振幅，频率，波数，相移gydF4y2B一个

色散光波通过棱镜的色散，由于波数轻微地改变了棱镜中每种颜色的折射率而产生的结果。gydF4y2B一个

振幅gydF4y2B一个，gydF4y2B一个频率gydF4y2B一个，gydF4y2B一个波数gydF4y2B一个,gydF4y2B一个相移gydF4y2B一个的属性gydF4y2B一个波gydF4y2B一个控制着他们的身体行为。gydF4y2B一个

的最一般解中分别描述一个单独的参数gydF4y2B一个波动方程gydF4y2B一个。总的来说，这些特性解释了各种各样的现象，如响度、颜色、音高、衍射和干涉。gydF4y2B一个

以某种物理量传播的波gydF4y2B一个 $ygydF4y2B一个$服从波动方程:gydF4y2B一个

$v ^ \压裂{1}{2}\压裂{\部分^ 2 y}{\部分t ^ 2} = \压裂{\部分^ 2 y}{\部分x ^ 2},gydF4y2B一个$

在哪里gydF4y2B一个 $vgydF4y2B一个$是波的速度。这个方程的解可以写成右行波和左行波的线性叠加。这些函数可以是任意形式的函数gydF4y2B一个 $f (x-vt)gydF4y2B一个$而且gydF4y2B一个 $g (x + v)gydF4y2B一个$。gydF4y2B一个

一个简单的例子就是所谓的gydF4y2B一个谐波治理gydF4y2B一个，它们是正弦的:gydF4y2B一个

$y(x,t) = A \sin (x-vt) + B \sin (x+vt)，gydF4y2B一个$

在哪里gydF4y2B一个 $y_0gydF4y2B一个$波的振幅和gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$而且gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$是一些常数。gydF4y2B一个

左行(蓝色)和右行(绿色)正弦波的线性叠加，求解波动方程[1]。gydF4y2B一个

使用gydF4y2B一个三角函数的和规则gydF4y2B一个，这个解也可以写成:gydF4y2B一个

$y(x,t) = Y_0 \sin (k(x-vt)-\gydF4y2B一个$

为gydF4y2B一个 $Y_0gydF4y2B一个$某个新的常数叫做gydF4y2B一个振幅gydF4y2B一个，gydF4y2B一个 $kgydF4y2B一个$一个常数叫做gydF4y2B一个波数gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 $\φgydF4y2B一个$一个常数叫做gydF4y2B一个相移gydF4y2B一个。由上式可知，gydF4y2B一个 $Y_0gydF4y2B一个$给出了波的最大高度，gydF4y2B一个 $kgydF4y2B一个$描述波的振荡间隔有多紧gydF4y2B一个 $\φgydF4y2B一个$描述正弦函数何时向左或向右移动gydF4y2B一个 $t = 0gydF4y2B一个$。的波数gydF4y2B一个 $kgydF4y2B一个$与gydF4y2B一个波长gydF4y2B一个波峰之间的距离:用…来描述波的相邻波峰之间的距离:gydF4y2B一个

$k = \压裂{2 \π}{\λ}。gydF4y2B一个$

为了证明这是正确的，请注意当正弦函数的实参变化为gydF4y2B一个 $2 \πgydF4y2B一个$，一个完整的振荡已经完成。因此,比较gydF4y2B一个 $x = 0gydF4y2B一个$来gydF4y2B一个 $x = \λgydF4y2B一个$应该增加论点gydF4y2B一个 $2 \πgydF4y2B一个$，对应上述波数的定义。gydF4y2B一个

注意，一些来源(特别是在化学中)不同地定义波数，并使用不同的符号，如gydF4y2B一个 ${\ \酒吧ν}= \压裂{1}{\λ}gydF4y2B一个$。就物理意义而言，这两个定义本质上是等同的。gydF4y2B一个

对于某些类型的波，如光，(角)gydF4y2B一个频率gydF4y2B一个 $\ωgydF4y2B一个$描述了波随时间振荡的速度，满足如下方程:gydF4y2B一个

$\ω= vk。gydF4y2B一个$

角频率与一个常被标记的量有关gydF4y2B一个 $fgydF4y2B一个$也称频率为gydF4y2B一个 $\ = 2\ π fgydF4y2B一个$。有了这些新的定义，波动方程的解可以写成许多不同的形式，例如:gydF4y2B一个

$\{对齐}开始y (x, t) & = Y_0 \罪(kx -φ\ωt - \) \ \ & = Y_0 \ sin(2 \π(\压裂{x}{\λ}- f t) - \φ)\ \ & = Y_0 \ cosφ\ \ sin (kx - \ωt) - Y_0 \罪\ \ cosφ(kx - \ωt)。结束\{对齐}gydF4y2B一个$

振幅gydF4y2B一个 $Y_0gydF4y2B一个$与单位时间单位面积的能量(gydF4y2B一个强度gydF4y2B一个或gydF4y2B一个功率通量gydF4y2B一个)被海浪带走了。具体来说，强度与振幅的平方成正比。这一事实通常是在不同物理情况的个案基础上证明的，而不是波动方程的一般解。gydF4y2B一个

证明了经典电磁波所携带的功率通量是电场或磁场振幅的平方。gydF4y2B一个

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解决方案:gydF4y2B一个

回想一下功率通量gydF4y2B一个 $vec{年代}\gydF4y2B一个$由gydF4y2B一个坡印亭矢量gydF4y2B一个为gydF4y2B一个电磁波gydF4y2B一个是:gydF4y2B一个

$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}，gydF4y2B一个$

在哪里gydF4y2B一个 $\ mu_0gydF4y2B一个$自由空间的渗透率和gydF4y2B一个 $EgydF4y2B一个$而且gydF4y2B一个 $BgydF4y2B一个$分别是电场和磁场。对于真空中的光，磁场的振幅为gydF4y2B一个 $c B = \压裂{E} {}gydF4y2B一个$在哪里gydF4y2B一个 $cgydF4y2B一个$为光速，Poynting矢量的大小瞬间为:gydF4y2B一个

$S = \frac{E^2}{\mu_0 c}，gydF4y2B一个$

它与电场(或磁场)振幅的平方成正比。gydF4y2B一个

证明了弦上的波所携带的平均功率是波振幅的平方。gydF4y2B一个

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解决方案:gydF4y2B一个

回想一下权力的公式gydF4y2B一个 $PgydF4y2B一个$由力施加的gydF4y2B一个 $vec {F} \gydF4y2B一个$物体的运动速度gydF4y2B一个 $vec {v} \gydF4y2B一个$：gydF4y2B一个

$P = \vec{F} \cdot \vec{v}。gydF4y2B一个$

对于弦上的小振幅波，只有垂直方向上的力和位移起作用。如果弦有角度gydF4y2B一个 $\θgydF4y2B一个$相对于水平方向，gydF4y2B一个牛顿第二定律gydF4y2B一个给:gydF4y2B一个

$P = -T\sin \theta \frac{\partial y}{\partial t} = -T\ frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial y}{\partial t}。gydF4y2B一个$

代入波动方程解的导数gydF4y2B一个 $y(x,t) = Y_0 \sin (k(x-vt) - \phi)gydF4y2B一个$，一个人找到了力量:gydF4y2B一个

$P = k - t (vk) Y_0 ^ 2 \ cos ^ 2 (k (x-vt) - \φ)= Y_0 ^ 2 vTk ^ 2 \因为^ 2 (k (x-vt) - \φ),gydF4y2B一个$

哪个是振幅的平方gydF4y2B一个 $Y_0gydF4y2B一个$。gydF4y2B一个

第三个例子是电流:它是众所周知的gydF4y2B一个欧姆定律gydF4y2B一个在电阻器中耗散的功率等于通过电阻器的电流幅值的平方:gydF4y2B一个

$P = i ^2 r。gydF4y2B一个$

在上面的例子中，幂瞬间变成的平方gydF4y2B一个峰gydF4y2B一个振幅。然而，峰值振幅本身很少有物理意义。通常，一个波提供的能量是在许多时期平均的;由于波在大多数振荡中都不是峰值振幅，因此将峰值振幅作为唯一的重要因素是没有意义的。此外，对于非谐波波(非正弦波)，可能没有一个明确定义的峰值振幅。gydF4y2B一个

在这些情况下，更正确的用法是gydF4y2B一个均方根gydF4y2B一个的平方根得到的振幅gydF4y2B一个 $y ^ 2 (x, t)gydF4y2B一个$在一段时间内。当波是谐波的，在一个周期内对正弦或余弦函数的平方平均通常贡献一个因子gydF4y2B一个 $\ frac12gydF4y2B一个$。gydF4y2B一个

如果波动方程的解描述的是声波，那么强度直接对应于gydF4y2B一个响度gydF4y2B一个波的大小，通常用gydF4y2B一个分贝gydF4y2B一个。因为强度是振幅的平方gydF4y2B一个 $一个gydF4y2B一个$,响度gydF4y2B一个 $lgydF4y2B一个$可以定义:gydF4y2B一个

$L = 20 \log_{10} \frac{A}{A_0}，gydF4y2B一个$

在哪里gydF4y2B一个 $A_0gydF4y2B一个$处于人类听觉阈值的声波振幅是否等于的幂gydF4y2B一个 $2 \times 10^{-12} \text{W}gydF4y2B一个$[2]。因此，分贝刻度只测量声音的响度相对于人类听觉的阈值。gydF4y2B一个

波的频率描述了波随时间振荡的速度。例如，对于真空中的光波，频率和波长是可以互换的定义。这是因为真空中的光遵循以下关系:gydF4y2B一个

$\lambda f = cgydF4y2B一个$

还有光速gydF4y2B一个 $cgydF4y2B一个$是一个常数。因此，光的频率和波长是等效的定义，用于定义电磁辐射类型的光谱:gydF4y2B一个

电磁辐射的光谱，范围从长波长/低频无线电波到短波/高频伽马射线[3]。gydF4y2B一个

光也遵循量子力学的关系:gydF4y2B一个

$E = h fgydF4y2B一个$

也就是说，量子力学预测能量gydF4y2B一个 $EgydF4y2B一个$光子的频率与光子所代表的光的频率成正比，具有比例常数gydF4y2B一个 $hgydF4y2B一个$称为普朗克常数。因此，光的波长、频率和能量由少量光子(量子力学，gydF4y2B一个不gydF4y2B一个经典的)都是可互换的定义。gydF4y2B一个

人类对颜色的感知与眼睛内部结构中原子元素的电子跃迁的量子力学行为直接相关。本质上，颜色对应光子入射的能量，因此对应光子的频率。因此，光波的频率本质上代表了颜色，这与通常绘制电磁辐射光谱的方法是一致的。gydF4y2B一个

光波的颜色和频率之间的对应关系的直接可视化。较高的频率对应于光谱的蓝色/紫色端，反之亦然。gydF4y2B一个

因为这种关系gydF4y2B一个 $\lambda f = cgydF4y2B一个$在美国，光的颜色通常用波长来标记:大约gydF4y2B一个 $400 \文本{nm}gydF4y2B一个$对于紫光和gydF4y2B一个 $700 \文本{nm}gydF4y2B一个$红灯。然而，用它们来标记颜色更为精确gydF4y2B一个频率gydF4y2B一个。这是一个重要的澄清，因为光的有效速度是gydF4y2B一个不gydF4y2B一个总是gydF4y2B一个 $cgydF4y2B一个$。在折射率大于1的材料中(真空以外的任何材料)，材料中原子对光的不断吸收、发射和散射使有效光速看起来比实际速度要低gydF4y2B一个 $cgydF4y2B一个$(在现实中，光速总是gydF4y2B一个 $cgydF4y2B一个$但从启发式的角度来看，人们可以认为光传播的额外时间是由原子吸收和再发射之间的时间所增加的)。具体来说，光的速度是按折射率的比例缩小的gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$：gydF4y2B一个 $c c \ \压裂{}{n}gydF4y2B一个$。当光速低于gydF4y2B一个 $cgydF4y2B一个$，光的波长在材料中发生变化，但频率不变。由于进入材料时颜色不会改变(考虑在水下观看物体:颜色不会改变)，频率更基本地描述了颜色。gydF4y2B一个

除了表示颜色，声压波的频率也与音高直接对应。再说一次，这是人体物理的一个结果:人的耳朵被构造成这样，在耳朵的不同部位接收高频和低频，接收的位置对应于音高。高频对应较高的音调，反之亦然:gydF4y2B一个

吉他弦的和声高频音高对应于弦的较高的谐波。较高的谐波被着色到光谱的蓝色/紫色端，以与光的频率[4]进行类比。gydF4y2B一个

如上所述，当波进入介质时，其有效速度会发生变化，因此有效波长也会发生变化。自gydF4y2B一个 $k = \压裂{2 \π}{\λ}gydF4y2B一个$，这些效应等价地通过波数的变化捕捉到。gydF4y2B一个

把波数和角频率联系起来的方程，gydF4y2B一个 $\ω(k)gydF4y2B一个$被称为gydF4y2B一个色散关系gydF4y2B一个，并描述在不同波长下波的速度如何变化。特定介质中波的色散关系对于描述a)信息如何通过该介质以波的形式传递，以及b)描述通过该介质的波的允许能量(例如，如果波是周期晶体中电子的物质波，其中允许的动量值受到限制)至关重要。gydF4y2B一个

当介质中波的频散关系非平凡时，波的速度不再是唯一的定义，因此描述波如何传递信息是非平凡的。这在极端相对论物理中尤其重要，根据速度的描述方式，一些描述波速的方法可能会超过光速而不违反因果关系。两种速度的定义如下:gydF4y2B一个

群速度gydF4y2B一个：gydF4y2B一个 $V_g = \frac{d\omega}{dk}。gydF4y2B一个$

相速度gydF4y2B一个：gydF4y2B一个 $v_p = \压裂{\ω}{k}。gydF4y2B一个$

大致说来，相速度描述的是波的单个“部分”的速度，而群速度描述的是波的整体形状传播的速度。根据上下文,gydF4y2B一个要么gydF4y2B一个可能对应于gydF4y2B一个信号速度gydF4y2B一个这决定了波如何传输信息。gydF4y2B一个

找出光波的色散关系，并计算相速度和群速度。gydF4y2B一个

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解决方案:gydF4y2B一个

光遵循频率和波长的关系:gydF4y2B一个

$\lambda f = c。gydF4y2B一个$

将角频率和波数的定义代入并重新排列，得到色散关系:gydF4y2B一个

$\ω= ck。gydF4y2B一个$

计算群速度和相速度，可以发现:gydF4y2B一个

$V_g = v_p = c。gydF4y2B一个$

由于群速度和相速度相同，光波也相同gydF4y2B一个非色散gydF4y2B一个。下面是一个动画，直观地展示了波非色散的含义:gydF4y2B一个

红点以相速度运动，绿点以群速度运动。值得注意的是，两者是相等的，红点相对于绿点的位置不会改变[5]。gydF4y2B一个

给定深水波的色散关系:gydF4y2B一个

$ω= \ \ sqrt{门将},gydF4y2B一个$

与gydF4y2B一个 $ggydF4y2B一个$地球表面重力引起的加速度，计算相速度和群速度。gydF4y2B一个

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解决方案:gydF4y2B一个

根据它们的定义计算速度很简单，但结果很有启发意义:gydF4y2B一个

$V_g = \frac12 \sqrt{\frac{g}{k}}，gydF4y2B一个$

$大概{v_p = \ \压裂{g} {k}}。gydF4y2B一个$

相速度是群速度的两倍，波是色散的:gydF4y2B一个

红点再次以相速度运动，而绿点以群速度运动。值得注意的是，红点相对于绿点移动，对应于色散[5]。gydF4y2B一个

当多个波长的波叠加时，波的形状会更明显地分散:gydF4y2B一个由深水波(前三个，浅蓝色)的色散关系引起的不同速度导致了波形(底部，深蓝色)[5]的色散。gydF4y2B一个

色散也负责光波通过棱镜的色散，如下图所示:gydF4y2B一个

色散光波通过棱镜的色散，由于波数轻微地改变了棱镜中每种颜色的折射率而产生的结果。gydF4y2B一个

在折射率的材料中gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$，光服从色散关系:gydF4y2B一个

$ω= \ \压裂{ck} {n}。gydF4y2B一个$

在大多数媒体中，折射率gydF4y2B一个 $n (k)gydF4y2B一个$是波数的一个非常弱的递增函数。因此群速度可以用相速度表示为:gydF4y2B一个

$v_g = \压裂{c} {n} - \压裂{ck} {n ^ 2} \压裂{dn} {dk} = v_p \离开(1 - \压裂{k} {n} \压裂{dn} {dk} \右)。gydF4y2B一个$

自gydF4y2B一个 $n (k)gydF4y2B一个$弱增加，群速度略小于相速度。这一事实就是棱镜中较高频率的偏转增加的原因。gydF4y2B一个

最后，请注意(正如在下面的问题中所探讨的)，在量子力学中代表粒子的物质波具有非平凡色散关系。自gydF4y2B一个 $P = \hbargydF4y2B一个$在量子力学中，根据德布罗意关系，我们看到波数直接对应于动量，色散对应于量子力学中能量作为动量函数的行为。gydF4y2B一个

不同群速度下电子物质波的色散，群速度最高在上，最低在下[5]。gydF4y2B一个

的相移gydF4y2B一个 $\φgydF4y2B一个$在波动方程的解中，乍一看似乎不重要，因为坐标可能总是移到集合中gydF4y2B一个 $\φ= 0gydF4y2B一个$对于一个特解。然而,gydF4y2B一个是gydF4y2B一个重要的是,gydF4y2B一个相对gydF4y2B一个相移gydF4y2B一个 $δφ\ \gydF4y2B一个$在波动方程的两个不同解之间，这是干涉和衍射图形的原因。gydF4y2B一个

要了解为什么相对相移是重要的，考虑两个相同的波的叠加，它们的相对相移为gydF4y2B一个 $\πgydF4y2B一个$：gydF4y2B一个

相对相移时波(实红色和虚线红色)的破坏性干涉gydF4y2B一个 $\πgydF4y2B一个$，给出的净结果为零(蓝色)。gydF4y2B一个

这些波叫做gydF4y2B一个的阶段gydF4y2B一个为了表示这样一个事实，即相移使一个波的峰值与另一个波的峰值完全相反。叠加的结果是正负峰相互抵消，得到零，称为gydF4y2B一个相消干涉gydF4y2B一个。gydF4y2B一个

如果两个波是gydF4y2B一个在阶段gydF4y2B一个然而，峰值是排列在一起的。这总是发生在相对相移为零时，但也有效地发生在小相移时。结果是gydF4y2B一个相长干涉gydF4y2B一个，其中结果的峰值位于由两个原始峰值之和给出的高度:gydF4y2B一个

两波(实心红色和虚线红色)完全相控，产生较大振幅的结果(蓝色)。gydF4y2B一个

下面，我们将探讨不同相移波的叠加如何在物理学中引起重要的干涉和衍射效应的一些例子。gydF4y2B一个

与波长光对应的光子gydF4y2B一个 $\λgydF4y2B一个$向隔着一段距离的两道狭缝的障碍物开火gydF4y2B一个 $dgydF4y2B一个$如下图所示。穿过缝隙后，他们在远处撞上了一个屏幕gydF4y2B一个 $DgydF4y2B一个$离开时,gydF4y2B一个 $D \ gg DgydF4y2B一个$然后测量撞击点。值得注意的是，无论是实验还是理论gydF4y2B一个量子力学gydF4y2B一个预测在屏幕上每一点测量到的光子数量会遵循一系列复杂的波峰和波谷gydF4y2B一个干涉图样gydF4y2B一个如下。光子必须表现出相对相移的波行为，以某种方式对这种现象负责。找出干扰图样在屏幕上出现极大值的条件。gydF4y2B一个

左图:实际实验光子的双缝干涉图，显示出许多小波峰和波谷。右:上面描述的实验示意图[6]。gydF4y2B一个

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解决方案:gydF4y2B一个

自gydF4y2B一个 $D \ gg DgydF4y2B一个$，从每个狭缝的角度近似相等，等于gydF4y2B一个 $\θgydF4y2B一个$。如果gydF4y2B一个 $ygydF4y2B一个$为从狭缝中点到干涉峰的垂直位移，因此为:gydF4y2B一个

$D\tan \theta \approx D\sin \theta \approx D\theta = y。gydF4y2B一个$

此外，还有路径差异gydF4y2B一个 $δL \gydF4y2B一个$在两条狭缝和干涉峰之间。光线必须从较低的狭缝穿过gydF4y2B一个 $δL \gydF4y2B一个$进一步到达屏幕上的任何特定点，如下图所示:gydF4y2B一个

从较低的狭缝发出的光必须经过更远的距离才能到达屏幕中点以上的任何给定点，从而产生干涉图案。gydF4y2B一个

产生建设性干扰的条件是路径差gydF4y2B一个 $δL \gydF4y2B一个$正好等于波长的整数。光经过一个整数时的相移gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$波长的数量是准确的gydF4y2B一个 $2π\ ngydF4y2B一个$，这等同于没有相移，因此是建设性干扰。根据上面的图表和基本的三角函数，我们可以写出:gydF4y2B一个

$\ L = d\sin \theta \约d\theta = n\lambda。gydF4y2B一个$

第一个等式永远是正确的;二是建设性干预的条件。gydF4y2B一个

现在使用gydF4y2B一个 $D \θ= \压裂{y} {}gydF4y2B一个$，可以看出，干涉图的极大值条件，对应于构造干涉，为:gydF4y2B一个

$n \λ= \压裂{dy} {D},gydF4y2B一个$

即极大值出现在垂直位移处:gydF4y2B一个

$y = \frac{n\lambda D}{D}gydF4y2B一个$

当光照射在像肥皂泡一样的薄膜上时，就会产生干涉图样。这是因为薄膜顶部表面反射的光与反射回来的光有一个小的相移gydF4y2B一个底gydF4y2B一个薄膜的表面，它经过了与薄膜厚度相关的额外距离(见下图)。gydF4y2B一个

肥皂泡上的薄膜干扰[7]。颜色的依赖性与气泡的厚度有关;对于单色光，图案是明暗相间的。gydF4y2B一个

薄膜干涉原理图。一些光线以一定角度射入gydF4y2B一个 $\ theta_1gydF4y2B一个$从上表面反射，产生gydF4y2B一个 $\πgydF4y2B一个$相移。其余的光以斯涅尔定律规定的角度进入薄膜，从底部反射，并以相对于原始反射波的相移再次离开。gydF4y2B一个

更复杂的是，当光反射到折射率更高的介质上时，麦克斯韦方程要求光的相位移动gydF4y2B一个 $\πgydF4y2B一个$。gydF4y2B一个

如果薄膜是厚的gydF4y2B一个 $dgydF4y2B一个$的条件gydF4y2B一个具有破坏性的gydF4y2B一个干涉，在gydF4y2B一个 $dgydF4y2B一个$的波长gydF4y2B一个 $\λgydF4y2B一个$光的折射率gydF4y2B一个 $ngydF4y2B一个$电影和角度gydF4y2B一个 $\ theta_1gydF4y2B一个$当从空气中进入的光照射在薄膜上时，相对于法线的入射。注意，薄膜的折射率比空气的折射率大gydF4y2B一个 $n_{空气}= 1gydF4y2B一个$）.gydF4y2B一个

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解决方案:gydF4y2B一个

对于破坏性干涉，总的额外旅行距离(按折射率缩放)必须是光波长的整数。这是因为从薄膜上表面反射出来的光线的相移为gydF4y2B一个 $\πgydF4y2B一个$。如果移动的额外距离(按折射率计算)是波长的整数，那么这个额外的相移就会使两束射线完全不相，从而产生破坏性干涉。折射率缩放的原因是当光的有效速度较慢时gydF4y2B一个 $n \ neq 1gydF4y2B一个$，因此通过相同的距离(频率相同，但速度较慢，因此有更多的时间让频率积累相位gydF4y2B一个 $\ \ \ = \ \ \gydF4y2B一个$。gydF4y2B一个

求出用。表示的额外距离gydF4y2B一个 $\ theta_1gydF4y2B一个$,第一次使用gydF4y2B一个斯涅尔定律gydF4y2B一个求角度gydF4y2B一个 $\ theta_2gydF4y2B一个$光线进入薄膜的位置:gydF4y2B一个

$\sin \theta_1 = n\sin \theta_2。gydF4y2B一个$

从图中可以看出，在薄膜内部移动的额外距离是gydF4y2B一个 $\ L_{film} = AB+BCgydF4y2B一个$：gydF4y2B一个

$\Delta L_{film} = \frac{2d}{\cos \theta_2}。gydF4y2B一个$

还有一个额外的路径差，即在第二束光平行于薄膜出膜之前，从顶部反射的光的数量。这是段gydF4y2B一个 $广告gydF4y2B一个$在图中。一些平面几何(你自己试试!)给出的长度gydF4y2B一个 $广告gydF4y2B一个$为:gydF4y2B一个

$AD = 2d \tan \theta_2 \sin \theta_1。gydF4y2B一个$

因此，占折射率的额外路径差总数为:gydF4y2B一个

$\frac{2nd}{\cos \theta_2}-2d \tan \theta_2 \sin \theta_1 = 2nd \cos \theta_2。gydF4y2B一个$

使用for的表达gydF4y2B一个 $\ theta_2gydF4y2B一个$而言,gydF4y2B一个 $\ theta_1gydF4y2B一个$斯涅尔定律和gydF4y2B一个 $\πgydF4y2B一个$相移使射线完全不相，我们找到了破坏性干涉的条件，在那里gydF4y2B一个 $米gydF4y2B一个$是任何一个整数:gydF4y2B一个

$2nd \cos \theta_2= m\lambda \隐含2nd \cos (\sin ^{-1} (\sin(\theta_1)/n)) = m\lambda。gydF4y2B一个$

相对相移的概念也负责的实验技术gydF4y2B一个干涉测量法gydF4y2B一个例如，它在LIGO被用来发现gydF4y2B一个引力波gydF4y2B一个。干涉仪将激光沿两条垂直的管道向下和向后发送，并测量光线重新组合的干涉图样。如果其中一个臂的长度比另一个臂略长或略短，光就会获得一个小的相对相位，这是由干涉图样测量的。gydF4y2B一个

[1]作者Lookang(自己的作品)[CC By -sa 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)]，通过Wikimedia Commons。https://en.wikipedia.org/wiki/Wave#Traveling_wavesgydF4y2B一个

[2] -哈斯,杰弗里。声学入门:第6章。印第安纳大学音乐学院电子与计算机音乐研究中心。http://www.indiana.edu/ emusic /音响/ amplitude.htm。gydF4y2B一个

[3]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Light，使用了创作共用许可，供重用和修改。gydF4y2B一个

[4]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Guitar_harmonics，使用了创作共用许可，供重用和修改。gydF4y2B一个

[5]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_relation在GFDL许可下重用。gydF4y2B一个

[6]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Double-slit_experiment，使用了创作共用许可，供重用和修改。gydF4y2B一个

图片来自CC-2.5下的https://en.wikipedia.org/wiki/Thin-film_interference。gydF4y2B一个