矛盾证明据/h1>
反证法据/strong>(也称为据S.T.R.O.N.G>间接证明据/strong>或方法据S.T.R.O.N.G>反证法据/strong>)是一种常见的证明技术,它基于一个非常简单的原则:导致矛盾的东西据E.m>不能据/em>是真的,如果是这样,相反据E.m>必须据/em>是真实的。这是一种原则,即使某种虚构侦探的哲学想起:据/p>
“据E.m>当你消除了不可能,剩下的无论多么不可能,都一定是真相。据/em>“据/p>
在小说中的“夏洛克福尔摩斯”据E.m>四的符号据/em>阿瑟·柯南·道尔爵士(1890)据/p>
通过矛盾来证明声明,首先假设您想证明的内容。然后表明这一前提的后果是不可能的。这意味着您的原始陈述必须是真的。据/p>
证明没有最大的数字。据/p>
假设有一个最大的数据E.m>做据/em>存在吧,随它去吧据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
考虑到数量据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
哈代将矛盾证明称为“数学家最优秀的武器之一”,他说,“这是一个比任何棋局都好得多的策略:棋手可以牺牲一个棋子,甚至一块棋子,但数学家可以提供游戏。”据/p>
用矛盾来证明据/h2>
当在可能性之间存在某种二元选择时,通常使用矛盾证明:据/p>
是理性的或不合理的。据/p>
有无限多个素数或有有限多个素数。据/p>
与圆相切的直线要么垂直于包含切点的圆的半径,要么不垂直。据/p>
通过矛盾撰写证明时,您需要了解哪种可能性是正确的。据/p>
一个怀疑据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是无理数,因为似乎没有任何有理数的平方等于2。据/p>
一名怀疑是有无数的素数,因为虽然它们很少见,但是似乎总是可以找到更多。据/p>
一个人怀疑与圆圈相切的线始终垂直于半径,因为它绘制时似乎总是这样。据/p>
矛盾证明法据/strong>
否定结论据/em>:从一个前提开始,无论你试图证明什么,相反的是正确的。在介绍示例中,目的是证明据E.m>没有据/em>最大的数,证明的前提是据E.m>是据/em>最大数量。据/p>
分析这个前提的后果据/em>:这一步骤涉及将该前提放在一些数学形式。在引言示例中,最大的数字给出了一个名字,据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
矛盾据/em>:A据S.T.R.O.N.G>矛盾据/strong>考虑到否定的结论前提是没有意义的。在引言示例中,发现了一个大于的数字据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 。这反对前提据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是最大的数字。据/p>
一旦发现矛盾,证明就完成了。你可以得出结论,你试图证明是正确的。据/p>
用矛盾证明对证明公式或方程式不是很有用。反证法需要一种新的方法据E.m>具体的据/em>替代你想要证明的任何东西。例如,您不会通过矛盾使用证明来证明据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/quadratic-formula/" class="wiki_link" title="二次公式“T.一种R.GE.T.=“_blank">二次公式据/a>. 二次方程没有任何特定的替代方程,所以用矛盾证明无助于证明它。据/p>
但是,证明通过矛盾据E.m>可以据/em>有时被用来证明据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/converse/" class="wiki_link" title="交谈“T.一种R.GE.T.=“_blank">交谈据/a>指公式或方程式。毕达哥拉斯定理逆定理的证明就是一个例子。据/p>
数字论据/h2>
通过矛盾证明是常见的数字理论,因为许多证据需要在可能性之间存在某种二元选择。据/p>
证明据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="非理性的“T.一种R.GE.T.=“_blank">非理性的据/a>。据/p>
假设据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是理性的。如果它是合理的,它可以表示为两个共素整数的比率据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 和据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 。自从据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 和据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是共同的,据E.m>他们两个都不能甚至据/em>。据/p>
如果据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
证明没有任何积极的据一种T.一种R.GE.T.=“_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-numbers/">有理数据/a>。据/p>
假设那里据E.m>是据/em>一个最小正有理数,叫它据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 。据/p>
笔记据/strong>:这结果给出了任何密集的子集的直觉据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 不能有一个最小的元素。据!-- end-example -->
证明有据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/infinitely-many-primes/" class="wiki_link" title="无穷多个素数“T.一种R.GE.T.=“_blank">无穷多个素数据/a>。据/p>
假设有很多素数。然后可以列出所有素数,按顺序列出:据/p>
哪里据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
证明有理数与无理数之和是无理数。据/p>
假设有理数和无理数的和是有理数。第一个有理数可以表示为据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
代数据/h2>
如果据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 那据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 和据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是奇数整数,证明这一点据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
证明这一点据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/harmonic-series/" class="wiki_link" title="调和级数“T.一种R.GE.T.=“_blank">调和级数据/a>分歧。据/p>
谐波级数是据/p>
假设调和级数收敛,考虑下列级数:据/p>
在哪里据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
几何学据/h2>
当对几何学使用矛盾证明时,它通常会导致看起来荒谬的图形。这是意料之中的,因为用矛盾来证明总是从一个与被认为是正确的东西相反的前提开始。据/p>
证明一条与圆相切的直线垂直于包含该切点的圆的半径。据/p>
给我们一个圆圈据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
假设切线线不会垂直于包含切线点的半径。然后存在一些其他点,据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 在线的据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 以致据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
自从据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 是切点,据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X"> 必须在圈子之外。所以,据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
然而,据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
因此,切向圆的线始终垂直于包含切线点的圆的半径。据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
考虑到据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/" class="wiki_link" title="勾股定理“T.一种R.GE.T.=“_blank">勾股定理据/a>,证明了毕达哥拉斯定理的交谈。也就是说,如果三角形包含侧长度据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
欧几里德的元素,第1卷,命题6。据/strong>证明,如果三角形的两角是一致的,那么它们对面的两侧是一致的。据/p>
注:据/strong>这个证明正好相反据S.T.R.O.N.G>提案5据/strong>(如果三角形的两侧是一致的,那么它们对面的角度是一致的),它也从据S.T.R.O.N.G>提案4据/strong>(SAS同余)。证明这个定理还有其他方法,但这个证明需要的前提命题很少。据/p>
假设有一个三角形,它有两个全等的角,但这两个角的对边不全等。如果这两条边不全等,那么其中一定有一条长。据/p>
在上面的三角形中,据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
自从据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
现在可以观察到这些同时:据/p>
这些一致性表明据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
组合学据/h2>
鸽子原则据/a>:据B.R.>将5个点放在单位等边三角形内。证明这两个点必须是最大距离据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
Ramsey的定理据/a>:据B.R.>证明,出于6人的一方,存在一组3个共同朋友或一组三个共同的非朋友。据/p>
假设在6中给出了任何3人,最多有2个友谊或2个非友谊。让6人贴上标签据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
图论据/a>:据B.R.>证明通过沿每条路径精确移动一次,不可能遍历下图。可以选择任何顶点作为起始顶点或结束顶点,并且可以多次传递顶点。据/p>
假设可以通过沿着每条路径一次行驶一次,这是可以遍历图表。考虑每个顶点都会通过多少次。每次输入顶点时,都会退出。因此,如果每条路径都是一次行进,那么每个顶点都应该具有来自它的偶数路径。这是一个例外,是起始顶点和结束顶点。这些顶点应具有来自它们的奇数路径。只有一个起点顶点和一个结束顶点。但是,上面的图形具有4个顶点,具有来自它们的奇数路径。据/p>
因此,不可能通过沿着每条路径一次行进一次来遍历上述图。据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
大厅的婚姻定理据/a>通常用于需要在集合中的元素之间匹配的问题。它在以下问题中的应用并不完全明显,但考虑一下:为了一个据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
无限的血统据/h2>
主要文章:据一种HR.E.F=“HT.T.P.S.://www.parkandroid.com/wiki/general-diophantine-equations-fermats-method-of/" class="wiki_link" title="Fermat的无限下降方法“T.一种R.GE.T.=“_blank">Fermat的无限下降方法据/a>
费马无限下降法据/strong>是一种特殊的证明通过矛盾。它基于存在最小的正整数,据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
. 如果一个前提导致无穷多个正整数解,使得每个解依次变小,那么这是一个矛盾。据/p>
证明如果是据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
是一个积极的整数和据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
那么不是一个整数,那么据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
这是不合理的。据/p>
假设据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
是理性的。那么它可以表示为据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
请注意,上面的表达式等同于据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">
代替据S.P.一种N.CL.一种S.S.=“K.一种T.E.X">