等差和等比级数问题解决gydF4y2Ba

要解决本页上的问题，您应该熟悉gydF4y2Ba

你可以通过这个wiki来提高你的算术和几何级数问题的解决能力。确保你完成了本页中列出的所有问题。gydF4y2Ba

内容gydF4y2Ba

解决问题的基本方法gydF4y2Ba
解决问题-中级gydF4y2Ba
解决问题——高级gydF4y2Ba
另请参阅gydF4y2Ba

解决问题的基本方法gydF4y2Ba

本节包含基于等差和等比级数概念的基本问题。从一个例子开始，我们将讨论要解决的问题。gydF4y2Ba

我有一个等差数列，初始项是5，公差是10。的最小值是多少gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$ 这样gydF4y2Ba $n ^ \文本{th}gydF4y2Ba$ terms大于100?gydF4y2Ba

我们可以先列出这些数字:gydF4y2Ba $5日,15日,25日,35岁,45岁,55岁,65,75,85,95105。gydF4y2Ba$ 我们可以清楚地看到gydF4y2Ba $11 ^ \文本{th}gydF4y2Ba$ Number大于100，因此gydF4y2Ba $n = 11。gydF4y2Ba$

但是，请注意，如果公差变小和/或我们寻找的数字变大，这将变得不切实际。gydF4y2Ba

解决这一问题的一个切实可行的方法是应用gydF4y2Ba $n ^ \文本{th}gydF4y2Ba$ 项公式。与gydF4y2Ba $A = 5 d = 10gydF4y2Ba$ ，我们有gydF4y2Ba $T_n = a + (n-1) d > 100gydF4y2Ba$ ．然后gydF4y2Ba $5 + (n-1) \cdot 10 > 100gydF4y2Ba$ ．解gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$ 收益率gydF4y2Ba $N > 10.5 .gydF4y2Ba$ ．因此,gydF4y2Ba $11 ^ \文本{th}gydF4y2Ba$ 项是满足条件的最小项。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

你要解决的问题来了。gydF4y2Ba

1gydF4y2Ba 3.gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 这取决于gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $A b c dgydF4y2Ba$ 等差数列中的连续项，的值是多少gydF4y2Ba

$\frac{D²- A²}{C²- B²}?gydF4y2Ba$

假设gydF4y2Ba $C^2 - B^2 \ neq0。gydF4y2Ba$

这个人gydF4y2Ba

2^8 = 256gydF4y2Ba

他为自己没有再要更多而感到难过gydF4y2Ba 这个人成为了王国的新国王，而国王破产了gydF4y2Ba 这个人变得和国王剩下的钱一样富有gydF4y2Ba 这个人gydF4y2Ba

8 ^ 8 = 16777216gydF4y2Ba

美元，非常高兴gydF4y2Ba

从前，有个人帮了国王一个忙，国王非常高兴。出于高兴，国王告诉他什么愿望都可以，他会得到满足的。这个人想要得到价值1500万亿美元的整个王国，但显然这将使国王发疯，他的愿望永远不会得到满足。gydF4y2Ba

这个人碰巧是个数学家，他想了想，然后说:gydF4y2Ba

“拿一块大地毯进来gydF4y2Ba $8 \乘以8gydF4y2Ba$ 网格在里面。从左上方的方格开始，往那个方格里放一美元。在它旁边的方格里放2美元，然后再翻倍，放4美元，以此类推。当你到达第一行的末尾，继续到下一行，当你移动到下一个方块时，每次增加一倍的量，一直到gydF4y2Ba $64 ^ \文本{th}gydF4y2Ba$ 右下角是正方形。”gydF4y2Ba

国王想了一会儿。第一个方格需要1元，第二个方格需要2元，第三个方格需要4元，然后是8元，然后是16元，然后是32元，64元，128元，256元，以此类推。还不错。我能做到。gydF4y2Ba

国王同意了。接下来发生了什么?gydF4y2Ba

99 \cdot 2^{100}-1gydF4y2Ba

99 \cdot 2^{100}gydF4y2Ba

99 \cdot 2^{100}+1gydF4y2Ba

100 \cdot 2^{100}gydF4y2Ba

$1+2 \cdot 2+ 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + 100 \cdot 2^{99}= \， ?gydF4y2Ba$

解决问题-中级gydF4y2Ba

本节包含的问题比前一节稍微难一些。但所有这些都可以用算术和几何问题来解决。开始吧:gydF4y2Ba

实数gydF4y2Ba $a_1,, \ ldots现代{99}gydF4y2Ba$ 形成等差数列。gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba $a₂+ a_5 + a_8 + \ cdots +现代{98}= 205。gydF4y2Ba$ 找到…的价值gydF4y2Ba $\displaystyle \sum_{k=1}^{99} a_kgydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

的价值gydF4y2Ba $\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty \frac{2n}{3^n}gydF4y2Ba$ 可以用形式表示吗gydF4y2Ba $\压裂{一}{b}gydF4y2Ba$ ,在那里gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$ 而且gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$ 都是互素正整数。找到gydF4y2Ba $A - bgydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $a, b, cgydF4y2Ba$ 是满足的正整数gydF4y2Ba $\压裂{b}{一}gydF4y2Ba$ 整数形式。如果gydF4y2Ba $a, b, cgydF4y2Ba$ 在gydF4y2Ba几何级数gydF4y2Ba的算术平均值gydF4y2Ba $a, b, cgydF4y2Ba$ 是gydF4y2Ba $b + 2,gydF4y2Ba$ 找到…的价值gydF4y2Ba

$\ dfrac{^ 2 + 14}{+ 1}。gydF4y2Ba$

1(8日)gydF4y2Ba

(0, 2)gydF4y2Ba

(8)gydF4y2Ba

(4 1)gydF4y2Ba

如果一个无限的实数GP有第二项gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$ 和金额gydF4y2Ba $4，gydF4y2Ba$ 哪里来的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$ 属于?gydF4y2Ba

A_{2}G_{1} \geq G_{2}A_{1}gydF4y2Ba

A_{1}G_{2} \geq G_{1}A_{2}gydF4y2Ba

A_{1}A_{2} \geq G_{1}G_{2}gydF4y2Ba

A_{1}A_{2} > g_ {1} g_ {2}gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $a, b \in R^{+}。gydF4y2Ba$

$a, A_{1} A_{2}， bgydF4y2Ba$ 是等差数列。gydF4y2Ba
$a g{1} g{2} bgydF4y2Ba$ 是等比级数。gydF4y2Ba

下列哪个选项一定是正确的?gydF4y2Ba

解决问题——高级gydF4y2Ba

这部分的问题需要对概念有深入的理解，通常需要一次使用多个概念来解决。让我们试一试这些问题。gydF4y2Ba

2 ^ 2 ^ {5050} {5152}gydF4y2Ba

2 ^ 2 ^ {4950} {5050}gydF4y2Ba

2 ^ 2 ^ {5051} {5152}gydF4y2Ba

以上都不是gydF4y2Ba

$(1 - x) (1-2x) (1-4x) \ cdots \左(1 - 2 ^ {101}x \右)gydF4y2Ba$

的系数是多少gydF4y2Ba $x ^ {101}gydF4y2Ba$ 在以上展开?gydF4y2Ba

$\压裂{2 + 6}{4 ^{100}}+ \压裂{2 + 2 \ * 6}{4 ^{99}}+ \压裂{2 + 3 \ * 6}{4 ^ {98}}+ \ cdots + \压裂{2 + 100 \ * 6}{4}gydF4y2Ba$

计算上面的表达式。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $A=\{a_1, a_2， \ldots, a_n\}gydF4y2Ba$ 做一套第一gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$ 等差数列的项。同样,让gydF4y2Ba $B=\{b_1, b_2， \ldots, b_n\}gydF4y2Ba$ 做一套第一gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$ 等比级数的项。gydF4y2Ba

如果一个新的集合gydF4y2Ba $C=A+B=\{a_1+b_1, a_2+b_2， \ldots, a_n+b_n\}gydF4y2Ba$ 的前四项gydF4y2Ba $CgydF4y2Ba$ 是gydF4y2Ba $\{0,0,1,0 \}，gydF4y2Ba$ 什么是gydF4y2Ba $11 ^ \文本{th}gydF4y2Ba$ 期限gydF4y2Ba $C ?gydF4y2Ba$

一个线性函数gydF4y2Ba $f (x) = bx +一个gydF4y2Ba$ 具有这样的特性gydF4y2Ba $f \大(f (x) \大)= dx + cgydF4y2Ba$ 另一个线性函数是这样吗gydF4y2Ba $a, b, c, dgydF4y2Ba$ 是等差数列中连续项的整数。求的所有可能值的和的后三位gydF4y2Ba $f (2013)gydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

${对齐}& \ displaystyle \ \开始sum_ {n = 0} ^ {7} \ log_{3}(间{n}) & 56 = 308 \ \ \ leq & \ log_{3} \离开(\ sum_ {n = 0} ^{7}间{n} \右)& \ leq 57 \ \ \{对齐}结束gydF4y2Ba$

递增几何序列gydF4y2Ba $间的{0},间的{1},间的{2},\ ldotsgydF4y2Ba$ 完全由3的整数次幂组成。如果它们满足上述两个条件，找到gydF4y2Ba $\ log_{3}(间{14})。gydF4y2Ba$

考虑到gydF4y2Ba $a_1,, a_3gydF4y2Ba$ 等差数列的顺序是这样的吗gydF4y2Ba $a_1 + a₂+ a_3 = 15gydF4y2Ba$ 而且gydF4y2Ba $b_1、b_2 b_3gydF4y2Ba$ 等比级数是这样的吗gydF4y2Ba $b_1b_2b_3 = 27gydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $A_1 +b_1 a_2+b_2 a_3+b_3gydF4y2Ba$ 是正整数，并按此顺序构成等比数列，确定最大可能的值gydF4y2Ba $a_3gydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

答案是这样的gydF4y2Ba $\ dfrac {a + b \ sqrt {c}} {d}gydF4y2Ba$ ,在那里gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$ ，gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$ ，gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$ ,gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$ 都是正整数，分数是最简形式gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$ 是方形自由的。提交的值gydF4y2Ba $A + b + c + dgydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

另请参阅gydF4y2Ba

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系列gydF4y2Ba
伸缩级数-和gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba伸缩系列-产品gydF4y2Ba
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