车只能在门1后面或在Monty没有打开的门后面，所以它在门后面的概率是 $\ frac {2} {3}$．因此，切换是让您作为停留的可能性的两倍。

这一结果对Monty总是保证在其背后打开门的事实依赖于，无论你最初选择了什么门。那是， $p（e \ mid h）= p（e \ mid \ text {not} h）$．现在考虑如果蒙蒂的话会发生什么随机打开一扇门，我们没有挑选它含有山羊。无论我们选择哪个特定的门如何，我们的第一次选择是正确的概率是什么？

在这种情况下， $p（e \ mid h），$如果我们的第一个选择是正确的并且门后确实有一辆车，蒙蒂会给我们展示一扇门，门后有一只山羊的概率仍然是 $1$．如果你选择了车门和汽车，另外两扇门保证有一只山羊。

但 $p（e \ mid \ text {not} h）$的变化。这表示Monty选的门后面有山羊的概率假设你最初选择的门后面有山羊。在这种情况下，蒙蒂在一扇门后面有山羊的门和一扇门后面没有山羊的门之间随机选择。因此，他挑一扇有山羊的门的概率是 $P(E \mid \text{not} H) = frac{1}{2} . txt . txt$．

铺设出来，我们得到了

$p（h \ mid e）= \ frac {p（e \ mid h）\ times p（h）} {p（e \ mid h）\ times p（h）+ p（e \ mid \ text {not}h）\ times p（\ text {not} h）} = \ frac {1 \ times \ frac13} {1 \ times \ frac13 + \ frac12 \ times \ frac23} = \ frac {\ hspace {1mm} \ frac13 \hspace {1mm}} {\ hspace {1mm} \ frac23 \ hspace {1mm}} = \ frac12。$

有一个 $\ frac12，$或50％，我们的第一次选择的机会是正确的随机打开一扇门，它发生在它后面有一个山羊。愚弄这么多数学家的天真的推理在这种情况下工作。

问题:你能设计出你自己的蒙蒂·霍尔问题的变体吗?

[1]克罗克特,扎卡里。每个人“纠正”世界上最聪明的女人的时间。Priceonomics．2015年2月19日。于2016年2月29日从http://priceonomics.com/the-time-everyone-corrected-the-worlds-smartest/检索。