紧凑的空间

紧凑是一个拓扑基础的财产真实的分析，代数几何，以及许多其他数学领域。在 ${} \ mathbb R ^ n$(在标准拓扑中)，紧集就是这些集合关闭并有界。紧凑性可以思考这些属性的概括到更抽象的拓扑空间。

紧凑型集是良好的表现连续功能；特别地，紧凑型功能的连续图像紧凑，因此来自紧凑型的连续功能 $\ mathbb r.$必须有一个有限的最小值和最大值，并且必须在定义域的某个点上达到它们中的每一个(极值定理)．这在应用程序中是非常有用的优化和其他相关领域。

紧性的定义，是最一般的，对证明最有效的，在开盖方面是一个相对不直观的定义。

让 $Z$是一个人的子集拓扑空间 $X。$然后 $Z$是袖珍的如果,只要 $Z$包含在工会中 $\ bigcup \ limits_ \αU_{\α}$开放的集 $u _ {\ alpha}，$有一个有限的开放套装 $u _ {\ alpha_1}，u _ {\ alpha_2}，\ ldots，u _ {\ alpha_n}$这样 $Z$包含在 $\ bigcup \ limits_ {k = 1} ^ n U_ {\ _k}。$那是，

$Z$如果每个开放盖具有有限的Subcover，则是紧凑的。

该定义通常延伸到整个空间：拓扑空间 $X$是紧的当且仅当它作为自身的子集是紧的。这一点不难证明 $Z \ subseteq X$是紧的子集吗 $X$如果且仅当它紧凑时作为拓扑空间，当给出时子空间拓扑；所以定义是一致的。

是 $（0,1）$集合的子集 $R \ mathbb吗?$是 $[0，\ idty）？$是 $[0, 1] ?$

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这些问题的答案分别是否定、否定和肯定。一个“不”的回答更容易证明，简单地通过展示一个没有有限子封面的开放封面。例如 $(0, 1),$考虑开放的套装 $\左（0，\ frac12 \右），\左（0，\ frac23 \右），\左（0，\ frac34 \右），\ ldots$： $U_ \α= \离开(0 \ dfrac{\α}{\α+ 1}\右)$为 ${mathbb N}中的\alpha \。$请注意, $U_ \α$封面 $(0, 1),$因为在这个区间内的每一个元素都是 $u _ {\ alpha}。$但没有有限的Subcover：如果有的话，那么有限的子文件的联盟将是 $U_k$对于一些 $k$(有限索引集中最大的)，以及 $u_k = \ left（0，\ frac {k} {k + 1} \右）$不能等于全部 $(0, 1)。$

$[0，\ idty）$甚至更轻松：考虑开放间隔 $（-1,1），（0,2），（1,3），\ LDOTS$；这些封面 $[0，\ idty），$但很明显没有有限的子集。

证明 $[0,1]$而紧凑则要困难得多。它将在后面的小节中跟随结果。 $_ \广场$

该示例表明，一个无限的子集 ${} \ mathbb R ^ n$不会是紧的(因为有界集的开覆盖不能有有限子覆盖)，而非闭集不会是紧的(通过取“接近”一个极限点的覆盖)。

什么时候 $X$是一种抽象的拓扑空间，还有一种偶然有用的紧凑型配方。

$X$的闭子集的集合是紧的当且仅当 $X$与之有限的交点属性有非空交叉路口。（“有限的交叉点属性”是有限的许多集合的任何交叉点都是非空的。）

$X$如果才有且仅当有没有有限的Subcover的开放式盖子时，才能紧凑。封面中的开放集的补充形成了一系列封闭子集的集合 $X$具有有限交集属性(因为没有有限子覆盖)，但其交集是空的(因为开集形成一个覆盖)。结果如下。

什么时候 $X$是一个度量空间在美国，有几个更实际的公式通常更容易使用。

以下是等同的，因为 $X$一个度量空间:

1. $X$紧凑。
2. $X$是按顺序紧凑:每一个无穷序列的点 $X$有收敛于极限的子序列吗 $X。$
3. $X$是极限点紧凑：每一个无限的子集 $X$有一个极限点在 $X。$

$（1）\ Rightarrow（2）：$如果 $X$是紧的，假设有一个无限序列 $x_n$积分 $X$没有收敛的子序列。索赔：所有 $x$在 $X,$这是一个开放的集合 $U_X.$包含 $x$但数量有限 $x_n。$声明证明：如果没有，那么一些 $x,$每个开集包含 $x$包含无穷多 $x_n。$让 $间{n_k}$in $b \ big（x，\ frac1k \ big）$这样 $n_k$大于 $n_1、甲烷、\ ldots n_ {k - 1}。$然后 $间{n_k} \ x,$矛盾。

现在套装 $U_X.$对 $X,$所以一定有一个有限子覆盖。但是每一个 $U_X.$在序列中包含有限多的点，因此这意味着序列是有限的;矛盾。

$(2) \ Rightarrow (3):$这是直接的:给定一个无限子集 $一个,$在该子集中拍摄无限序列，找到收敛的子序列，然后其限制是限制点 $一个。$

$（3）\ lightarrow（1）：$省略(但有一个证明这里)．

以下定理提供了欧几里德空间紧凑型空间的表征。任意度量空间并不是真的，但它表明上面讨论的紧凑性定义对应于我们对“正常”环境中的紧凑性意味着什么意义的。

让 $Z$是…的子集 ${} \ mathbb R ^ n$与标准度规．然后 $Z$如果它是紧凑的，如果它是关闭和有界的。

首先，我们证明了紧集是闭的且有界的。有界性很明显:任意点 $x \ in {\ mathbb r} ^ n$（例如原点）并考虑开放的封面 $Z$由球 $B_k (x)$．如果 $Z$是紧致的，它有一个有限的子覆盖，由于球是按包含顺序排列的，最大的球包含所有其他的，所以 $Z$完全包含在某个球里 $B_N (x)$因此它是有界的。

要知道紧化意味着封闭，假设 $Z$紧凑和 $范围内随意抽查,x \ Z。$然后任何时候 $y$在 $Z$可以分开 $x$由球 $经过$大约 $y$和 $U_Y.$大约 $x$这样 $经过$和 $U_Y.$是不相交的。 $\大($如果两者之间的距离 $x$和 $y$是 $d,$然后是有半径的球 $\ FRAC D2$就足够了。 $\大)$球 $经过$对 $z，$有一个有限子覆盖 $B_ B_ {y_1}, {y_2}, \ ldots B_求和{k}。$交叉点 $求和U_ {k}$与联盟不相交 $求和B_ {k},$所以它是不相交的 $Z$自从此以来 $求和U_ {k}$封面 $Z.$这个论证表明在补码的任何点周围都有一个球 $Z$哪个是完全包含在补语中的 $Z$；也就是。的补充 $Z$是开着的。所以 $Z$关闭了。

对于相反的情况，使用下面的引理是方便的:

紧集的闭子集是紧集。

引理的证明:让 $K$是紧凑型集的封闭子集 $Z$．让 $u _ {\ alpha}$是一组开放集覆盖 $k，$,让 $u = z \ setminus k。$然后 $u _ {\ alpha}$加 $U$给一个公开的封面 $z，$哪个有一个有限子覆盖 $U_{alpha_1}， \ldots, U_{alpha_k}， U。$ $（$如果 $U$不是在有限的subcover中，扔它不能伤害。 $）$很清楚 $U_ {\ alpha_1}, \ ldots U_ {\ _k}$封面 $K.$所以 $K$紧凑。

由于任何有限的一组 ${} \ mathbb R ^ n$是 $^ n - k, k$对于一些 $k，$引理意味着它足以证明这一点 $^ n - k, k$紧凑。通过Tychonoff的定理（见下文），足以表明这一点 $[-k，k]$紧凑。所以让 $u _ {\ alpha}$是这种封闭间隔的开放封面，并定义 $t = \ sup \ big（\ {x \在[a，b] \ colon \ text {u u _ {\ alpha} \ text {covers} [a，x] \} \ big）。$然后 $一个\ le t \ le b，$而这个想法是展示这一点 $t = b。$这留给了读者的练习，使用的属性上市． $_ \广场$

Tychonoff定理:一个产品紧空间是紧的。对于有限积，证明是相对基本的，需要一些知识产品拓扑．对于任意多个集合的乘积首选的公理也是必要的。

极值定理：紧集的连续象是紧集。从定义中可以清楚地看出:给定图像的一个开盖，将其拉回到原图像的开盖上(原图像中的集合是连续开盖的)，原图像有一个有限子盖;图像的开盖中的相应集必须给出图像的有限子盖。

如引言中所述，当功能范围是时，这尤其有用 $\ mathbb R。$在这种情况下，极值定理意味着紧集的连续像有一个最大值和一个最小值，这两个值都是由函数的值获得的。