序列的限制
的<圣rong>数列极限圣rong>序列方法的值是术语数量的序列方法。不是每个序列都有这种行为:那些所谓的会聚,而那些不称为发散的人。
限制捕获序列的长期行为,因此在界定它们时非常有用。他们还经常在实际分析中播种。
序列的收敛性
在这里,我们将讨论您需要知道了解序列融合概念的方面。我们将为您提供所有概念的一步一步演示。首先,究竟是什么序列?
一个<圣rong>序列圣rong>是一个函数 正如我们现在熟悉序列,让我们试图了解序列所代表的限制。简单的单词,限制是谈论接近值的数学上精确的方法,而无需直接评估它。
一个实数
是个
例如,如果 当序列的限制为
我们说序列
n是收敛的如果存在 0∈R这样的每一个 >0,存在一个正整数 这样 n∈(x0-ϵ,x0+ϵ)或者 xn-x0|<ϵ对所有 ≥N.
可以很容易地证实,如果这样的数字 备注:圣rong>从定义出发,直接验证了上述例子中给出的每个序列的收敛性。一般来说,直接从定义来验证收敛性是一项困难的任务。我们将看到一些方法来找到某些序列的极限和一些充分条件的收敛。
现在我们已经从理论上了解了收敛的概念,现在我们来做一些例子,为序列的收敛打下坚实的基础。我们开始吧:
以下序列是否会聚:
序列似乎接近0.更大的
得到,术语越小,较小的术语变为0.因此,序列收敛。
证明:圣rong>
任意
下面的序列是否由函数生成
(n)=1+10n1聚合:
在这个序列中,我们看到值递减为
增加,并最终接近单个值。我们取的值越大越接近1。因此,当时,给定序列的元素趋向于1 趋向于无穷。所以这个序列收敛于1。
下面的序列是否由函数生成
(n)=n(-1)n聚合:
序列似乎接近0.更大的
得到,术语越接近0.因此,序列会聚。虽然序列的元素(-1)n振荡时,它们“最终接近”单个点0。这些序列的共同特征是,每个序列的项只在一点“累积”。
现在,我们来定义一个序列的散度:
我们说这是一个函数<圣rong>发散圣rong>如果限制不存在。
以下序列是否会聚:
很明显,这个序列在1和-1之间来回移动,并且它不会收敛到一个值。我们说这个序列是发散的。序列的元素
-1)n在两个不同的点- 1和- 1之间振荡,这意味着序列的元素“经常”接近- 1和1 增加。
我们说这是一个函数<圣rong>向无限分歧圣rong>,如果它倾向于积极的无限或负无穷大。
例如, 以下序列是否会聚:
整数序列上面无界面。这种序列分歧(阳性)无穷大。序列的值变得越来越大,并且不会累积任何地方。
以下序列是否会聚:
注1圣rong>在上面的例子中,我们看到,如果连续项之间的差在下面以一个常数为界 注2圣rong>:如果正序列是非减小,则存在限制。但是,我们可能无法轻易确定限制。
图形示例
序列的图解解释是确定收敛性的简单工具:
- 有时很容易看到;
有时我们可能会得出错误的结论,例如,
找到的极限
我们来计算这个数列的前几项。
- 为
=1, 由于序列的项在-1和1之间振荡,我们可以得出序列发散或不收敛到一个值。
求数列的极限
如果我们写出最初的几项,我们会得到
,0.707...,0.577..., <101=0.1. 如果 >100,所以>10000,然后 1<1001=0.01. 如果 >1000,所以>1000000,然后 1<10001=0.001. 因此,序列的极限是0。
使用限制的属性
您应该熟悉以下限制的属性。如果限制
序列的限制是多少
要开始,让我们列出条款。
- 为
=1, +11=21=0.5. 为 ,=2 +12=3.2=0.666.... 为 ,=3. +13.=43.=0.75. 为 ,=4 +14=54=0.8. 为 ,=5 +15=65=0.866.... 我们看到项在增加,似乎接近于1。
注意,序列的另一种写法是
-n+11.我们知道常数1的极限是1,而 +11是0,所以我们可以应用第一个规则来得出结论
找
→∞limn21.
我们知道
→∞limn1=0.因此,通过应用第三条规则,我们有
找
→∞lim3.n2+1n2+5n.
通过分解分子和分母的最高次项,我们得到
→∞lim3.n2+1n2+5n=n→∞lim3.+n211+n5.现在,通过应用前面的例子的结果 →∞limn1=0和 →∞limn21=0,我们有 →∞lim(1+n5)n→∞lim(3.+n21)=n→∞lim(1)+5n→∞limn1=1和=n→∞lim(3.)+n→∞limn21=3..因此, →∞lim3.n2+1n2+5n=n→∞lim(3.+n21)n→∞lim(1+n5)=3.1.□
找
→∞lim(日志ydF4y2Bag10(10n2-2n)-日志ydF4y2Bag10(n2+1)).
利用对数的性质
一个x-日志ydF4y2Bag一个y=log一个yx,我们可以重写给定的方程并获得限制值,如下所示:
找
→∞limn3.+212+22+3.2+⋯+n2.
观察到
2+22+3.2+⋯+n2=k=1σ.nk2=6n(n+1)(2n+1),则给定方程的值可计算为: →∞limn3.+212+22+3.2+⋯+n2=n→∞limn3.+21⋅6n(n+1)(2n+1)=n→∞lim6n3.+122n3.+3.n2+n=n→∞lim6+n3.122+n3.+n21=62=3.1.□
对于正整数
,让 n是分数的一部分 2+5n+4.然后找到 →∞lim一个n.
对于一个正整数,它必须是真的
2+4n+4<n2+5n+4<n2+6n+9,这意味着 n+2)2<n2+5n+4<(n+3.)2.因此,我们有 +2<n2+5n+4<n+3..因此,整数的一部分 2+5n+4是 n+2)它的小数部分是 n=n2+5n+4-(n+2).因此,我们有 →∞lim一个n=n→∞lim(n2+5n+4-(n+2))=n→∞limn2+5n+4+(n+2)(n2+5n+4-(n+2))(n2+5n+4+(n+2))=n→∞limn2+5n+4+(n+2)n=n→∞lim1+n5+n24+1+n21=1+0+0+1+01=21.□
epsilon-delta定义
主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/" class="wiki_link" title="极限的定义gydF4y2Ba" target="_blank">极限的定义一个>
精确说明了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/epsilon-delta-definition-of-a-limit/" class="wiki_link" title="极限的定义是gydF4y2Ba" target="_blank">极限的定义是一个>
它趋于0。然而,倒数的和发散到无穷。