求解三次方程-拉格朗日的解

我们都能解这种形式的二次方程 $Ax ^2 + bx + c = 0$在哪里 $A \neq 0$．很简单，不是吗?甚至，我们还设计了如下公式:

$X = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

对于一般的二次方程。有没有人想过解高次方程?三次(3次)，四次(4次)，五次(5次)，六次(6次)，等等?可能。我们可能听说过Cardano的公式在立方和法拉利的解决方案在四次。甚至，我们可能知道Tschirnhausen转换所有这些都得到了解原方程的压缩方程。嘿，等等，我们也有一个用三角学求三次函数的方法。

我们将在这里讨论一种求解三次函数的方法。一种是传统Cardano的解决方案我们都知道。让我们来探索一下剩下的部分。

• 拉格朗日的解决方案(一个简单的想法):

伙计们，你们知道Abel-Ruffini定理？也许吧。忘记这一点。我在给你一份声明，如果你不知道，就暂时接受吧。

伽罗瓦理论已经确定，对于大于四次的一般方程，使用有限次算术运算和根提取的公式是不可能的。

什么?真的吗?那么，我们不能推广5+次方程的公式吗?

约瑟夫-路易·拉格朗日(1736-1813)已经有所准备。拉格朗日意识到的是解方程主要的学位 $n$对于有理数系数，我们必须解一个可解的度方程 $n - 1$还有有理数系数，现在叫做拉格朗日解。请记住，他说的是质数，比如三次数、五次数、庚次数、度- 11、13等等。

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现在我们的数学来了!

使用拉格朗日解法，要解三次方程，首先要解二次方程。

已知一般立方， $X ^3 + ax^2 + bx + c = 0$

它的解析方程由

$Z²+ (2a^3 - 9ab + 27c) Z + (a^2-3b)^3 = 0$

使得立方函数的解是 $X = \dfrac{-a + z_1^{1/3} + z_2^{1/3}}{3}$在哪里 $z_1, z_2$是解的根。

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我们可以注意到两点。首先，解与二次公式类似。虽然伽罗瓦理论已经确定，对于大于四次的一般方程，使用有限次算术运算和根提取的公式是不可能的，但有一些特殊的方程是可以解的。所以可解五次方程的解形式应该是相似的，即，

$x = \ dfrac{——+ z_1 ^ {1/5} + z_2 ^ {1/5} + z_3 ^ {1/5} + z_4 ^ {1/5}} {5}$

在哪里 $z_i$是拉格朗日四次解的根。

对于可解度，我们可以得到类似的解——7,11,13,17，..

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让我们举个例子:

设立方为 $X ^3 - 5x^2 + X - 7 = 0$

溶剂是 $Z ^2 -394z + 22^3 = 0$

与根 $下午z_i = 197 \ \ sqrt {3129}$

因此 $大型{x = \ \盒装{\ dfrac{5 + \左(197 + \ sqrt{3129} \右)^{1/3}+ \左(197 - \ sqrt{3129} \右)^{1/3}}{3}}}\约5.07475$

我们知道如何求三次单位的剩下两个根只要已知其中一个根。

这里的重要问题是找到其它更高阶的拉格朗日解。你能想到一些吗?

在后续的问题中，我将发布各种其他的方法来解决一个立方，如卡尔达诺的解决方案，平移，线性分数变换。