极值(局部和绝对)

一个极值(或极值)<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/functions/" class="wiki_link" title="函数" target="_blank">函数是在某一区间内获得函数的最大值或最小值的点。一个局部极值函数的极值(或相对极值)是指函数的最大值或最小值所处的点一些得到包含该点的开区间。

一个绝对极值(或全局极值)鉴于区间是得到函数的最大值或最小值的点。通常，给定的区间是函数的定义域，绝对极值是整个函数的最大值或最小值对应的点。

这个函数有一个绝对极值 $X = 2$还有一个局部极值 $X = -1$．它还有什么极端?

极值(最大值和最小值)很重要，因为它们提供了关于函数的大量信息，并有助于回答问题<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/optimization-problems/" class="wiki_link" title="最优性问题" target="_blank">最优性问题．微积分提供了各种工具来帮助快速确定极值的位置和性质。

一个点 $x$函数的绝对最大值还是最小值 $f$在这段时间 $[a， \， b]$如果 $F (x) \ge F (x')$对所有 $X ' \in [a， \， b]$或者,如果 $F (x) \le F (x')$对所有 $X ' \in [a， \， b]$．这一点 $x$是严格的(或唯一的)绝对最大值或最小值，如果它是唯一满足这些约束的点。类似的定义也适用于区间 $[a， \， \infty]$， $(-\infty， \， b]$, $(-\infty， \， \infty)$．区间通常选择为的定义域 $f$．

函数的绝对最大值和绝对最小值

如果区域在正方向或负方向上无界，或者函数不连续，则可能不存在绝对的最大值或最小值。如果函数不是连续的(但有界)，仍然存在一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/infimium/" class="wiki_link" title="上下限或下下限" target="_blank">上下限或下下限，但不一定存在绝对的极端。如果函数是连续且有界的，且区间是闭合的，则必然存在一个绝对极大值和一个绝对极小值。

如果一个函数不是连续的，那么它在任何不连续点上都可能有绝对极值。一般来说，绝对极值只适用于最多有有限个不连续点的函数。对于函数的连续部分，通过考虑这些点和下面的方法可以找到绝对极值。

如果一个函数是连续的，那么绝对极值可以根据下面的方法确定。给定一个函数 $f$和区间 $[a， \， b]$，

1. 确定所有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/critical-point/" class="wiki_link" title="临界点" target="_blank">临界点的 $f$在这段时间 $[a， \， b]$．
2. 确定的价值 $f$在每个临界点上。
3. 确定的价值 $f$在每个端点上。

的最大值所对应的点 $f$绝对最大值(maxima)和点(s)是否对应于的最小值 $f$都是绝对最小值(minima)。其他值可能是局部极值。

确定以下函数在区间内的绝对极大值和最小值 $左\ [- \ tfrac {3}, {2} \ tfrac{7}{2} \正确):$

$f (x) = \{病例}开始1 - x (x + 1) ^ 2 & \ < 0 \ \ 2 x & \ \ le x \勒1 \ \ 3 - (x - 2) ^ 2 & \ 1 < x \ le 2 \ \ 3 - x (x - 2) ^ 3 & \ > 2。\{病例}结束$

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函数的临界点在 $X = -1$， $X = 0$， $X = 1$, $X = 2$．它的端点在 $X = -\tfrac{3}{2}$而且 $X = \tfrac{7}{2}$．

得到最大值的唯一可能是 $X = -1$， $X = 1$, $X = 2$．自 $F (-1) = 1$， $F (1) = 2$, $F (2) = 3$时，绝对极大值位于 $\boxed{(2， \， 3)}$．

最小值的唯一可能是 $X = -\tfrac{3}{2}$， $X = 0$， $X = 1$, $X = \tfrac{7}{2}$．自 $F \left(-\tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{3}{4}$， $F (0) = 0$， $F (1) = 2$, $F \left(\tfrac{7}{2}\right) = -\tfrac{3}{8}$时，绝对极小值位于 $\盒装{\离开(\ tfrac {7}, {2} - \ tfrac{3}{8} \右)}$． $_ \广场$

函数的局部极大值函数的局部极小值

一个点 $x$如果一个函数在区间内是一个函数的绝对最大值或最小值，那么它是一个函数的局部最大值或最小值 $(x - c， \， x + c)$对于一个足够小的值 $c$．

在确定函数的绝对最大值或最小值时，可能会发现许多局部极值。

给定一个函数 $f$和区间 $[a， \， b]$，局部极值可以是不连续点、不可微点或导数有值的点 $0$．然而，这些点都不一定是局部极值，因此必须对每个点检查函数的局部行为。也就是说，给定一个点 $x$，函数在区间内的值 $(x - c， \， x + c)$必须测试是否足够小 $c$．

如果函数为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/second-derivative-test/" class="wiki_link" title="两次可微" target="_blank">两次可微在 $x$，那么有一个更简单的方法可用。

对区间内下列函数的局部极大值和最小值进行分类 $左\ [- \ tfrac {3}, {2} \ tfrac{7}{2} \正确):$

$f (x) = \{病例}开始1 - x (x + 1) ^ 2 & \ < 0 \ \ 2 x & \ \ le x \勒1 \ \ 3 - (x - 2) ^ 2 & \ 1 < x \ le 2 \ \ 3 - x (x - 2) ^ 3 & \ > 2。\{病例}结束$

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从图中可以看出，函数之前是递增的 $X = -1$，在 $X = -1$而且 $X = 0$，从 $X = 0$来 $X = 2$，后减少 $X = 2$．局部极大值位于 $X = -1$而且 $X = 2$．局部极小值位于 $X = 0$端点在 $X = \frac{7}{2}。$ $_ \广场$

函数的所有局部极值之和是多少 $F (x)=\lvert x \rvert?$

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观察到 $f (x) = - x$为 $x < 0,$ $f (x) = 0$为 $x = 0,$而且 $f (x) = x$为 $x > 0。$然后 $f (x) = 1 < 0$为 $x < 0$而且 $f (x) = 1 > 0$为 $x > 0,$这意味着函数之前是递减的 $X = 0$之后会增加 $X = 0$．所以 $f (x)$有局部最小值在 $x = 0。$因为这个局部最小值是 $f (0) = 0,$所有局部极值的和是 $0.$ $_ \广场$

实数的取值范围是多少 $k$这样函数

$f (x) = x ^ 3-2kx ^ 2-4kx-11$

没有极值?

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区分 $f (x)$关于 $x$给了 $f (x) = 3 x ^ 2-4kx-4k。$对于函数 $f (x)$为了没有极值，这个方程必须成立 $f (x) = 0$要么有重根，要么有非实根，复根。这等价于方程的判别式 $f (x) = 3 x ^ 2-4kx-4k = 0$必须为非正数:

$D \压裂{}{4}= (2 k) ^ 2 - 3 \ cdot (4 k) = 4 k (k + 3) \ 0。$

因此，的范围 $k$这样 $f (x)$没有极值是什么

$-3 k \le 0。\ _ \广场$

假设所讨论的函数在区间内连续且可微。然后，有一些捷径来确定极值。所有局部极值都是导数为零的点(尽管有可能导数为零而该点不是局部极值)。虽然它们仍然可以是端点(取决于所讨论的间隔)，但绝对极值也可以通过一些捷径来确定。这些是导数检验。

一阶导数检验
假设 $f$是实值函数吗 $[a， \， b]$是哪个区间 $f$是有定义且可微的。然后,如果 $c$临界点是 $f$在 $[a， \， b]$，

1. 如果 $F '(x) > 0$对所有 $X < c$而且 $F '(x) < 0$对所有 $X > c$,然后 $f (c)$的最大值是 $f$在这段时间 $[a， \， b];$
2. 如果 $F '(x) < 0$对所有 $X < c$而且 $F '(x) > 0$对所有 $X > c$,然后 $f (c)$的最小值是 $f$在这段时间 $[a， \， b]。$

简单地说，一个点是一个函数的最大值，如果函数在它之前增加，在它之后减少。相反，一个点是函数的最小值减少在它之前和之后增加。

二阶导数检验
假设 $f$是实值函数吗 $[a， \， b]$是哪个区间 $f$是有定义的且可二次微的。然后,如果 $c$临界点是 $f$在 $[a， \， b]$，

1. 如果 $F " (x) < 0$对所有 $x$在 $[a， \， b]$,然后 $f (c)$的最大值是 $f$在这段时间 $[a， \， b];$
2. 如果 $F " (x) > 0$对所有 $x$在 $[a， \， b]$,然后 $f (c)$的最小值是 $f$在这段时间 $[a， \， b]。$

简单来说，如果函数向下凹，点就是函数的最大值;如果函数向上凹，点就是函数的最小值。

在给定足够小的区间时，导数检验也可以应用于局部极值。事实上，二阶导数检验本身就足以确定一个潜在的局部极值(对于可微函数)是最大值，还是最小值，或者两者都不是。

这个函数的所有局部极值之和是多少 $f (x) = 2 x ^ 3-6x-3吗?$

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区分 $f (x)$关于 $x$给了 $f (x) = 6 x ^ 2 - 6 = 6 (x + 1) (x - 1)。$让 $f (x) = 0,$然后 $x = 1,$或 $x = 1。$然后检查符号 $f (x)$周围 $x = 1$而且 $x = 1$告诉我们 $f (x) > 0$为 $x < 1,$ $f (x) < 0$为 $1 < x < 1,$而且 $f (x) > 0$为 $x > 1。$这意味着 $f (x)$有局部最大值在 $x = 1$还有一个局部极小值 $x = 1。$

本地最大值为 $f (1) = 2 \ cdot 3 - 6 (1) ^ \ cdot(1) 3 = 1。$局部最小值为 $f (1) = 2 \ cdot 3 - 6 (1) ^ \ cdot(1) 3 = 7。$因此，所有局部极值的和为 $1 - 7 = 6。$ $_ \广场$

这个函数有多少局部极值 $f (x) = (x - 1) ^ 3 + 5$有什么?

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区分 $f (x)$关于 $x$给了 $f (x) = 3 (x - 1) ^ 2。$让 $f (x) = 0,$然后 $x = 1。$然后检查符号 $f (x)$周围 $x = 1$告诉我们 $f (x) > 0$为 $x < 1$而且 $f (x) > 0$为 $x > 1。$这意味着 $f (x)$没有局部极值，函数的斜率永不切换符号。

因此，局部极值的个数为0。 $_ \广场$

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