国王和数学家

一旦一个人对国王做了一个让国王非常开心的兴趣。王者告诉那个男人才能想要什么，他会被授予。这名男子想问一下价值1500万亿美元的整个王国，但显然会让国王生气，他永远不会被授予那种愿望。

那个碰巧是一个数学家的人想到了一点点，并说：

“带上一大块地毯 $8 \ times 8$网格。从左上角开始，将一美元放在那个广场。在它旁边的正方形中放入两美元，然后在下一个方形，四美元，下一步。当您到达第一行的末尾时，继续到下一行，每次移动到下一个广场时都会加倍金额，直到 $64 ^ \文本{th}$右下方的正方形。“

国王想到了一秒钟。第一方将花一美元，第二两美元，三，四美元，下一个8美元，然后16美元，然后32美元，64美元，128美元，256美元，等等。那不是太糟糕。我能做到。

国王同意了。接下来发生了什么？