坡印亭矢量

的坡印亭矢量表示电磁波的传播方向以及能量流密度，或强度．

因为电磁波是由电场组成的 $大(vec {E} \ \ \大)$和磁场 $大(vec {B} \ \ \大)$波印亭矢量相互垂直振荡，并且相互垂直于波的传播方向，波印亭矢量定义为叉积这两个领域。前面的常数为强度提供了正确的大小:

$vec{年代}= \ \压裂{1}{\ mu_0} vec {E} \ \ * \ vec {B}。$

该天线与电磁波的电场分量对齐，以捕获信号。

这些振荡的E场和B场在任何时候的叉乘表明波是向纸面传播的。

如果一个波动方程，则可读出坡印亭矢量的方向。回想一下横波沿纵波运动时弦上一点的垂直位移的一般方程 $+ x$方向是

$Y (x,t) = y_m sin(kx- t)$

正弦函数的辐角内的变化说明了传播的不同方向。

波的传播方向是什么 $Y (x,t) = y_m sin(kx+ t)?$

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改变了 $-$sin函数a的辐角上的符号 $+$符号表示传播方向被翻转。所以，这个波在 $- x$方向。 $_ \广场$

波的传播方向是什么 $X (y,t) = y_m sin(ky- t)?$

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改变独立距离变量 $x$来 $y$表示波不是在 $x$方向，但在 $y$方向。 $_ \广场$

根据定义，坡印亭矢量的方向必须与电场和磁场相互垂直。这种关系用叉积两个领域中:

$vec{年代}= \ \压裂{1}{\ mu_0} vec {E} \ \ * \ vec {B}。$

在实践中，这个方程通常只用于找到三个方向中的一个，所以记住它们之间的关系很有帮助单位向量和右手定则：

$\hat{S} = \hat{E}乘以\hat{B}$

波印亭矢量的方向是什么 $+ y$当它的磁场分量在某一时刻振荡时 $- z$方向呢?

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我们有

$帽子\{年代}= {E} \ \帽子倍\帽子{B} = {y} \ \帽子倍- \帽子{z} = -(\ \帽子{y} \倍帽子{z}) = -(\帽子{x}) = - \帽子{x}。$

因此，坡印亭向量指向 $- x$方向。 $_ \广场$

坡印亭矢量的大小也称为强度的波。强度可以用坡印亭矢量的定义和叉积的大小的事实来找到 $AB \罪\θ。$

$vec{年代}= \ \压裂{1}{\ mu_0} vec {E} \ \ * \ vec {B}$

由于电场和磁场在正极大值和负极大值之间振荡，有必要用场的均方根来描述平均值:

$S = \frac{1}{\mu_0} E_{\text{rms}}B_{\text{rms}}。$

通常的做法是将这个方程与均方根的定义结合起来 $(\ \大文本{RMS} = \压裂{\文本{马克斯}}{\ sqrt{2}} \大)$和 $c = frac EB。$强度通常只用这两个场中的一个来表示。

${c\mu_0} \frac{E_m^2}{2}$

一个菜 $10 \文本{m}$直径圆盘接收到的无线电信号的磁场振幅为 $7 {pT} \文本。$找到权力收到的菜。

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为了用磁场来表示强度，请合并 $c = \压裂{E} {B}:$

$I = \压裂{1}{c \ mu_0} \压裂{E_m ^ 2}{2} = \压裂{1}{c \ mu_0} \压裂{(cB) ^ 2}{2} = \压裂{cB ^ 2} {2 \ mu_0}。$

感受器的能量摄入是 $P = IA,$在哪里 $我$是强度和 $一个$是受体的区域:

$P = IA = \压裂{cB 2 ^} {2 \ mu_0} = \压裂{c \大(7 \ times10 ^{-12} \大)^ 2 \大(\π(5)^ 2 \大)}{2 \ mu_0} = 4.59 \ times10 ^ {7} {W} \文本。\ _ \广场$

为什么坡印亭向量表示强度?电磁学的基本方程是麦克斯韦方程组: $\begin{array}{rclcrcl} \nabla \cdot \vec{E} & = & \varepsilon_0^{-1}\rho， & \hspace{。5c米} & \nabla \cdot \vec{B} & = & 0, \\[1ex] \nabla \wedge \vec{E} & = & \displaystyle -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, & & \nabla \wedge \vec{B} & = & \displaystyle \mu_0\vec{\jmath} + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}, \end{array}$在哪里 $\ρ$电荷密度是和吗 $vec {\ \ jmath}$为场的电流密度。如果 $V$空间的体积是否以曲面为界 $V \部分$,然后 $\开始{对齐}\压裂{d} {dt} \ int_V \ tfrac12 \ varepsilon_0 \大vec {E} | \ \ | ^ 2 \ d \τ& = \ int_V \ varepsilon_0 vec {E} \ \ cdot \压裂vec {E}}{\部分\{\部分t} \, d \τ\ \ & = \ mu_0 ^ vec {E} {1} \ int_V \ \ cdot \大(\微分算符\ vec {B} -楔\ \ mu_0 vec {\ jmath} \ \大)\,d \τ\ \ & = \ mu_0 ^ vec {E} {1} \ int_V \ \ cdot \大(vec {B} \微分算符\楔\ \大)\,d \ \ int_Vτvec {E} \ \ cdot vec {\ jmath} \ \, d \τ\ \ \压裂{d} {dt} \ int_V \ tfrac12 \ mu_0 ^{1} \大vec {B} | \ \ | ^ 2 \ d \τ& = \ mu_0 ^ vec {B} {1} \ int_V \ \ cdot \压裂vec {B}}{\部分\{\部分t} \, d \τ \\ & = - \ mu_0 ^ vec {B} {1} \ int_V \ \ cdot (vec {E}) \微分算符\楔\ \,d \τ。结束\{对齐}$因此 $\开始{对齐}\压裂{d} {dt} \ int_V \离开(\ tfrac12 \ varepsilon_0 \大vec {E} | \ \ | ^ 2 + \ tfrac12 \ mu_0 ^{1} \大vec {B} | \ \ | ^ 2 \) \, d \τ+ vec {E} \ \ int_V \ cdot vec {\ jmath} \ \, d \τ& = \ mu_0 ^ {1} \ int_V \大[vec {E} \ \ cdot(楔\微分算符\ \ vec {B})——vec {B} \ \ cdot (vec {E}) \微分算符\楔\ \大]\,d \τ\ \ & = \ mu_0 ^ {1} \ int_V \微分算符\ cdot \大(vec {B} \ \楔vec {E} \ \ \大),d \τ\ \ & = \ mu_0 ^ {1} \ oint_{\部分V} \大(vec {B} \ \楔vec {E} \ \大)vec{\σ}\ cdot d \ \{对齐}结束$这 $d \压裂{}{dt} \ int_V \离开(\ tfrac12 \ varepsilon_0 \大vec {E} | \ \ | ^ 2 + \ tfrac12 \ mu_0 ^{1} \大vec {B} | \ \ | ^ 2 \) \, d \τ+ vec {E} \ \ int_V \ cdot vec {\ jmath} \ \, d \τ+ \ oint_ vec{年代}{\部分V} \ \ cdot d \ vec{\σ}= 0。$第一项是，电磁场中总电磁能量在体积中的变化率 $V$，而第二项是电场由于内部电荷的移动所做的功的速率 $V$．能量守恒的考虑告诉我们，第三项，包括坡印亭矢量，一定是能量流过边界的速率 $V \部分$的体积 $V$，也就是坡印亭矢量 $vec{年代}\$确实描述了电磁场的方向和强度。