序列和收敛热身练习问题在线| Brilliant

第一天，芝诺离他的目标有一百万英里。每天，他都在旅行 $\压裂{9}{10}$ 距离他的目标还有多少距离。

让 $d_n =$ 一天结束时剩下的距离 $n。$ 芝诺是否总有一天会输 $\压裂{1}{4}$ 离他的目标有多远?

提示。

$d_1 = 1000000$

$d_2 = 100000$

$d_3 = 10000$

$d_4 = 1000$

等。

第一天，齐罗在家，离他的目标有一百万英里。他在偶数天朝着目标前进，但需要在奇数天回家报到。

特别是在偶数天，他走到离目标最近的点，然后继续前进 $\压裂{9}{10}$ 距离他的目标还有多少距离。有时，他又回到离目标100万英里的位置。

让 $d_n =$ 一天结束时剩下的距离 $n。$ 有一天齐罗会永远离我更近吗 $\压裂{1}{4}$ 离他的目标有多远?

提示。

$d_1 = 1000000$

$d_2 = 100000$

$d_3 = 1000000$

$d_4 = 10000$

$d_5 = 1000000$

$d_6 = 1000$

等。

考虑到序列 $\{(-1)^n\} = \{-1， +1， -1， +1， -1， +1， \dots\}。$

这个序列的子序列极限是多少?

请注意。序列的子序列 $\{x_n\}= {x_1, x_2, ldots\}$ 是一个序列 $\ x_{n_k}\}= \ x_{n_1}， x_{n_2}， \ldots\}$ 在哪里 $N_1 < n_2 < \cdots$ 是自然的数字。

考虑到序列

$\ {an \} = \{1 \压裂{1}{2 ^ 2},\压裂{1},{3}\压裂{1}{4 ^ 2},\压裂{1},{5}\压裂{1}{6 ^ 2},\压裂{1}{7},\压裂{1}{8 ^ 2},\压裂{1}{9},\压裂{1}{10 ^ 2},\ ldots \}$

定义为 $A_n = \begin{cases} \frac{1}{n} & \textrm{if} n \textrm{is奇数}\\ \frac{1}{n^2} & \textrm{if} n \textrm{is偶数}\\ \end{cases}$

对于每个自然数 $n。$ 的最小值是多少 $N$ 这样

$a_n < \frac{1}{64} \text{when} n > n ?$

的序列

$\{a_n\} = \{5 + \frac{(-1)^n}{n}\}$

收敛吗?

拓扑结构