三角形的质心

的重心三角形的中值是三个中值的交，或三个顶点的“平均值”。它有几个重要的性质和关系，与其他部分的三角形，包括它外心，垂心，内心，面积，等等。

质心通常用字母表示 $G$．

质心很容易用坐标找到:顶点为的三角形 $(x_1, y_1) (x_2, y_2) (x_3, y_3)$质心在 $\离开(\压裂{x_1 + x_2 + x_3},{3} \压裂{y_1 + y_2 + y_3}{3} \右)。$

三角形 $美国广播公司$有顶点 $A = (3,4)$， $B =(5、12)$, $C =(8、15)$．三角形的质心坐标是多少 $美国广播公司$?

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质心位于

$\离开(\压裂{3 + 5 + 8},{3}\压裂{4 + 12 + 15}{3}\右)= \离开(\压裂{16},{3}\压裂{31}{3}\右)。\ _ \广场$

最简单的证明是切瓦定理，其中指出 $Ad, be, cf$当且仅当

$\压裂{AE} {EC} \ cdot \压裂{CD} {DB} \ cdot \压裂{BF} {FA} = 1。$

在这种情况下， $D, E, F$是它们各自的中点。因此, $AE = EC, CD = DB,$而且 $男朋友=足总,$所以上面的等式立即成立，证明了质心的存在。

一个中位数三角形的顶点到对边中点之间的线段是三角形的顶点到对边中点之间的线段。每个中值将三角形分成两个面积相等的三角形。质心是三个中位数的交点。

三个中位数也将三角形分为六个三角形，每个三角形的面积相同。

质心将每个中位数分成两个部分，这两个部分的比例总是2:1。

质心也有这样的性质

$AB ^ 2 + BC CA ^ ^ 2 + 2 = 3 \大(GA GC ^ ^ 2 + 2 ^ 2 + GB \大)。$

这是一个更一般的性质的结果

$PA ^ 2 + PB PC ^ ^ 2 + 2 = GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2 + 3 pg ^ 2$

对于任意一点 $P。$

我们要用阿波罗的定理．

让 $D$在这一点上 $AG)$而且 $公元前$见面时, $E$这一点 $BG$而且 $CA$满足, $F$这一点 $CG$而且 $AB$见面。

将公式应用于 $\三角形ADP，~\三角形BEP，~\三角形CFP$把它们加起来:

$PA ^ 2 + PB PC ^ ^ 2 + 2 + 2 (PD体育^ ^ 2 + 2 + PF ^ 2) = 3 \离开(3 pg ^ 2 + \ dfrac {GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2}{2} \右)。\ qquad (1)$

将公式应用于 $\三角形ABP，~\三角形BCP，~\三角形CAP$把它们加起来:

$2 (PA ^ 2 + PB PC ^ ^ 2 + 2) = 2 \离开(PD体育^ ^ 2 + 2 + PF ^ 2 + \ dfrac {AB ^ 2 + BC CA ^ ^ 2 + 2}{4} \右)。\ qquad (2)$

将公式应用于 $\三角形ABD，~\三角形BCE，~\三角形CAF$把它们加起来:

${{\颜色# D61F06} {AB ^ 2 + BC CA ^ ^ 2 + 2 = 3 (GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2)}}。\ qquad (3)$

$\大($注意，我们不小心证明了 $AB ^ 2 + BC CA ^ ^ 2 + 2 = 3 (GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2)$挡在路上。 $\大)$

替代 $（3）$成 $（2）$移动一些东西:

$2 (PA ^ 2 + PB PC ^ 2) ^ 2 + 2 (PD体育^ ^ 2 + 2 + PF ^ 2) = \ dfrac {3} {2} (GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2)。$

把上面的方程加上 $(1):$

$\开始{对齐}3 (PA ^ 2 + PB PC ^ ^ 2 + 2) & = 3 (GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2 + 3 pg ^ 2) \ \ PA ^ 2 + PB PC ^ ^ 2 + 2 & = GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2 + 3 pg ^ 2。\ _\方形\端{对齐}$

$\大($这个公式 $AB ^ 2 + BC CA ^ ^ 2 + 2 = 3 (GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2)$还可以从服用中获得 $P= a, b, c$依次，再将三个结果相加。 $\大)$

类似的属性如下:如果任何穿过质心的线命中 $AB$在某种程度上 $D$而且 $交流$在某种程度上 $E$,然后

$\ \压裂压裂{BD} {DA} + {CE} {EA} = 1。$

也可以通过边长计算中值的长度:

$\{对齐}开始广告& = \√6{\压裂{2 b c ^ ^ 2 + 2 a ^ 2}{4}} \ \ \ \ & = \√6{\压裂{2 ^ 2 + 2 c ^ 2 b ^ 2} {4}} \ \ \ \ CF & = \√6{\压裂{2 ^ 2 + 2 ^ 2 c ^ 2}{4}}。结束\{对齐}$

注意，这也给出了的长度 $BG AG),$而且 $CG$，因为中位数与质心的比例为2:1:

$\{对齐}开始AG) & = \压裂{\√6 {2 b c ^ ^ 2 + 2 a ^ 2}} {3} \ \ \ \ BG & = \压裂{\√6 {2 ^ 2 + 2 c ^ 2 b ^ 2}} {3} \ \ \ \ CG & = \压裂{\√6 {2 ^ 2 + 2 ^ 2 c ^ 2}},{3} \{对齐}结束$

另一种表达方式是什么 $AB ^ 2 + BC CA ^ ^ 2 + 2 = 3 \大(GA GC ^ ^ 2 + 2 ^ 2 + GB \大)$．

三角形的其他中心包括

• 垂心
• 内心
• 外心．

的垂心是三角形三个高度的交点。高度是从一个顶点画到对边的线段，它垂直于对边。

的内心是三角形的圆心。圆是三角形内部的圆，它与三角形的每条边相切。

的外心是圆的圆心，这个圆经过三角形的所有三个顶点。

如果 $O$是外心三角形的， $R$三角形的圆周半径，和 $a, b, c$长度是 $公元前,CA, AB,$分别,然后 $OG^2 = R^2-\frac{1}{9}\big(a^2+b^2+c^2\big)$

替代 $P = O$代入公式 $PA ^ 2 + PB PC ^ ^ 2 + 2 = GA ^ 2 + GB GC ^ 2 + PG ^ ^ 2 + 2,$我们有

$\{对齐}开始OA ^ 2 + GA OB ^ 2 + 2 OC ^ & = ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2 + 3 OG ^ 2 \ \ 9 R ^ 2 & = 3 (GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2) + 9 OG ^ 2 & & \ qquad[\文本自}{OA = OB = OC = R] \ \ & = ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 9 OG ^ 2 & & \ qquad \大\[文本自}{AB ^ 2 + BC CA ^ ^ 2 + 2 = 3 (GA ^ 2 + GB GC ^ ^ 2 + 2) \]大\ \ \ Rightarrow OG ^ 2 & = R ^ 2 - \压裂{1}{9}\大(^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \大)。\ _\方形\端{对齐}$

质心也在欧拉线三角形的

$GH =\frac{2}{3}OH，\quad GO=\frac{1}{3}OH，$

在哪里 $H$是垂心三角形的。

如果 $A' b ' c '$是外心三角形的 $Bcg acg abg$分别,然后

$O$三角形的质心是多少 $' b 'C”$．此外, $G$是似中线点的 $三角形\ ' b 'C”$．

最后，中位数 $三角形\ ' b 'C”$穿过的中点 $AB,公元前$而且 $CA$的中位数 $三角形\ ' b 'C”$而且 $三角形ABC \$在原三角形的中点相交。

其他多边形对质心有类似的解释;它仍然是质心多边形顶点的。

然而，质心不再(必然)是中位数的交点;事实上，中位数不一定在较大的多边形中相交。

• 外心
• 内心
• 垂心