迭代期望定律

的迭代期望定律表示a的期望值随机变量等于随机变量期望值的和吗条件第二个随机变量。直观地说，该定律表明，事件的预期结果可以用生活环境调查它取决于事件的可能结果;例如，如果明天下雨的概率取决于今天下雨的概率，并且以下所有的情况都是已知的:

• 今天下雨的可能性
• 明天下雨的可能性鉴于今天下雨了
• 明天下雨的可能性鉴于它做的不今天下雨

把今天下雨/今天没下雨这两种情况依次考虑，就可以计算出明天下雨的概率。为了使用具体的数字，假设

• 今天下雨的概率是70%
• 如果今天下雨，明天就会下雨，概率为30%
• 今天不下雨，明天下雨的概率是90%

在这种情况下，明天下雨的概率是

$0.7 \cdot 0.3 + 0.3 \cdot 0.9 = 0.21 + 0.27 = 0.48 = 48\%$

迭代期望定律适用于概率分布两者都是随机变量 $X$还有一个条件随机变量 $Y | X$的概率分布 $Y$是理想的。这种情况在实践中极为常见，尤其是在经济学而且扑克．

让 $X, Y$是随机变量。然后

$\ mathbb {E} [X] = \ mathbb {E} (\ mathbb} {E (X | Y))$

在哪里 $X Y |$是条件概率的分布 $X$鉴于 $Y$．

如果 $Y$需要结果 $A_1 A_2 ldots A_n$在美国，法律可以以更自然的形式书写

$\ mathbb {E} [X] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {E} [X] | A_i P (ai)$

这意味着。的期望值 $X$可以从概率分布中计算出 $X Y |$而且 $Y$，这通常在理论和实践中都很有用。

例如，考虑一个篮球明星，他在没有防守的情况下得分(2分)的比例是80%，但在防守的情况下只有40%。面对团队当前的对手，玩家70%的时间会被防守。然后，当玩家射击时，迭代期望定律表示:

$\mathbb{E}[\文本{得分}]= \mathbb{E}[\文本{得分|防守}]P(\文本{防守})+\mathbb{E}[\文本{得分|无防守}]P(\文本{无防守})$ $\mathbb{E}[\文本{得分}]= 2 \cdot .4 \cdot .7 + 2 \cdot .8 \cdot .3 = .56 + .48 = 1.04$

因此，球员每次获得控球权平均得分为1.04分。

这条定律对对方有实际的应用:对于每一个防守方案，只要对方知道，他们就可以计算出对方会得多少分(平均)

• 每个球员被防守的频率是多少
• 每个球员在被防守时的投篮能力如何，以及他们在无人防守时的投篮能力如何

这让对手可以选择最好的防御方案。

一个可以简化推理的重要定理是联合分布定律:

$P (A \帽)= P (A) \ cdot P (B |) = P (B) \ cdot P (A | B)$

这个定理有逻辑意义:事件发生的概率 $一个$而且 $B$两者发生的概率是一样的 $一个$发生,那么 $B$发生。的概率 $一个$仅仅是发生 $(一页)$的概率 $B$随后发生的是 $P (B |)$．同样地，顺序可以颠倒，得到第二个等式。

注意,当 $A、B$是独立的，这条定律变得更熟悉了吗 $P(A\cap) = P(A) \cdot P(B)$．

这个定理很重要，因为它允许计算 $P (A |)$鉴于 $P (A \帽)$而且 $P (B)$，这是有用的 $P (A |)$在迭代期望法则中使用。

这个规律也可以重新排列成贝叶斯定理，声明:

$P (B |) = \压裂{P (A | B) (B)} {P (A)}$

这允许与上面相同的计算。

• 条件概率分布
• 贝叶斯定理和条件概率