我们可以证明这个等式如下:
考虑四个整数,
一个,b,c,
d:
(一个2+b2)(c2+d2)=一个2c2+一个2d2+b2c2+b2d2=一个2c2+一个2d2+b2c2+b2d2−2一个bcd+2一个bcd=(一个2c2±2一个bcd+b2d2)+(一个2d2∓2一个bcd+b2c2)=(一个c±bd)2+(一个d∓bc)2.□
注意,一般来说,它是两个平方的和两种不同的方式,除了当
∣一个c+bd∣=∣一个d+bc∣而且∣一个c−bd∣=∣一个d−bc∣,
例如,如果
一个=b=c而且
d=0或
一个=b=c=d.
最后,注意for
一个=b而且
c=d,你有
(一个2+b2)(c2+d2)=(2一个c)2,
这是
02+(2一个c)2,这仍然是两个平方和。