指数规则 - 代数

对于应用于数值示例而不是代数表达式的指数规则，阅读指导规则。

指数是重复乘法的简写方法。我们可以很容易地找到 $A ^ B.$通过乘法 $A.$了很多次。例如，通过大量的计算，

$2 ^2 * 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 4 * 8 * 16 = 512 = 2 ^ 9。$

然而，这种方法将迅速导致大量引入并发症。指数规则为我们提供了一种捷径的方法，并得出结论

$2 ^ 2 \ times 2 ^ 3 \ times 2 ^ 4 = 2 ^ {2 + 3 + 4} = 2 ^ 9。$

指数规则是:

$\开始{数组}{c | c}{规则名称}& \ \文本文本规则{}\ \ \线\文本{乘法法则}& ^ m \乘以一个^ ^ n = {m + n} \ \ & ^ n \ b ^ n = (a、b) ^ n \ \ \线\文本{除法法则}&一个^ ^ n / m = ^ {n - m} \ \ & ^ n / b ^ n = (a / b) ^ n \ \ \线\文本{负指数}& ^ {n} = \压裂{1}{^ n} \ \ \线\文本{权力规则}& (^ n) m ^ = ^ {n\times m } \\ & a ^ { 1/n} = \sqrt[n]{a } \\ & \sqrt[m]{ a^n} = a^ { n/m} \\ \hline \text{Tower Rule} & a ^ { n^ m } = a ^ { \left ( n^ m \right) } \\ \hline \text{Zero Rule} & a^0 = 1 \\ & 0^ a = 0 \text{ for } a > 0 \\ \hline \text{One Rule} & a^1 = a \\ & 1^a = 1 \\ \end{array}$

如果是这些规则是真的 $A.$是积极的， $m$那 $N$是正整数。

注意：对于权力法则，用 $n = 2$和 $m = \ dfrac {1} {2}$， LHS(左边)为 $（a ^ 2）^ {\ frac {1} {2}} = |a |$，而RHS(右边)是 $a ^ {2 \ times \ frac {1} {2}} = a$。这些不等于。处理消极或复杂值时也有特殊情况。

因为大多数人都有难度和分数指数困难，所以我们向这些部分增加了额外的练习。

$a^{m + n} = a^{m + n}$

当基础相同时，您可以添加指数。

什么是 $A ^ 3 \倍A ^ 4$还是

---

我们有

$A ^ 3 \次A ^ 4 =（a \ times a \ times a）\ times（a \ times a \ times a \ times a）= a ^ 7。$

换句话说， $^ 3 \ \倍^ 4 = a ^ {3 + 4} = a ^ 7。\ _ \ Square$

什么是 $x \ times x ^ 2 \ times x ^ 6 \ times x ^ 4$还是

---

我们有

$x \ times x ^ 2 \ times x ^ 6 \ times x ^ 4 = x ^ {1 + 2 + 6 + 4} = x ^ {13}。\ _ \ Square$

什么是 $A ^2乘以A ^3乘以b乘以c^2乘以b^4乘以c^7$还是

---

我们有

$A ^ 2 \倍A ^ 3 \ times b \ times c ^ 2 \ time b ^ 4 \ time c ^ 7 = a ^ {2 + 3} b ^ {1 + 4} c ^ {2 + 7} = a^ 5b ^ 5c ^ 9。\ _ \ Square$

$\大a ^ n \ times b ^ n =（a \ times b）^ n$

当指数相同时，您将乘以基础。

什么是 $（a \ times b）^ 5$还是

---

我们有

$(a * b)^5 = a^5 * b^5 = a^5 * b^5。\ _ \ Square$

什么是 $a ^ 3 \ times b ^ 3$还是

---

我们有

$a ^ 3 \ times b ^ 3 =（a \ times b）^ 3 =（ab）^ 3。\ _ \ Square$

$\大\ frac {a ^ n} {a ^ m} = a ^ {n - m}$

什么是 $a ^ 6 \ div a ^ 3$还是

---

我们有

$A ^3 = A ^{6-3} = A ^3。\ _ \ Square$

什么是 $一个^ {5}\ div ^ {7}$还是

---

我们有

$A ^{7} = A ^{5-7} = A ^{-2}。\ _ \ Square$

什么是 $x ^ 2 \ div x ^ 4$还是

---

我们有

$X ^{2-4} = X ^{2 -2} = X ^{2- 1} = X ^{2- 1} = X ^{2- 1}\ _ \ Square$

$\大\ frac {a ^ n} {b ^ n} = \ left（\ frac {a} {b}右）^ n$

当指数相等时，可以除底数。

什么是 $\压裂{^ 2}{b ^ 2} ?$

---

我们有

$\ frac {a ^ 2} {b ^ 2} = \ left（\ frac {a} {b}右）^ 2。\ _ \ Square$

A.负指数当我们有一个编写的数​​字时发生 $a ^$，在哪里 $B.$小于零。为了解释这个，如果我们代入 $n = 0.$和 $m = 1$在除法法则中，我们得到

$a ^ { - 1} = a ^ {0-1} = \ frac {a ^ 0} {a ^ 1} = \ frac {1} {a}。$

更普遍地说，我们有

$a ^ {-n} = \ frac {a ^ 0} {a ^ n} = \ frac {1} {a ^ n}。$

互惠：

对于任何非零实数 $一个,$数量 $a ^ { - 1}$是它倒数。 $_ \平方$

什么是 $A ^ { - 3}$还是

---

我们有

$a ^ { - 3} = \ frac {1} {a ^ 3}。\ _ \ Square$

表达式 ${x^{-3}}{x^{-2} \cdot y^3}$可以简化到 $x ^ \ cdot y ^ b$。查找 $a + b。$

---

给定的表达式可以重写为

$\ begin {对齐} \ dfrac {x ^ 5 \ cdot y ^ { - 3}} {x ^ { - 2}} {x ^ { - 2}} {x ^ { - 2} \ cdot y ^ 3}＆= x ^ 5 \ cdot y ^ { - 3} \ cdot \ left（\ frac {1} {x}右）^ { - 2} \ cdot \ left（\ frac {1} {y} \ oled）^ 3 \\＆= x ^ 5 \ cdot y ^ { - 3}\ cdot x ^ 2 \ cdot y ^ { - 3} \\＆= x ^ 5 \ cdot x ^ 2 \ cdot y ^ { - 3} \ cdot y ^ { - 3} \\＆= x ^ {5+2} \ cdot y ^ { - 3 -3} \\＆= x ^ {7} \ cdot y ^ { - 6}。\结束{对齐}$

比较，我们得到了 $一个= 7$和 $b = -6，$这意味着

$A + B = 7 - 6 = 1。\ _ \ Square$

$\大（a ^ m）^ n = a ^ {m \ times n}$

什么是 $\左（\左（a ^ 2 \右）^ 5 \右）^ 3$还是

---

我们有

$左左(\ \(^ 2 \右)^ 5 \右)^ 3 = ^{2 \ * 5 \ * 3}= ^{30}。\ _ \ Square$

什么是 $\左（a ^ 4 \右）^ 2 \ times \ left（a ^ 2 \右）^ 3$还是

---

我们有

$\左(4 ^ \右)^ 2 \ *(^ 2)^ 3 = ^{4 \ * 2}\次^{2 \ * 3}= ^{8 + 6}= ^{14}。\ _ \ Square$

什么是 $\左（a ^ 2 \右）^ 5 \ times \ left（b ^ 4 \右）^ 3$还是

---

我们有

$\左（a ^ 2 \右）^ 5 \ times \ left（b ^ 4 \右）^ 3 = a ^ {2 \ times 5} \ times b ^ {4 \ times 3} = a ^ {10} b^ {12}。\ _ \ Square$

什么是 $\左（a ^ 7 \ times b ^ 4 \右）^ 5$还是

---

我们有

$\左（a ^ 7 \ times b ^ 4 \右）^ 5 = a ^ {7 \ times 5} \ times b ^ {4 \ times 5} = a ^ {35} b ^ {20}。\ _ \ Square$

什么是 $左(\ \压裂{^ 3}{b ^ 2} \右)^ 4$还是

---

我们有

$左（\ frac {a ^ 3} {b ^ 2} \右）^ 4 = \ frac {a ^ {3 \ times 4}} {b ^ {2 \ times 4}} = \ frac {a ^ {12}} {b ^ 8}\ _ \ Square$

$\大a ^ {n ^ m} = a ^ {\ left（n ^ m \ rice）}$

在指数塔中，从上到下。

这是一个非常常见的错误，因为我们忘记了定义是工作形成全面，而不是从自下而上。服用 $A ^ {(b^ c)} = A ^ {(b^ c)$是A.常见错误是的。

如果 $x > 1$，下列哪项较大: $x ^ {2 ^ 3}$或 $左（x ^ 2 \右）^ 3？$

---

我们有 $X ^ {2 ^ 3} = X ^ 8$, $\左（x ^ 2 \右）^ 3 = x ^ {2 \ times 3} = x ^ 6$。自从 $x > 1$，我们有 $x ^ 8> x ^ 6$。因此， $x ^ {2 ^ 3}$比较大。 $_ \平方$

$\ \开始大数组{}{c}和^ {1 / n} = \ sqrt [n]{一},和^ {m / n} = \ sqrt [n] {^ m}。结束\{数组}$

提升到分数力量类似于服用a根。
第二条规则通过提高第一个规则来遵循 $m ^ {\ text {th}}$权力。

什么是 $x ^ {\ frac {1} {2}}$还是

---

我们有 $X ^ {\frac{1}{2}} =根号{X}。\ _ \广场$

什么是 $左（x ^ 2 \右）^ {\ frac {1} {4}}$还是

---

我们有 $\左（x ^ 2 \右）^ {\ frac {1} {4}} = x ^ {\ frac {2} {4}} = x ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {x}。\ _ \ Square$

$\大1 ^ a = 1$

$1$取任意次方等于 $1。$

什么是 $1 ^ x$还是

---

$1 ^ x$总是等于 $1$对于任何真正的价值 $X.$。 $_ \平方$

$\text{If} a \neq 0， \text{then} a ^ 0 = 1。\ _ \ Square$

任何非零数的零次方等于 $1。$

什么是 $^ 0$，在哪里 $A.$是一个非零实数吗?

---

我们有

$^ 0 = 1。\ _ \ Square$

什么是 $x ^ 5 \ div x ^ 5$，在哪里 $X.$是一个非零实数吗?

---

我们有

$x ^ 5 \ div x ^ 5 = x ^ {5-5} = x ^ 0 = 1. \ _ \ square$

和有关信息。 $0 ^ 0，$看什么是 $0 ^ 0$。

简化

$左(\ \压裂{x ^ 5 y ^ {3}} {x ^ 3 y ^ 8} \右)^ 2。$

---

我们有

$左(\ \压裂{x ^ 5 y ^ {3}} {x ^ 3 y ^ 8} \右)^ 2 = \离开(x ^ y ^{5 - 3}{3 - 8} \右)^ 2 = \离开(x ^ 2 y ^{-11} \右)^ 2 = x ^ 4 y ^{-22} = \压裂{x ^ 4} {y ^{22}}。\ _ \ Square$

简化

$\ frac {\ left（27 x ^ 4 y ^ { - 5}右）^ 3} {\ left（81 x ^ 2 y ^ { - 3}右）^ 2}。$

---

我们有

${对齐}\ \开始压裂{\离开(27 x ^ 4 y ^{5} \右)^ 3}{\左(81 x ^ 2 y ^{3} \右)^ 2}& = \压裂{\离开(3 ^ 3 x ^ 4 y ^{5} \右)^ 3}{\离开(3 ^ 4 x ^ 2 y ^{3} \右)^ 2 } \\ &= \ 压裂{3 ^ 9 x ^ {12} y ^ {-15}} {3 ^ 8 x ^ 4 y ^ {6 } } \\ &= x ^ 3 ^{9}{以}y ^ {-15 - (6)} \ \ & y = x ^ 3 ^ 1 8 ^{9} \ \ & = \压裂{3 x ^ 8} {y ^ 9}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $3 ^ {x - y} = 81$和 $3 ^ {x + y} = 729$是什么 $X.$还是

---

把这两个表达式乘在一起就得到 $y$取消:

$\begin{aligned} 3^{x-y} \times 3^{x+y} &= 81 \times 729 \\ 3^{x-y+x+y} &= 3^4 \times 3^6 \\ 3^{2x} &= 3^{10} \\ x &= 5. \ _\square \end{aligned}$

如果 $a ^ b = a ^ c，$在哪里 $A.$是一个积极的数字 $一个\ ne1，$然后它意味着 $b = c$。

如果 $2 ^ 8 = x ^ 2$，在哪里 $X.$是一个积极的整数，是什么 $x？$

---

我们可以将给定的等式重写为

$2 ^ 8 = 2 ^{4 \ * 2} = \离开(2 ^ 4 \右)^ 2 = 16 ^ 2 = x ^ 2,$

这意味着 $x = 16。$ $_ \平方$

如果 $27 ^ p = 3 ^ 7 \ times 9 ^ 4$是什么 $P ?$

---

首先，我们把所有项都转换为的幂 $3：$

$\ begin {对齐} 3 ^ {3p}＆= 3 ^ 7 \ times 3 ^ {4 \ times 2} \\＆= 3 ^ 7 \ times 3 ^ 8 \\＆= 3 ^ {7 + 8} \\＆= 3 ^ {15}。\结束{对齐}$

由于基地等于，我们可以说 $3p = 15，$这意味着 $P = 5。$ $_ \平方$