费马多边形数定理

费马多边形数定理说明每一个正整数最多可以写成整数的和 $n$ $n$gon数字。这意味着一个正整数最多可以写成3个三角数、4个平方数等等的和。

• $17 = 1 + 6 + 10$(三角数字)
• $17 = 1 + 16$(平方数字)
• $17 = 5 + 12$(五角数字)

的理由 $n = 3$由高斯证明，证明如下。

根据拉格朗日三方定理，我们知道一个数 $r$的形式 $8 n + 7$不能表示为3个平方数的和。这意味着数字的形式 $8 n + 3$可以写成3平方和。

对8取余的平方是 $(0,1)$而且 $（4）.$

为 $r$要成为三个平方和，这些平方和需要等于 $1 \ pmod 8:$

$\开始{对齐}" = x + 1) (2 ^ 2 + (2 y + 1) ^ 2 + z + 1) (2 ^ 2 \ \ 8 n + 3 & = 4 x ^ 2 + 4 x + y ^ 2 + 4 y z z ^ 2 + 4 + 4 + 3 \ \ 8 n = 4 x (x + 1) + 4 y (y + 1) + 4 z (z + 1) \ \ n = \压裂{x (x + 1)}{2} + \压裂{y (y + 1)}{2} + \压裂{z (z + 1)}{2}。结束\{对齐}$

所有的三角数都是这种形式 $\压裂{(+ 1)}{2}。$因此, $n$可以写成三个三角数的和。 $_ \广场$