局部极值是否当且仅当f'(x) = 0时出现?
这是系列的一部分常见的误解.
真或假?
局部极值 当且仅当
为什么有人说这是真的:这是我们在高中教的第一个导数测试。
为什么有人说它是假的:这句话也有例外的情况。另外,我学过这只是一阶导数检验的第一步。
该声明是 .
知道函数在某一点的导数为0并不一定意味着在该点存在局部极小值或极大值。当 它只表示在这一点有一条水平切线。一个函数的例子水平切线不是局部极值吗下面给出。
此外,一个函数在其导数为非零的点上有局部极小值或极大值是可能的,具体方法如下。例如, 有一个局部最小值在 尽管
反例1:
这是一个简单的反例对于所给表述:当一个函数的导数在非局部极值点处为0时的一个例子。
区分 关于 我们有 设为0,我们得到 但从图形上我们可以清楚地看到,函数不达到局部极值在 曲线从向下凹到 向上凹的:向上凹的
反例2:
为 是一个函数的例子它在导数不为0的点处有局部极值。这是因为函数有一个受限制的域。
的图表如下所示 为
函数在点处达到最大值 和最低
然而,函数的导数 在任何一点上都不等于零
暗示所给的陈述是错误的。
更多关于局部和全球极值的信息可以在这里找到:极值.
以下是对上述反例的两种常见反对意见:的局部极值的 为 是
反驳:函数的梯度为正 因此它是递增的,我们得到的值不是局部最大值。
回复:函数没有定义 ,因此我们确实达到了局部最大值
反驳:不是 的最小值
回复:函数的最小值 在域 不是 的值 对应于较大定义域上的最小值。
另请参阅