极值(局部和绝对)

一个极值(或极值)<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/functions/" class="wiki_link" title="函数" target="_blank">函数是在某一区间内得到函数最大值或最小值的点。一个局部极值(或相对极值)是函数的最大值或最小值所处的点一些得到包含该点的开区间。

一个绝对极值(或全局极值)鉴于区间是得到函数最大值或最小值的点。通常，给定的区间是函数的定义域，绝对极值是整个函数的最大值或最小值对应的点。

这个函数有一个绝对极值在 $x = 2$和局部极值 $x = 1$．它还有其他的极限吗?

极值(最大值和最小值)很重要，因为它们提供了关于函数的大量信息，有助于回答问题<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/optimization-problems/" class="wiki_link" title="问题的最优性" target="_blank">问题的最优性．微积分提供了各种工具来帮助快速确定极值的位置和性质。

一个点 $x$是函数的绝对最大值还是最小值 $f$在这一期间 $(一,\ b)$如果 $f (x)通用电气\ f (x)$对所有 $X ' \in [a， \， b]$或者,如果 $f (x) \ le f (x)$对所有 $X ' \in [a， \， b]$．这一点 $x$是严格的(或唯一的)绝对最大值或最小值(如果它是唯一满足这些约束的点)。类似的定义也适用于区间 $[a \ \ infty)$， $(——\ \ infty b]$, $(——\ \ infty \ infty)$．的定义域通常选择区间 $f$．

函数的绝对最大值和绝对最小值

如果区域在正方向或负方向上无界，或者函数不连续，则可能不存在绝对最大值或最小值。如果函数不是连续的(而是有界的)，仍然会存在一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/infimium/" class="wiki_link" title="上确界和下确界" target="_blank">上确界和下确界，但不一定存在绝对的极端。如果函数是连续且有界的，且区间是闭合的，那么必然存在绝对最大值和绝对最小值。

如果一个函数不连续，那么它在任何不连续点上都可能有绝对极值。一般来说，绝对极值只适用于具有最多有限个数不连续点的函数。对于函数的连续部分，可以通过考虑这些点以及下面的方法来找到绝对极值。

如果一个函数是连续的，则可按下列方法确定绝对极值。给定一个函数 $f$和区间 $(一,\ b)$，

1. 确定所有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/critical-point/" class="wiki_link" title="临界点" target="_blank">临界点的 $f$在这一期间 $(一,\ b)$．
2. 确定的值 $f$在每个临界点上。
3. 确定的值 $f$在每个端点上。

的最大值对应的点 $f$的绝对最大值(maxima)和点(s)对应的最小值吗 $f$是绝对的最小值。其他值可能是局部极值。

确定区间内下列函数的绝对极大值和绝对极小值 $左\ [- \ tfrac {3}, {2} \ tfrac{7}{2} \正确):$

$f (x) = \{病例}开始1 - x (x + 1) ^ 2 & \ < 0 \ \ 2 x & \ \ le x \勒1 \ \ 3 - (x - 2) ^ 2 & \ 1 < x \ le 2 \ \ 3 - x (x - 2) ^ 3 & \ > 2。\{病例}结束$

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函数的临界点在 $x = 1$， $x = 0$， $x = 1$, $x = 2$．它的端点在 $x = - \ tfrac {3} {2}$而且 $x = \ tfrac {7} {2}$．

唯一可能的最大值是 $x = 1$， $x = 1$, $x = 2$．自 $f (1) = 1$， $f (1) = 2$, $f (2) = 3$，绝对极大值位于 $\盒装{(2 \ 3)}$．

得到最小值的唯一可能是 $x = - \ tfrac {3} {2}$， $x = 0$， $x = 1$, $x = \ tfrac {7} {2}$．自 $左(- f \ \ tfrac{3}{2} \右)= \ tfrac {3} {4}$， $f (0) = 0$， $f (1) = 2$, $f \离开(\ tfrac{7}{2} \右)= - \ tfrac {3} {8}$，绝对极小值位于 $\盒装{\离开(\ tfrac {7}, {2} - \ tfrac{3}{8} \右)}$． $_ \广场$

函数的局部极大值函数的局部极小值

一个点 $x$如果函数在区间内是绝对最大值或最小值，那么它是函数的局部最大值或最小值吗 $(x - c， \， x + c)$对于一个足够小的值 $c$．

在确定函数的绝对极大值或绝对极小值时，可以发现许多局部极值。

给定一个函数 $f$和区间 $(一,\ b)$，局部极值可以是不连续点，不可微点，或者导数有值的点 $0$．然而，这些点都不是局部极值，因此必须对每个点检查函数的局部行为。也就是说，给定一个点 $x$，函数在区间内的值 $(x - c， \， x + c)$必须测试足够小吗 $c$．

如果函数是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/second-derivative-test/" class="wiki_link" title="两次可微" target="_blank">两次可微在 $x$，那么有一种更简单的方法可用。

对区间内下列函数的局部极大值和极小值进行分类 $左\ [- \ tfrac {3}, {2} \ tfrac{7}{2} \正确):$

$f (x) = \{病例}开始1 - x (x + 1) ^ 2 & \ < 0 \ \ 2 x & \ \ le x \勒1 \ \ 3 - (x - 2) ^ 2 & \ 1 < x \ le 2 \ \ 3 - x (x - 2) ^ 3 & \ > 2。\{病例}结束$

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从图中可以看出，函数之前是递增的 $x = 1$间,减少 $x = 1$而且 $x = 0$,增加从 $x = 0$来 $x = 2$，后减小 $x = 2$．局部极大值位于 $x = 1$而且 $x = 2$．局部极小值位于 $x = 0$端点在 $X = \frac{7}{2}。$ $_ \广场$

函数的所有局部极值的和是什么 $f (x) = \ lvert x \ rvert吗?$

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观察到 $f (x) = - x$为 $x < 0,$ $f (x) = 0$为 $x = 0,$而且 $f (x) = x$为 $x > 0。$然后 $f (x) = 1 < 0$为 $x < 0$而且 $f (x) = 1 > 0$为 $x > 0,$这意味着函数在之前减小了 $x = 0$并增加后 $x = 0$．所以 $f (x)$有一个局部最小值在 $x = 0。$因为局部极小值是 $f (0) = 0,$所有局部极值的和是 $0.$ $_ \广场$

实数的取值范围是什么 $k$这样函数

$f (x) = x ^ 3-2kx ^ 2-4kx-11$

没有极值?

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区分 $f (x)$关于 $x$给了 $f (x) = 3 x ^ 2-4kx-4k。$函数的 $f (x)$为了没有极值，这个方程必须成立 $f (x) = 0$具有重复根或非实数复根。这等价于方程的判别式 $f (x) = 3 x ^ 2-4kx-4k = 0$必须是非正值:

$D \压裂{}{4}= (2 k) ^ 2 - 3 \ cdot (4 k) = 4 k (k + 3) \ 0。$

因此，取值范围 $k$这样 $f (x)$没有极值是

$-3\le k \le 0。\ _ \广场$

假设函数在区间内连续且可微。然后，有一些确定极值的捷径。所有的局部极值都是导数为零的点(尽管也有可能导数为零而点不是局部极值)。虽然它们仍然可以是端点(取决于所讨论的区间)，但绝对极值也可以通过一些捷径来确定。这些是导数检验。

一阶导数检验
假设 $f$是实值函数和 $(一,\ b)$是在哪个区间上 $f$是有定义且可微的。然后,如果 $c$临界点是 $f$在 $(一,\ b)$，

1. 如果 $f (x) > 0$对所有 $x < c$而且 $f (x) < 0$对所有 $x > c$,然后 $f (c)$的最大值是多少 $f$在这一期间 $(一,\ b);$
2. 如果 $f (x) < 0$对所有 $x < c$而且 $f (x) > 0$对所有 $x > c$,然后 $f (c)$的最小值是 $f$在这一期间 $(一,\ b)。$

简单地说，一个点是函数的最大值，如果函数在它之前增加，在它之后减少。相反，点是函数的最小值减少在它之前和之后增加。

二阶导数检验
假设 $f$是实值函数和 $(一,\ b)$是在哪个区间上 $f$是有定义的，而且是二次可微的。然后,如果 $c$临界点是 $f$在 $(一,\ b)$，

1. 如果 $f (x) < 0$对所有 $x$在 $(一,\ b)$,然后 $f (c)$的最大值是多少 $f$在这一期间 $(一,\ b);$
2. 如果 $f (x) > 0$对所有 $x$在 $(一,\ b)$,然后 $f (c)$的最小值是 $f$在这一期间 $(一,\ b)。$

简单地说，如果函数向下凹，点就是函数的最大值，如果函数向上凹，点就是函数的最小值。

如果区间足够小，导数检验也可以应用于局部极值。事实上，二阶导数检验本身就足以确定(对于可微函数)潜在的局部极值是最大值、最小值，还是两者都不是。

这个函数所有局部极值的和是什么 $f (x) = 2 x ^ 3-6x-3吗?$

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区分 $f (x)$关于 $x$给了 $f (x) = 6 x ^ 2 - 6 = 6 (x + 1) (x - 1)。$让 $f (x) = 0,$然后 $x = 1,$或 $x = 1。$然后检查符号 $f (x)$周围 $x = 1$而且 $x = 1$告诉我们, $f (x) > 0$为 $x < 1,$ $f (x) < 0$为 $1 < x < 1,$而且 $f (x) > 0$为 $x > 1。$这意味着 $f (x)$有一个局部最大值在 $x = 1$和局部极小值 $x = 1。$

局部最大值的值为 $f (1) = 2 \ cdot 3 - 6 (1) ^ \ cdot(1) 3 = 1。$局部最小值的值为 $f (1) = 2 \ cdot 3 - 6 (1) ^ \ cdot(1) 3 = 7。$因此，所有局部极值的和为 $1 - 7 = 6。$ $_ \广场$

函数有多少个局部极值 $f (x) = (x - 1) ^ 3 + 5$有什么?

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区分 $f (x)$关于 $x$给了 $f (x) = 3 (x - 1) ^ 2。$让 $f (x) = 0,$然后 $x = 1。$然后检查符号 $f (x)$周围 $x = 1$告诉我们, $f (x) > 0$为 $x < 1$而且 $f (x) > 0$为 $x > 1。$这意味着 $f (x)$没有局部极值函数的斜率从不切换符号。

因此，局部极值的个数为0。 $_ \广场$

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