生活环境调查
生活环境调查是将一个问题分解为有限数量的情况,然后确定每个各自情况的数学结果的过程。一旦所有的案例都被“解决”了,潜在问题的解决方案就变得清晰起来。案例研究几乎应用于数学的所有领域。
案例分析不仅在有限的、清晰描述的情况下有用。案例研究也可以应用于有大量可能结果甚至无限可能结果的问题。在这些问题中,案例分析的目标是定义一个模式或公式,而不是一个具体的解决方案。
内容
何时使用Casework
案例工作最明显的应用是当一个问题给你一个清晰的结构,在这个结构中不同的事情在不同的情况下发生。解决问题就是一个例子<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/absolute-value-equations/" class="wiki_link" title="绝对值方程" target="_blank">绝对值方程。
解决:
或正、或负、或零。根据这一点,绝对值会做不同的事情。
案例1: 为正或零。
如果是这种情况,那么绝对值将不起任何作用。方程变得 。解决这一收益率 。
案例2: 是负的。
如果是这样,那么绝对值将与表达式负。方程变得 。解决这一收益率 。
这两个解都通过代入得到了确认。解集为 。
案例工作的另一种用法是,某件事有有限的可能性,但只有一种可能是正确的。案例分析法允许人们使用排除法的过程来找到正确的解。
让 和 为正整数,使 。的最大值是多少 ?
等式左边可以因式分解:
考虑到 和 都是整数,这意味着什么 和 一定是整数因子的 。考虑到 和 是积极的, 。这就提供了以下可能性 和 :
让 和 。解这个方程组得到:
的值 和 :
红色的值是非整数,因此它们不可能存在。解将是的最大值 。的两个可能值 是 和 ,那么最大值为 。
使用案例工作总是可能的,即使问题不建议将问题明确地划分为案例。如果一个问题解决者发明了一个聪明的方法来分离问题,它可以导致一个有效的解决方案。
下面的问题可能看起来很复杂,但有一个聪明的方法可以应用案例研究来找到解决方案。考虑一个这样的方程 。的价值。 和 使这个方程成立。根据这些可能性,这个问题可以分成不同的情况。
案例分析的应用非常广泛。本页的其余部分将探讨案例作业在数学各个领域的应用。
代数
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-root-theorem/" class="wiki_link" title="理性的根定理" target="_blank">理性的根定理是casework的一种应用。应用这个定理涉及列出一个多项式函数的可能有理根,并利用消元过程找到所有有理根。
理性的根定理
让 是一个具有整数系数和非零常系数的非常数多项式函数。让 是前导系数的所有正整数因子的集合,让 为常系数的所有正整数因子的集合。让一组 被定义为:
所有有理根的集合 是一个子集 。
求函数的有理根 。
前导系数的正整数因子, ,有: 。
常系数的正整数因子, ,有: 。
有理根定理给出以下集合为可能的理性的根源:
函数的有理根就会总是是上面集合的子集(它可以是空集合)。这本质上是为了找到解而测试的一组案例。
测试每一个可能的根产量 作为唯一理性的根。
如前所述,casework对于解绝对值方程很有用。它对解不等式也很有用。
的解集
当方程左边的表达式为正或负时,分子和分母表示不同的情况。
案例1:
如果分子和分母都大于0,那么有理表达式将为正。这样,不等式就满足了。当分子为时,不等式也被满足 ,但分母不能为 。解决这些不平等的结果是 。
案例2:
如果分子和分母都小于0,那么有理表达式将为正。这样,不等式就满足了。当分子为时,不等式也被满足 ,但分母不能为 。解决这些不平等的结果是 。
两种情况都满足不等式。因此,解集为
当一个人必须考虑多种可能性时,案例研究尤其重要。下面的问题就是一个很好的例子。
数论
可以用Casework来解决<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-diophantine-equations-one-equation/" class="wiki_link" title="丢番图方程" target="_blank">丢番图方程。丢番图方程是一种变量只能取整数值的方程。
在美式橄榄球中,得分可以有以下几种方式:
- 触地得分:7分
- 投篮得分:3分
- 安全:2分
一支球队以24分结束一场比赛。有多少种得分方法的组合可以得到这个分数?评分方法的顺序并不重要。
让 是触地得分的次数, 被投篮进球的次数,和 是安全的数量。目标是要解决:
实例工作允许我们将上述方程转换为双变量方程,这更容易作为丢番图方程求解。
案例1:球队达阵0分。
这给了 。该队本来最多可以得 领域目标 安全。然后,投篮得分可以减少递增的 而安全系数是递增的 。因此,顺序对解 本例为:
案例2:球队得1次达阵得分。
这给了 。该队本来最多可以得 领域目标 安全。然后,现场目标和安全可以按照前面的情况进行调整。有序对解 本例为:
案例3该队两次达阵得分。
这给了 。有序对解 本例为:
例4:该队得了3次达阵得分。
这给了 。唯一有序对解 对于这种情况是:
总的来说,有 可能的评分方法组合。
Casework通常可以通过应用来消除或缩小一组解<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic/" class="wiki_link" title="模运算" target="_blank">模运算技术。
完全平方以什么为结束的最大2位数整数是多少 ?
让 是一个整数,其完全平方以 。然后,
那么这也是对的,
这给了 或 。
案例1:
让 。把这个替换成原来的一致,就得到
情形1给出了两个可能的两位数解 : 和 。
案例2:
让 。把这个替换成原来的一致,就得到
案例2给出了。的两个可能的两位数解 : 和 。
唯一可能的两位数解是 , , , 。其中最大的是 。
在数论的其他问题中,案例作业的应用不那么直接明显,但应用其他技术可以导致需要案例作业的情况。
在下面的问题中,一个应用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/" class="wiki_link" title="Vieta的公式" target="_blank">Vieta的公式会帮你找到解决方法的一部分。然后,有必要考虑不同情况下的值会导致整数根。
组合
案例的应用在组合学和概率问题中很常见。将一个计数或概率问题分解成多个部分可以导致高效的计算。
在下面的问题中,根据方块上哪些颜色相邻,考虑将颜色分成case。
下面的问题对于研究过的人来说似乎很熟悉<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rectangular-grid-walk-no-restriction/" class="wiki_link" title="矩形网格走" target="_blank">矩形网格走。然而,有趣的是,它也可以对角线移动。考虑把这个问题分成几个案例,这些案例取决于这个人对角线移动的次数。
逻辑
案例工作是有用的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/truth-tellers-and-liars/" class="wiki_link" title="讲真话的人,骗子" target="_blank">讲真话的人,骗子问题。它允许人们考虑每个案例,哪些人在说真话,哪些人在说谎。
Casework也很有用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/k-level-thinking/" class="wiki_link" title="K-level思考" target="_blank">K-level思考问题。这些问题通常需要你将问题简化成较小的案例,然后用较小的案例来解决较大的案例。
五个不同年龄的海盗发现了一个装有100枚金币的宝箱。在大海中央,看不到陆地的情况下,他们决定用这个方案来分割金币:
最年长的海盗提出如何分享硬币,所有海盗(包括最年长的)投票赞成或反对。如果有50%或以上的海盗投票赞成,那么硬币就会以这种方式分享。否则,提出这个方案的海盗就会被扔到海里,剩下的海盗就会重复这个过程。
海盗是一群嗜血成性、毫无忠诚的人。如果一个海盗投票赞成或反对一个提议都会得到相同数量的硬币,那么他就会投票反对,看着提议者被扔到海里去。
假设海盗们聪明、理性、贪婪,不希望被扔到海里,(而且对于海盗来说,数学相当好)最年长的海盗应该提出什么建议?