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是一个序列 ｛ 一个 n ｝ n ＝ 1 ∞ \ {an \} _ {n = 1} ^ {\ infty} ｛一个n｝n＝1∞给出的 一个 n ＝ 1 n an = \压裂{1}{n} 一个n＝n1柯西序列?
是一个序列 ｛ 一个 n ｝ n ＝ 1 ∞ \ {an \} _ {n = 1} ^ {\ infty} ｛一个n｝n＝1∞给出的 一个 n ＝ ｛ 1 n 如果 n 甚至 1 + 1 n 如果 n 是奇数 an左= \ \{\开始{对齐}& \压裂{1}{n} & &文本{如果}\ n \文本{甚至}\ \ & 1 + \压裂{1}{n} & &文本{如果}\ n \文本{是奇数}\{对齐}\正确的结束。 一个n＝⎩⎪⎨⎪⎧n11+n1如果n甚至如果n是奇数柯西序列?
下列陈述有多少是正确的?
我如果 一个 n an 一个n是一个柯西有理数序列，那么极限是 一个 n an 一个n是有理数。
2如果 一个 n an 一个n是无理数的柯西数列，那么 一个 n an 一个n是无理数。
3如果 一个 n an 一个n是实数的柯西数列，那么极限是 一个 n an 一个n是实数。
如果序列 ｛ 一个 n ｝ n ＝ 1 ∞ \ {an \} _ {n = 1} ^ {\ infty} ｛一个n｝n＝1∞是一个柯西序列，下面哪个也一定是柯西序列? 我。 ｛ 1 一个 n ｝ n ＝ 1 ∞ 2 ｛ 一个 n 2 ｝ n ＝ 1 ∞ 3 ｛ 罪 一个 n ｝ n ＝ 1 ∞ {我\文本。｝\left\{\frac{1}{a_n}\right\}_{n=1}^{\infty}\quad \text{II.} \left\{a_n^2\right\}_{n=1}^{\infty}\quad\text{III.} \left\{\sin a_n\right\}_{n=1}^{\infty} 我。｛一个n1｝n＝1∞2｛一个n2｝n＝1∞3｛罪一个n｝n＝1∞
对于一个实数序列，下列陈述中有多少是正确的 一个 n an 一个n？
我如果 lim n → ∞ ∣ 一个 n − 一个 米 ∣ ＝ 0 \ lim_ {n \ \ infty} | a_n-a_m | = 0 n→∞lim∣一个n−一个米∣＝0对于单个值 米 米 米,然后 ｛ 一个 n ｝ n ＝ 1 ∞ \ {an \} _ {n = 1} ^ {\ infty} ｛一个n｝n＝1∞是柯西序列。
2如果 lim n → ∞ ∣ 一个 n − 一个 米 ∣ ＝ 0 ， \ lim_ {n \ \ infty} | a_n-a_m | = 0, n→∞lim∣一个n−一个米∣＝0，对于每一个 米 米 米,然后 ｛ 一个 n ｝ n ＝ 1 ∞ \ {an \} _ {n = 1} ^ {\ infty} ｛一个n｝n＝1∞是柯西序列。
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