统一的根源

一个<年代trong>根的团结是A.<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复数" target="_blank">复数当取到a时<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/de-moivres-theorem/" class="wiki_link" title="正整数功率" target="_blank">正整数功率，结果在<年代pan class="katex"> $1$ $1$ ．统一的根源与数学的许多领域有关，包括几何形状<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/regular-polygons/" class="wiki_link" title="常规多边形" target="_blank">常规多边形，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/group-theory-introduction/" class="wiki_link" title="群理论" target="_blank">群理论，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/learn-and-practice-number-theory-on-brilliant/" class="wiki_link" title="数字论" target="_blank">数字论．

下面这个问题，虽然看起来与复数无关，但却很好地说明了单位的根是如何工作的:

在前面的问题中，不同距离的“跳跃”类似于10<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{TH.}$ 根的团结。事实上，10<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{TH.}$ 统一的根，在绘制时<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-plane/" class="wiki_link" title="复平面" target="_blank">复平面，形成一个普通的十分之一。Defforming 10“啤酒花”在Decagon周围就像筹集了一个10<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{TH.}$ 单位的根到10<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{TH.}$ 权力。在布里利的案子中，这让他回到了起点。In the case of在……的情况下<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{TH.}$ 团结的根，它的结果<年代pan class="katex"> $1$ $1$ ．

内容

团结根系的定义

解<年代pan class="katex"> $文本\ textit {n} ^ \ {th}$ $n^{TH.} 统一的根源$

解这种形式的方程<年代pan class="katex"> $x ^ n = a$ $x^{n} ＝一个$
单位根与正多边形的关系

使用统一的根旋转

与几何进步的统一根源的关系

统一根源的性质

附加问题解决与统一的根

团结根系的定义

对于任何正整数<年代pan class="katex"> $n$ $n$ ,<年代pan class="katex"> $\ textit {n} ^ \ textbf {th}$ $x ^ n = 1$

解<年代pan class="katex"> $文本\ textit {n} ^ \ {th}$ $n^{TH.} 统一的根源$

欧拉公式可以用来找到<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n$

$e ^ {ix} = \ text {cis}（x）= \ cos（x）+ i \ sin（x）$

让<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 是一个正整数<年代pan class="katex"> $U_N.$ $n ^ \文本{th}$

$左U_n = \ \ {e ^ {2 k \π/ n}{\大型\中期}k \ \ {1, 2 \ ldots n \} \右\}。$

重要的是要注意所有的一套<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n$

通过欧拉公式,

$e ^ {2 \ pi i} = \ cos（2 \ pi）+ i \ sin（2 \ pi）= 1。$

让<年代pan class="katex"> $k$ $k$ 为任意正整数。然后

$大(e ^ \{2π\}\大)^ k = e ^ {2 k \π}= 1 ^ k = 1。$

给了它<年代pan class="katex"> $x ^ n = 1$ $x$

$x ^ n = 1 = e ^ {2 \ pi i} = e ^ {4 \ pi i} = e ^ {6 \ pi i} = \ ldots = e ^ {2k \ pi i}。$

提高每个力量<年代pan class="katex"> $\ mander \ frac {1} {n}$ $\frac{1}{n} 电力给出$

$\左（x ^ n \右）^ {1 / n} = x = e ^ {2 \ pi i / n} = e ^ {4 \ pi i / n} = e ^ {6 \ pi i / n}= \ ldots = e ^ {2k \ pi i / n}。$

注意,如果<年代pan class="katex"> $k > n$ $\ mander \ frac {2k \ pi} {n}$

因此，有<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 不同的解决方案<年代pan class="katex"> $x ^ n = 1$ $x = e ^ {2 k \π/ n}$

解方程<年代pan class="katex"> $x ^ 3 = 1$ $x。$

根据上面的定理，解是

$\{数组}{c}开始x = e ^{2 \π/ 3},e ^{4我\π/ 3},e ^{6我\π/ 3}\{数组}结束。$

通过欧拉的公式，它们分别是，

$\ begin {对齐} x＆= \ cos {\ left（\ frac {2 \ pi} {3} \右）} + i \ sin {\ left（\ frac {2 \ pi} {3} \ rick）} =\ frac {-1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ x＆= \ cos {\ left（\ frac {4 \ pi} {3} \ revion）} + i \罪｛\left(\frac{4\pi}{3}\right)}=\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x&=\cos{\left(\frac{6\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{6\pi}{3}\right)}=1.\ _\square \end{aligned}$

让<年代pan class="katex"> $z$ $z$ 是一个<年代pan class="katex"> $7 ^ \文本{th}$ $z$

如果<年代pan class="katex"> $z = a + bi$ $一个$

把你的答案小数点后三位。

解这种形式的方程<年代pan class="katex"> $x ^ n = a$ $x^{n} ＝一个$

统一的根源可用于解决表格的任何等式<年代pan class="katex"> $x ^ n = a$ $一个$

查找等式的所有复杂解决方案<年代pan class="katex"> $x ^ 4 = 2。$ $x^{4} ＝ 2 ．$

求解这个方程的方法与求解非常相似<年代pan class="katex"> $x ^ 4 = 1:$ $x^{4} ＝ 1 ：$

$x ^ 4 = 2 (1) = 2 e ^{2} \π= 2 e ^{4} \π= 2 e ^{6} \π= 2 e ^{8} \π。$

以<年代pan class="katex"> $4 ^ \文本{th}$ $4^{TH.} 每个根源给予$

$\{对齐}开始x = \ sqrt [4] {2} e ^ {2 k \π/ 4}\ \文字的{}\ k = 1, 2, 3, 4 \ \ \ \ x = \ sqrt[4]{2}我~ - \ sqrt[4]{2}我~ - \ sqrt [4] {2}, ~ ~ \ sqrt[4]{2}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

1 2 3. 4 5 6 7 8

这个方程有多少根<年代pan class="katex"> $x ^ 8 = 16$ $bi$

单位根与正多边形的关系

单位的根与几何学有很强的关系。通过画出单位的根<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-plane/" class="wiki_link" title="复平面" target="_blank">复平面，它们可用于生成常规多边形的顶点。

对于任何一个整数<年代pan class="katex"> $n \通用电气3$ $n ^ \文本{th}$

等边三角形具有位于原点和顶点的质心<年代pan class="katex"> $(1,0)$ $（ 1 ， 0 ）．其他两个顶点的坐标是什么?$

这一点<年代pan class="katex"> $(1,0)$ $1 + 0i.$

$\压裂{1 + i \√{3}}{2}{和}\ \文本压裂{我\ sqrt {3}} {2}$

这些复数对应于坐标平面上的以下点:

$\ left（ - \ frac {1} {2}，\ frac {\ sqrt {3}} {2} \右）\ text {和} \ left（ - \ frac {1} {2}， - \ frac {\ sqrt {3}} {2} \右）。\ _ \ square$

使用统一的根旋转

的<年代pan class="katex"> $8 ^ \文本{th}$ $12 ^ \文本{th}$

$\（8 ^ \ text {th} \）和\（12 ^ \ text {th} \）统一的根源$ 的<年代pan class="katex"> $8 ^ \文本{th}$ $12 ^ \文本{th}$

因为这些值可以很容易地计算或记忆，所以它们对执行非常有用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers-in-geometry/" class="wiki_link" title="复平面上的旋转" target="_blank">复平面上的旋转．引申开来，它们可以用于在任何二维甚至三维空间中进行旋转。

这一点<年代pan class="katex"> $(2、3)$ $\ frac {3 \ pi} {4}$

注意，复平面上对应的点是<年代pan class="katex"> $2 + 3i$ $e ^{3 \π/ 4}$

通过乘以复数来实现复杂平面中的旋转。该结果在复杂平面中的图像是

$\ left（\ vphantom {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} 2 + 3i \右）\ left（ - \ frac {\ sqrt {2}} {2} + i \ frac {\ sqrt {2}} {2} \右）= - \ sqrt {2} - \ frac {3 \ sqrt {2}} {2}} {2} + i \ left（\ sqrt {2} - \ frac {3 \ sqrt {2}}{2}右）= - \ frac {5 \ sqrt {2}}} {2} -i \ frac {\ sqrt {2}} {2}。$

则坐标平面上对应的图像为<年代pan class="katex"> $\左（ - \ frac {5 \ sqrt {2}} {2}， - \ frac {\ sqrt {2}} {2} \右）。\ _ \ square$ $（ - \frac{5 2 ， - \frac{2 ）． _{□}}{2}}{2}$

这一点<年代pan class="katex"> $\离开(4 + 7 \ sqrt{3} \ \ \ 7 - 4倍根号{3}\右)$ $\ dfrac {\ pi} {3}$

与几何进步的统一根源的关系

从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progressions/" class="wiki_link" title="几何发展" target="_blank">几何发展，我们有

$\ sum_ {k = 0} ^ n {x ^ k} = \压裂{x ^ {n + 1} 1} {x - 1}。$

这个恒等式，连同单位根的性质，可以用来求某些多项式方程的解。

查找等式的所有复杂解决方案<年代pan class="katex"> $x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = 0$ $x^{3.} + x^{2} + x + 1 ＝ 0 ．$

根据上面的恒等式，方程变成

$\ begin {array} {c}＆\ dfrac {x ^ 4-1} {x-1}} {x-1} = 0＆\ text {或siness}＆x ^ 4 = 1，x x \ neq 1. \ neat {array}$

解是4<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{TH.}$ 统一的根源<年代pan class="katex"> $（$ $（$ 除了<年代pan class="katex"> $x = 1）：$ $x ＝ 1 ）：$

$\{数组}{c}开始x = e ^{2 \π/ 4},e ^{4 \π/ 4},e ^{6 \π/ 4},e ^{8 \π/ 4}。结束\{数组}$

使用Euler的公式扩展

$\开始x =四维数组{}{rrrrr} + i, &0-i, &-1 + 0,我& 1 + 0。结束\{数组}$

最后一个解决方案被拒绝是因为<年代pan class="katex"> $x \ neq 1$ $我,我,$

考虑等式

$x x ^ ^ 7 + 6 + x x ^ ^ 5 + 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = 0。$

让<年代pan class="katex"> $X_K.$ $k ^ \ text {th}$

$7 \ sum_ {k = 1} ^{\[大\ Re (xk) \]大^ 2}= \ ?$

统一根源的性质

一元根有许多特殊的性质和用途。以下只是其中的一些:

如果<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $x ^ k，$

如果<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $x ^ n = 1$

全部的总和<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n \ ne 1$

全部的产物<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $(1) ^ {n + 1}$

$1$

如果一个数字是统一的根源，那么它就是这样<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-conjugates-problem-solving-easy/">复杂共轭．

所有的总和<年代pan class="katex"> $k ^ \ text {th}$ $n ^ \文本{th}$

所有这些的绝对值之和<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n。$

如果<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $1，$

如果<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $x ^ k，$

通过使用索引规则，我们可以推断出来<年代pan class="katex"> $(x ^ k) ^ n = (x ^ n) ^ k$ $x$

求所有这些的乘积<年代pan class="katex"> $2016 ^ \文本{th}$ $2 0 1 6^{TH.} 根的团结。$

根据定义，单位根的乘积等于方程的根的乘积

$x ^{2016} 1 = 0。$

通过<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/">Vieta的公式，根部的乘积与多项式的恒定项有关。多项式的程度是甚至的，因此根部的产品与恒定项相同，<年代pan class="katex"> $－1$ $_ \平方$

求所有的和<年代pan class="katex"> $1729 ^ \文本{th}$ $1 7 2 9^{TH.} 根的团结。$

我们要求的是

$x ^ {1729} -1 = 0。$

通过<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/">Vieta的公式，根的和与一阶项的系数相反。一阶项的系数是<年代pan class="katex"> $0$ $0$ ，所以根的和是<年代pan class="katex"> $0$ $0$ ．<年代pan class="katex"> $_ \平方$ $_{□}$

求所有的和<年代pan class="katex"> $1000 ^ \文本{th}$ $17 ^ \文本{th}$

有根的方程是

$\{对齐}开始x ^ {17} 1 & = 0 x ^ \ \{17} & = 1 \ \ \离开(x ^{17} \右)^ {58}& = 1 ^ {58}\ \ & = 1 \ \ x ^ {986} & = 1 \ \ x ^ {1000} & = x ^{14}。结束\{对齐}$

我们只是在求所有14次方的和。通过<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/newtons-identities/">牛顿的总和（也读到这一点<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/discussions/thread/a-genaralization-of-newtons-sum/">特殊情况）我们看到<年代pan class="katex"> $s_1 = s_2 = s_3 = s_4 =。= s_ {14} = 0$ $0$

这将是真的<年代pan class="katex"> $k ^ \ text {th}$ $k$

找到根源的绝对值的总和<年代pan class="katex-display"> $x ^ {172920152016} = 1。$

如果这只是总和，那么我们将得到零。但问题要求我们关于模量。所以我们使用每个根可以表达为的事实<年代pan class="katex"> $e ^ {ki}$ $k$

$左\ | e ^ {ki} \右大| | = \ \因为k + i \罪k \大| = \√6 {\ cos ^ 2 k + \罪^ 2 k} = \ sqrt{1} = 1。$

所以每个根的绝对值是<年代pan class="katex"> $1。$ $172920152016.$

你可以概括<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n^{TH.} 根的团结。$

附加问题解决与统一的根

如果<年代pan class="katex"> $\α$ $α$ 是一个非实数的七根单位，然后求出带有这些根的二次方程的判别式<年代pan class="katex"> $\ \α+α^ 2 + \α^ 4$ $\ alpha ^ 3 + \ alpha ^ 5 + \ alpha ^ 6。$

细节和假设:

二次方程的判别式<年代pan class="katex"> $ax ^ 2 + bx + c = 0$ $b ^ 2-4ac。$

如果<年代pan class="katex"> $V_ {n} = ^ {n} + b ^ {n},$ $一个$

$\ sum_ {n = 0} ^ {1729}（-1）^ {n} \ cdot \ v_ {n}？$

鉴于

$f (x) = x ^ {13} + 2 x ^ {12} + 3 x ^ {11} + 4 x ^ {10} + \ cdots + 13 x + 14,$

表示

$N = f(a)乘以f(左(a^2)右)乘以f(左(a^3)右)乘以cdots乘以f(左(a^{14})右)$

在哪里<年代pan class="katex"> $= \因为\离开(\压裂{2 \π}{15}\右)+我罪\ \(\压裂{2 \π}{15}\右)。$ $一个＝因为（ \frac{2 π ） + 我罪（ \frac{2 π ）．}{1 5}}{1 5}$

那是什么价值<年代pan class="katex"> $米$ $米$ 这样<年代pan class="katex"> $N^\frac{1}{M} = 15 ?$ $N^{\frac{1}{米}}$

为<年代pan class="katex"> $w = e ^{\π{我}/ 11}$ $w ＝ e^{π 我 / 11}$

$\ prod_ {k = 0} ^{11} \离开(w ^ k-2w ^ {- k} \右)。$

$\begin{case} \alpha^3 \beta^5 = 1 \\ \alpha^7 \beta^2 = 1 \end{case}$

让<年代pan class="katex"> $\ alpha = cos \ theta_1 + i \ sin \ theta_1$ $= cos + isin$

如果<年代pan class="katex"> $\压裂{\ theta_1} {\ theta_2} = \压裂{一}{b}$ $一个$

测验

有关……

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