几何学

拓扑学

深潜：逐点一致收敛2

显示了一系列近似单位圆的曲线。

对还是错？这些曲线逐点收敛到单位圆。

细节。

在这一点上有一个开放的圆圈 ( 2. , 0 ) , (2,0), 和一个有坡度的线性部分 − 1. N + 1. \分形{-1}{n+1} 在阶段 N N 这会一直持续到它与单位圆相交，然后沿着逆时针方向旋转到 ( 1. , 0 ) . (1,0).

允许 F N ( θ ) f_n（\θ） 是光线与物体形成角度的点 θ \西塔 积极的 x − x- 轴线与舞台相交 N N 曲线 F N , 福恩， 让 F ( θ ) f（\θ） 是同一光线与单位圆相交的点 F 2. ( θ ) f_2（\θ） 为了一个角度 θ \西塔 如下所示。

对还是错？每人 θ \西塔 中间 [ 0 , 2. π ) , [0,2\pi），

林 ⁡ N → ∞ F N ( θ ) = F ( θ ) . \lim{n\to\infty}f\u n（\theta）=f（\theta）。

说明
通过才华横溢的员工

显示了一系列近似单位圆的曲线。

对还是错？曲线的导数收敛于圆的导数。

细节。在这一点上有一个开放的圆圈 ( 2. , 0 ) , (2,0), 和一个有坡度的线性部分 − 1. N + 1. \分形{-1}{n+1} 在阶段 N N 这会一直持续到它与单位圆相交，然后沿着逆时针方向旋转到 ( 1. , 0 ) . (1,0).

允许 D N ( θ ) d_n（\theta） 做导数 D Y D x \分形{dy}{dx} 舞台 N N 与光线相交的点处的曲线，该点的角度为 θ \西塔 积极的 x − x- 轴心，让 D ( θ ) d（\θ） 做导数 D Y D x \分形{dy}{dx} 在同一条光线与单位圆相交的点处的单位圆。

对还是错？每人 θ \西塔 中间 ( 0 , 2. π ) , （0,2\pi），

林 ⁡ N → ∞ D N ( θ ) = D ( θ ) . \lim{n\to\infty}d{n（\theta）=d（\theta）。

说明
通过才华横溢的员工

显示了一系列近似单位圆的曲线（随着阶段的进展，线性部分的斜率接近0。）

是真是假？让我想想 L ( F N ) L（Fn） 表示舞台的长度 N N 曲线，和 L ( F ) L（f） 表示单位圆的长度。然后

林 ⁡ N → ∞ L ( F N ) = L ( F ) . \lim{n\to\infty}L（f_n）=L（f）。

说明
通过才华横溢的员工

显示了一系列近似单位圆的曲线（随着阶段的进展，线性部分的斜率接近0。）

对还是错？曲线的导数收敛一致地求圆的导数。

细节。允许 D N ( θ ) d_n（\theta） 做导数 D Y D x \分形{dy}{dx} 舞台 N N 与光线相交的点处的曲线，该点的角度为 θ \西塔 积极的 x − x- 轴心，让 D ( θ ) d（\θ） 做导数 D Y D x \分形{dy}{dx} 在同一条光线与单位圆相交的点处的单位圆。

对还是错？每人 θ \西塔 中间 ( 0 , 2. π ) , （0,2\pi）， 序列 { D N ( θ ) } \{d\u n（\theta）\} 汇聚一致地到 D ( θ ) . d（\θ）。

注：本例中的一致收敛相当于：

每 ϵ > 0 , \ε>0， 有一个自然数 N ϵ N_{\epsilon} 以致

N > N ϵ ⇒ ∣ D N ( θ ) − D ( θ ) ∣ < ϵ 总的来说 θ 在里面 ( 0 , 2. π ) . n> n{\epsilon}\Rightarrow\left|d|n（\theta）-d（\theta）\right{<\epsilon\text{for all}\theta\text{in}（0，2\pi）。

说明
通过才华横溢的员工

显示了两个曲线序列。在这两种情况下，我们都有一个曲线序列，该序列点向收敛到单位圆，其导数点向收敛到单位圆的相应导数。

在哪种情况下，收敛是一致的，曲线的长度收敛到单位圆的长度？

说明
通过才华横溢的员工
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