Apollonius的定理

阿波罗尼奥斯定理是一个基本几何定理，将三角形的中值的长度与其侧面的长度相关联。虽然大多数世界都是指在东亚，但定理通常被称为冠毛定理或者中点定理。它可以通过从余弦规则以及由矢量毕达哥拉斯定理证明。该定理是希腊数学家阿波罗尼奥斯命名。

对于三角形 $ABC$和 $m$是的中点 $\ overline {bc}$，下面的公式成立：

$\划线{AB} ^ 2 + \划线{AC} ^ 2 = 2 \左\ {\划线{AM} ^ 2 + \左（\压裂{\划线{BC}} {2} \右）^ 2 \对\}。$

求证：三角形 $ABC，$和 $m$是的中点 $\ {划线BC}，$只使用只使用apollonius'定理勾股定理。

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让 $H$垂直的从脚 $一种$到 $\ overline {bc}$。

很清楚

$\开始{对齐} \ {划线BM} = \ {划线CM}＆= \压裂{\ {划线BC}} {2} \\\\ \ {划线BH} + \ {划线CH}＆= \ {划线公元前}。\结束{对齐}$

利用勾股定理，我们得到

$\开始{对齐} \划线{AB} ^ 2＆= \划线{AH} ^ 2 + \划线{BH} ^ 2 \\？\划线{AC} ^ 2＆= \划线{AH} ^ 2 + \划线{CH} ^ 2 \\？\ {划线AM} ^ 2＆= \ {划线AH} ^ 2 + \ {划线MH} ^ 2。\结束{对齐}$

从这些，我们可以得出结论：

$\开始{对齐} \ {划线AB} ^ 2 + \ {划线AC} ^ 2＆= 2 \ {划线AH} ^ 2 + \ {划线BH} ^ 2 + \ {划线CH} ^ 2 \\＆=2 \ {划线AH} ^ 2 + 2 \ {划线MH} ^ 2 + \ {划线BH} ^ 2- \ {划线MH} ^ 2 + \ {划线CH} ^ 2- \ {划线MH} ^ 2 \\＆= 2 \划线{AM} ^ 2 + \左（\划线{BH} + \划线{MH} \右）\左（\划线{BH} - \划线{MH} \右）+ \左（\ {划线CH} + \ {划线MH} \右）\左（\ {划线CH} - \ {划线MH} \右）\\＆= 2 \ {划线AM} ^ 2 + \左（\ {划线B.H}+\overline{MH}\right)\cdot\overline{BM}+\overline{CM}\cdot\left(\overline{CH}-\overline{MH}\right) \\ &=2\overline{AM}^2+\frac{\overline{BC}^2}{2} \\ &=2\left\{\overline{AM}^2+\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^2\right\}.\ _\square \end{aligned}$

求证：三角形 $ABC，$和 $m$是的中点 $\ {划线BC}，$满足阿波罗尼奥斯定理仅使用余弦规则（余弦定律）。

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使用余弦定律，我们得到

$\开始{对齐} \ {划线AB} ^ 2＆= \ {划线BM} ^ 2 + \ {划线AM} ^ 2-2 \ {划线AM} \ CDOT \ {划线BM} \ COS \角AMB \\\\？\ {划线AC} ^ 2＆= \ {划线CM} ^ 2 + \ {划线AM} ^ 2-2 \ {划线AM} \ CDOT \ {划线CM} \ COS \角度AMC \\＆= \上划线{BM} ^ 2 + \ {划线AM} ^ 2 + 2 \ {划线AM} \ CDOT \ {划线BM} \ COS \角AMB。\ qquad（\ {文本自} \角AMB + \角度AMC = \ PI）\ {端对齐}$

添加上述两给

$\开始{对齐} \ {划线AB} ^ 2 + \ {划线AC} ^ 2＆= 2 \ {划线AM} ^ 2 + 2 \ {划线BM} ^ 2 \\＆= 2 \左\ {\上划线{AM} ^ 2 + \左（\压裂{\ {划线BC}} {2} \右）^ 2 \右\}。\ _ \平方\ {端对齐}$

求证：三角形 $ABC，$和 $m$是的中点 $\ {划线BC}，$满足阿波罗尼奥斯只能使用基本向量运算定理。

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让 $一种$是笛卡尔坐标系的原点。

定义 $\超级arraw {ab} = \ vec {b}$和 $\ overrightarrow {AC} = \ VEC {C}，$很明显， $\ overrightarrow {BC} = \ VEC {C} - \ VEC {B}$和 $\ overrightarrow {AM} = \压裂{\ VEC {B} + \ VEC {C}} {2}。$

所以，

$\ begin {aligned} \ overline {ab} ^ 2 + \ overline {ac} ^ 2＆= | \ | \ vec {b} | ^ 2 + | \ vec {c} | ^ 2 \\＆= \ dfrac {1}{2} \ big（2 | \ vec {b} | ^ 2 + 2 | \ vec {c} | ^ 2 \ big）\\＆= dfrac {1} {2} \ big（| \ vec {b} | ^ 2 + | \ vec {c} | ^ 2 + 2 \ vec {b} \ cdot \ vec {c} + | \ vec {b} | ^ 2 + | \ vec {c} | ^ 2-2\ vec {b} \ cdot \ vec {c} \ big）\\＆= \ dfrac {1} {2} \ left \ {\ big（\ vec {b} + \ vec {c}）^ 2+（\ vec {c} - \ vec {b} \ big）^ 2 \ light \} \\＆= dfrac {1} {2} \ left（4 \ ovline {am} ^ 2 + \ overline {bc} ^2\right) \\ &= 2\left\{\overline{AM}^2+\left(\dfrac{\overline{BC}}{2}\right)^2\right\}.\ _\square \end{aligned}$

阿波罗尼奥斯定理是一个特殊的案子斯图尔特定理并且还的一个推广勾股定理。

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代替 $\ {划线BP} = \ {划线CP}$到斯图尔特定理， $\ overline {cp} \ cdot \ overline {ab} ^ 2 + \ overline {bp} \ cdot \ overline {ac} ^ 2 = \ left（\ ovline {bp} + \ overline {cp} \右）\ left（\ overline {ap} ^ 2 + \ overline {bp} \ cdot \ overline {cp} \右）$，你会得到

$\ {划线AB} ^ 2 + \ {划线AC} ^ 2 = 2 \左（\ {划线AP} ^ 2 + \ {划线BP} ^ 2 \右）。$

另外，代 $\角BAC = \压裂{\ PI} {2}$和 $\ {划线AM} = \压裂{\ {划线BC}} {2}$到阿波罗尼奥斯的定理，你会得到

$\开始{对齐} \划线{AB} ^ 2 + \划线{AC} ^ 2＆= 2 \左\ {\左（\压裂{\划线{BC}} {2} \右）^ 2 + \左（\压裂{\ {划线BC}} {2} \右）^ 2 \右\} \\＆= \ {划线BC} ^ 2。\ _ \平方\ {端对齐}$

我们还可以得到卡诺定理，其内容

$PA ^ 2 + PB ^ 2 + PC ^ 2 = GA ^ 2 + GB ^ 2 + GC ^ 2 + 3PG ^ 2$

对于任何点 $P.$寻找三角形的质心维基举证。