平方和定理

平方和定理定理在添加剂数论关于的表达整数其他整数的平方和。例如, $30 = 1^2 + 2^2 + 5^2$，所以30可以表示为3个平方和。然而,蛮力将揭示23不能被表示为三个平方和。平方和定理给出了一种公式化的方法来区分哪些数字可以用平方和表示，哪些不能。这对于非常大的数字特别有用，因为蛮力方法在计算上是不切实际的。

平方和定理在应用数论中有着广泛的应用，例如密码学而且整数分解算法．它们经常被用作证明其他定理的中间步骤初等数论．关于什么类型的整数可以表示为的和，已有许多结果证明 $k$广场的 $k \通用电气2$，即什么形式 $n$必须这样做 $N = a_1^2 + \点+ a_k^2$为 $n, a_i \in \mathbb{Z}$．

在这种情况下 $k = 2$，关于两个平方和的费马定理这很奇怪主要的 $p$是否可表示为两个平方和当且仅当 $P = 4n + 1$对于某个正整数 $n$．形式上，费马关于两个平方和的定理说

为奇怪' $p$ $\exists\ x, y \in \mathbb{Z} \mid p = x^2 + y^2$当且仅当 $P \equiv 1 \bmod 4;$

比如奇素数 $5$， $17$, $41$都是一致的吗 $1 \ bmod 4$．根据费马定理关于两个平方和的预测，每个平方和可以表示为两个平方和: $5 = 1^2 + 2^2$， $17 = 1^2 + 4^2$, $41 = 4^2 + 5^2$．另一方面，奇素数 $7$， $19$, $31$都是一致的吗 $3 \ bmod 4$不能表示为两个平方和。

证明

1749年，莱昂哈德·欧拉首次证明了两个平方和的费马定理。它使用的技术是无限下降证明，它直观地利用了正整数从下限时的事实。完整的证明是相当复杂的，所以下面是欧拉证明的大致轮廓。

1. 使用Diophantus的身份为了说明两个数的乘积，每个数都是两个平方和，它本身就是两个平方和。

2. 再次使用丢番图恒等式，说明一个两个平方和的数字能被两个平方和的质数整除意味着商是两个平方和。

3. 用2的结果，证明通过对位如果一个数可以写成两个平方和，并且能被一个非两个平方和的数整除，那么这个商就有一个非两个平方和的因子。

4. 通过无限下降，证明如果 $一个$而且 $b$都是质数，那么每个因子呢 $a ^ 2 + ^ 2$是两个平方和。

5. 使用费马小定理，表示形式中的每一个素数 $4 n + 1$是两个平方和。
   

应用程序

如果是奇数 $n$可以表示为产品吗 $n = ^ {2},$的所有因素 $b$都是相等的, $1 \ bmod 4$,然后 $n$可以表示为两个平方和。这相当于说 $n$可以表示为两个平方和，如果有 $n$一致, $3 \ bmod 4$有一个偶指数。发现 $x$而且 $y$这样 $B = x^2 + y^2$意味着 $N = (ax)²+ (ay)²$，这是两个平方和，所以证明可以简化为证明这个 $\exists\ x, y \in \mathbb{Z} \mid b = x^2 + y^2$当 $b$质数的乘积相等吗 $1 \ bmod 4$．通过对两个平方和重复应用费马定理和Brahmagupta-Fibonacci恒等式，证明相对简单Diophantus的身份．

先前结果的一个应用是合数这可以表示为两个平方和比较容易因式分解。欧拉分解方法需要表示一个数字 $n$作为两个平方和的两个不同和的和，即。 $N = a²+ b²= c²+ d²$．利用这一知识，算法确定了的非平凡因子 $n$．不幸的是，该算法的使用有限，因为没有简单的方法来确定是否 $n$质因数是否一致 $3 \ bmod 4$奇怪的指数。

在这种情况下 $k = 3$，勒让德三平方定理说,一个自然数 $n$是否可表示为三个平方和当且仅当 $n \ neq 4 ^ (8 b + 7)$为整数 $一个$而且 $b$．形式上，勒让德的三平方定理是这样的:

为 $n \ \ mathbb {n}$

$\存在\ x, y, z \in \mathbb{z} \mid n = x^2 + y^2 + z^2$

当且仅当

$\nexists\ a, b \in \mathbb{Z} \mid n = 4^a(8b+7)。$

例如, $13$， $26$, $41$不能以该形式表示 $4 ^ (8 b + 7)$对于一些整数 $一个$而且 $b$．根据勒让德三平方定理的预测，每一个都可以表示为三个平方和: $13 = 0^2 + 2^2 + 3^2$， $26 = 1^2 + 3^2 + 4^2$, $41 = 3^2 + 4^2 + 4^2$．另一方面，蛮力可以证明这一点 $15 = 4^0(8 \cdot + 7)$， $4^1(8 \cdot 0 + 7)$, $92 = 4^1(8 \cdot 2 + 7)$不能表示为三个平方和。

勒让德的三平方定理的证明是相当复杂的，因此这里不包括。事实上，一个证明的案例 $k = 4$发现于1770年，比勒让德发现第一个证据整整早了28年 $k = 3$．

在这种情况下 $k = 4$，拉格朗日四平方定理，也被称为巴切特猜想，说的是每一个正整数 $n$可以表示为四个平方和。形式上，拉格朗日四平方定理是这样的:

为 $n \ \ mathbb {n}$

$\存在\ a, b, c, d \in \mathbb{Z} \mid n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2。$

例如, $3 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2$， $31 = 1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 5 ^ 2$, $310 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 4 17 ^ ^ 2 + 2$．

有了勒让德的三平方定理，证明拉格朗日的四平方定理就相当简单了。

1. 如果 $\exists\ a, b \in \mathbb{Z} \mid n = 4^a(8b+7)$,然后 $n$是相等的 $0 \ bmod 4$或 $3 \ bmod 4$,当 $\ neq 0$或 $一个= 0$,分别。

2. 别的, $n$是相等的 $1 \ bmod 4$或 $2 \ bmod 4$,所以 $n$可以表示为三个平方和。自 $N = x²+ y²+ z²$通过勒让德三平方定理，这意味着 $N = 0²+ x²+ y²+ z²$为四个平方和。

3. 的情况下 $N \equiv 3 \bmod 4$,因为 $n - 1$是否可以表示为三个平方和 $（$自 $N - 1 \equiv 2 \bmod 4)$通过勒让德三平方定理， $n$可以用加法表示为四个平方和吗 $1 ^ 2$来 $(n - 1)$是三个平方和。自 $\存在\ x, y, z \in \mathbb{z} \mid n - 1 = x^2 + y^2 + z^2$，由此可见 $N = 1²+ x²+ y²+ z²$，这是四个平方和。

4. 的情况下 $N \equiv 0 \bmod 4$,请注意 $N = 4m = 2^{2}m$．因此，如果存在四个平方和 $米$，那么它存在的意义 $n$,因为 $m = ^ 2 + b d ^ ^ 2 + c ^ 2 + 2 \意味着n = 4 m = (2) ^ 2 + (2 b) ^ 2 + (2 c) ^ 2 + (2 d) ^ 2$．反复分裂 $n$通过 $4$最终会得到与之相等的数字 $1 \ bmod 4$， $2 \ bmod 4$,或 $3 \ bmod 4$，可以用前面三步的4个平方和表示。 $_ \广场$
   

表达 $28$作为四个平方和。

提示:使用上面拉格朗日四平方定理的证明。

显示答案

自 $28 \equiv 0 \bmod 4$，第四种情况适用，答案将是这样的形式 $28 = 4m = (2a)²+ (2b)²+ (2c)²+ (2d)²，$在哪里 $m = 7$．因此，我们需要找到 $A, b, c, d$满足 $7 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$．自 $3 \bmod 4$，适用第三种情况，且 $7 = 1^2 + a^2 + b^2 + c^2$．

快速猜测和检查 $6 = a^2 + b^2 + c^2$ $（$第二种情况，since $6 \equiv \bmod 4)$揭示了 $a = 1, b = 1, c = 2$．因此, $28日= (2 \ times1) ^ 2 + (2 \ times1) ^ 2 + (2 \ times1) ^ 2 + (2 \ times2) ^ 2 = 2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 4 ^ 2$． $_ \广场$

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