闭集

在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑结构" target="_blank">拓扑结构，一个<年代trong>闭集的集合<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-complement/" class="wiki_link" title="补充" target="_blank">补充是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="开放" target="_blank">开放．许多用开集定义的拓扑性质(包括<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="连续性" target="_blank">连续性）也可以用闭集来定义。在熟悉的背景下<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="度量空间" target="_blank">度量空间，闭集可以用几个等价的直观的性质来表征，其中之一是:闭集是包含它的全部的集合<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="边界" target="_blank">边界点。它们可以被认为是实数轴上闭区间的推广。

内容

正式的定义

距离及边界点

属性

关闭

正式的定义

在本维基的最后一部分，设置将是一个一般的度量空间<年代pan class="katex"> $(X, d)。$ $X$

度量空间中的闭集<年代pan class="katex"> $(X, d)$ $Z$

回想一下球 $B (x) \ε)$

距离及边界点

封闭度的另一种公式利用距离函数。

让<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 是度量空间的子集<年代pan class="katex"> $(X, d),$ $x \in x$

给出了这个定义，闭集的定义可以重新表述为:

一个子集<年代pan class="katex"> $Z$ $Z$ 度量空间的<年代pan class="katex"> $(X, d)$ $x \notin Z，$

确实，如果有一个半径球<年代pan class="katex"> $\ε$ $ϵ$ 周围<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 和哪个不相交<年代pan class="katex"> $Z,$ $d (x, Z)$

闭集的另一个等价定义如下:<年代pan class="katex"> $Z$ $Z$ 当且仅当它包含它的所有边界点时为闭的。这是由关于开集(它们不包含它们的边界点)的互补陈述而来的，它在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="开放集wiki" target="_blank">开放集wiki．的确，边界点<年代pan class="katex"> $Z$ $Z$ 正是有距离的点吗<年代pan class="katex"> $0$ $0$ 从两个<年代pan class="katex"> $Z$ $Z$ 和它的补函数。

属性

平凡闭集:空集合和整个集合<年代pan class="katex"> $X$ $X$ 都是关闭的。这是因为他们的补体是开放的。

关闭

的<年代trong>关闭 $\眉题年代$

$\眉题年代$

$年代$

如果<年代pan class="katex"> $S ^ c$ $年代,$

$\眉题年代$

$\眉题年代$

$\眉题年代$

区间的闭包<年代pan class="katex"> $(a,b) \subseteq {\mathbb R}$ $[a, b]。$

集合的闭包是什么<年代pan class="katex"> $\ mathbb问$ $问$ 有理数<年代pan class="katex"> $R \ mathbb$ $R$ (用欧几里得距离度量)?

每一个实数都是<年代pan class="katex"> $\ mathbb Q,$ $\π$

我只二只 I和II I和III II及III

下面是关于闭包的三个陈述<年代pan class="katex"> $\眉题年代$ $\overline{年代}$ 一组的<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 在度规空间内<年代pan class="katex"> $X。$ $X ．$

我让<年代pan class="katex"> $S T$ $X。$

这些陈述中哪一个是正确的?

有关……

内容