狭义相对论
当速度达到光速的相当一部分时,牛顿力学的框架不再足以描述许多物理现象。相反,我们必须开始考虑爱因斯坦的理论狭义相对论,它处理的是在没有重力的情况下物理学的“特殊”情况。的更“一般”的情况广义相对论考虑到引力效应。
简介
根据我们对现代物理学的了解,我们很容易想当然地认为光速大约 ,是宇宙不可动摇的速度极限。然而,就在一个多世纪前,这个看似简单的事实撼动了世界牛顿定律这个理论已经存在了两个多世纪,并成为爱因斯坦1905年革命性论文的基础论运动物体的电动力学,其中爱因斯坦提出的基本思想狭义相对论[1]。
而牛顿物理学足以描述大多数的运动宏观物体通常以比光速慢得多的速度运动,许多宏观现象从根本上是微观在自然界中。由于他们的低质荷比在美国,微观粒子相对容易加速到高速,通常必须用相对论来描述。事实证明,狭义相对论对于解释化学预测的元素的正确化学活动、磁性材料的行为以及粒子加速器中亚原子粒子的行为至关重要,所有这些都涉及到以相对论速度运动的电子或质子等粒子。
当需要极其精确的测量时,相对论也经常用于非常宏观的尺度。例如,GPS卫星在地球表面上方数万公里的轨道上运行,必须考虑到广义相对论对时间流逝的影响,才能为日常使用提供足够精确的方向。另一个著名的例子是正确描述水星特别奇怪的轨道,以及地球的动力学黑洞以及其他大型天体。
狭义相对论的历史
狭义相对论的诞生远早于爱因斯坦1905年发表介绍狭义相对论的论文。在麦克斯韦在19世纪中叶充实了描述电和磁的框架之后的几十年里,物理学家开始意识到物理定律中可能存在的漏洞。
其中一个被称为麦克斯韦方程这是一种宣传吗电磁波也就是说,光必须以大约为的固定速度传播 .这一结果与经典物理学有些矛盾,经典物理学本质上要求没有速度是绝对的。
回想一下牛顿物理学假设相对速度直接相加根据所谓的伽利略变换.假设有一个观察者惯性参照系以速度移动 相对于一些实验室框架。如果观察者测量一个物体以速度运动 在他或她的坐标系中,然后测量实验室坐标系中物体的速度为 .因此,总是存在一个坐标系,其中物体的速度大于其静止坐标系。如果一辆车开过来 对于在路边的观察者,它的大灯在它运动的方向上闪烁,那么经典物理学预测,在路边的观察者应该测量出从大灯发出的光的速度为 .然而,这并不是我们目前所理解的麦克斯韦方程所预测的。
同样令人不安的是,麦克斯韦方程的速度依赖性导致了电场和磁力的明显不对称。考虑一下,例如,爱因斯坦的例子,一个固定的线圈的电线和移动的磁铁。根据楞次定律时,移动的磁体改变导线环上的磁通量,从而产生感应电流,即磁感应电流电场,在电线。然而,由于线圈是静止的,它感觉不到磁力。同样地,我们也可以把磁体看作是静止的,而线圈是移动的,在这种情况下,线圈受到磁力,但没有电磁力。在这个简化的分析中,在两个框架中计算的力是相等的,但是在一个框架中,循环感知到磁场,而在另一个框架中,它感知到电场。
更糟糕的是,仔细想想安培定律(麦克斯韦的修改),我们得到了一个额外的磁场项,由一个变化的电场,在移动磁铁的情况下。这个附加项很小,但仍然不能用经典方法解释。
爱因斯坦在解决这些电磁悖论方面的突破,是应用了几十年前洛伦兹和Poincaré的数学框架来修正伽利略相对论。面对这些谜题加上后期的实验观察 爱因斯坦意识到洛伦兹和Poincaré的数学可以完美地适用于解释自然界中的速度界限。爱因斯坦关于狭义相对论的开创性论文在电动力学中纳入了他们所谓的洛伦兹变换来解释为什么传播的电磁波与现有的物理定律是一致的。爱因斯坦的天才之处在于,他大胆地指出,需要修改的不是麦克斯韦方程,而是已有数百年历史的牛顿框架。在此基础上,爱因斯坦从物理学的第一原理中优雅地推导出了洛伦兹变换,从而形成了我们今天所知道的现代狭义相对论。
爱因斯坦的假设
爱因斯坦提出了两个简单的假设作为狭义相对论的基础,这被先前的实验结果和物理理论的基本理想所证明:
假设1。对于物理定律,所有惯性系都是等效的。没有“首选”的参考系。
假设2。光速的测量值是相同的, ,由观察者在所有惯性系。
回想一下惯性坐标系是一个没有加速的。通常假定一个系是惯性的当且仅当不是虚构的力量像离心力一样出现在框架中。
可以证明,这两个看似无伤大雅的假设有以下违反直觉的后果,以及其他许多后果:
- 时间膨胀。相对于静止观测者运动的观测者所测量的时间间隔可以在静止观测者的坐标系中被测量为更长。
- 长度收缩。由相对于静止观察者移动的观察者测量的长度可以在静止观察者的框架中测量得更短。
- 同时性的丧失。由相对于静止观测者运动的观测者测量的同时发生的事件在静止观测者的坐标系中可能不同时发生。
注意,假设1要求两个帧之间的结果是对称的。例如,在一个静止的观察者的坐标系中测量的时间间隔,在一个运动的观察者的坐标系中也一定要长一些,对他来说,他或她自己的坐标系是静止的,而“静止”的观察者似乎是运动的。因此,不再有任何意义,给予绝对数量的时间或长度的单一事件,因为即使距离和时间的相对长度是相对的测量框架。这种物理量的相对性使这一理论得名。
时间膨胀
假设2的一个直接结果是时间的测量取决于参照系。一般来说,由相对于静止观察者移动的观察者测量的某些事件持续时间(例如,时钟的滴答声)在静止观察者的框架内会更长。如果一艘飞越地球的星际飞船测量它的每一个激光脉冲需要一毫秒,那么地球上的观察者测量的每一个脉冲所需的时间就会超过一毫秒——与飞船上的居民测量的时间相比,要慢得多(因此是“膨胀”的)。
时间膨胀是一个简单的结果,如果在不同的帧中,对于两个观察者,光速被固定为相同的值,那么在帧之间转换时,长度或时间将从通常的牛顿值中改变。
然而,在两帧中测量的时间长度确实不同。的确,在静止的观察者的框架中测量的时间之比 在火车观察者的框架中测量的时间 是由
由于垂直于一帧运动方向的长度在所有帧中被观察者测量为相同的(如下所述),考虑一个包含垂直方向设置的“光钟”的思想实验是有意义的。
假设有一个观察者在一辆敞篷车厢里观察一列高度很高的火车 以速度向右移动 通过从列车底部直接向列车顶部的镜子发射脉冲光,并测量从初始脉冲到光线在列车顶部反射后返回光源之间所经过的时间,来跟踪时间。显然,对于火车上的观察者来说,时间 一个这样的脉冲所经过的时间是
在哪里 就是光速。
然而,列车外的观察者却无法测量出同样的结果 对于脉冲的持续时间,否则光脉冲的总速度将是
大于 因此违反了公设2。
相反,它必须是这样 ,在这种情况下
所以
因此,时间 由列车外的观察者测量
以及比率 在静止观察者的坐标系中测量的时间等于在火车观察者的坐标系中测量的时间
在狭义相对论中,命名这个比率是习惯的 (希腊字母γ),并将表达式重写在表单中
在这种情况下,人们可以简单地写
在这种形式中,的渐近行为 作为函数 是明确的。作为 , ,以及 , .换句话说,当火车的速度趋于0时,在静止观察者的坐标系中测量的时间接近于在火车观察者的坐标系中测量的时间。但是,当火车的速度接近光速时,这两倍之比就会无限制地增大。
在所有情况下, ,所以 ,证明了前面的陈述,即相对于静止的观测者运动的观测者所测量的时间间隔可能在静止的观测者的坐标系中被测量得更长。
μ子衰变。基本粒子叫做μ介子由于宇宙射线的碰撞在上层大气中不断产生。由于μ子相对较轻(大约比电子重几百倍),它们的速度接近光速。为了简单起见,假设所有产生的μ子都以 .
的平均距离 从上层大气到地球表面,经典的说法是μ子不应该到达地球表面因为μ子的半衰期是 .尽管μ子的速度接近光速 它们存在的时间如此之短,以至于μ子平均移动不超过几百米。
然而,请注意衰变时间是在μ子的坐标系中测量的时间。根据地球上的观测者的测量,半衰期延长了一倍 .因此,根据狭义相对论,μ子几乎可以运动 在静止观察者的坐标系中比经典预测远的倍。这额外的距离(约为公里)允许相当数量的μ子到达地球表面。的确,相对论的预测与地球表面μ子探测的实验观测相吻合。
长度收缩
有了时间膨胀的结果,我们可以看出,在静止观察者的坐标系中,平行于运动方向的长度更短。垂直于运动方向的长度在两帧中是相同的,但是,如下所述。
类似于时间膨胀的结果,可以表示在静止观察者的框架中测量的长度的比率 在火车观察者的框架中测量的时间 .结果是
考虑一个思想实验,在平行方向上设置一个“光钟”。假设在列车的右端放置了一面镜子,在列车的左端放置了一个光源。设火车在火车观察者坐标系中的长度为 ,并设在静止观察者在列车外的坐标系中测量到的列车长度为 请注意,先天的这并不一定是真的
假设火车以速度向右移动 列车中的观察者通过从列车的左端发出脉冲光来记录时间,并测量从初始脉冲到光在右端反射后返回到光源之间所经过的时间。对于火车上的观察者来说,时间 一个这样的脉冲所经过的时间是
在哪里 就是光速。
然而,列车外的观察者得出了不同的结果。从光源到达镜子的时间不再仅仅是火车的长度除以光速而是
要得到这个结果,请注意火车行驶的距离 在时间 ,所以
并求解 给了 .
根据符号变化的相同论点,光从右端到达光源所需的时间为
因此,总时间 因为时钟在静止的观察者的框架内的滴答声是
自 ,因此,
简单的代数运算可以得到想要的结果:
当移动的坐标系的速度接近光速时,在静止的观察者的坐标系中测量的长度因此变得任意小,而它保持不变 .
介子衰变2。假设1表明,在以一定速度向地球运动的μ子的框架中,前面的μ子衰变的例子应该是等效的 .在这个坐标系中,半衰期是恰当的 .μ子还能到达地球表面吗?
在μ子的框架中,地球向μ子移动的速度几乎是光速,这就要求在地球框架中测量的长度必须缩短1 / 1 .因此,大气-地球的距离 减少了一个因子 ,其计算结果与在地球框架内进行的计算结果相当。
下面讨论的一个简单的思想实验表明,在所有帧中,观察者测量到的垂直于帧运动方向的长度必须相同。
如图所示,有两根长度相等、彼此平行的棍子。如果右边的木棍向另一根移动,表明在两根木棍的框架中测量的长度是相同的。
假设右边的木棍两端都有油漆斑点。为了矛盾起见,假设一个观察者在一个运动的坐标系中测量的长度,在一个静止的观察者的坐标系中测量的长度要短一些。在这种情况下,在左边的棍子的框架中,右边的棍子更短,因此当右边的棍子穿过左边的棍子时,右边的棍子就会画上左边的棍子。然而,在右边木棍的框架中,左边木棍正在向右边木棍移动,这意味着左边木棍在右边木棍的框架中更短。因此,正确的坚持不当左杆穿过右杆时,指向左杆。因为违背了假设1,所以我们的假设必须是错误的,并且两帧中的两根棍子必须是相同的长度。
同样,如果假定在静止的坐标系中观察者的长度更长,就会产生矛盾。
同时性丧失
在长度收缩结果的推导中,光脉冲向列车右端移动(与列车行进方向一致)与光脉冲向列车左端返回(与列车行进方向相反)之间存在一定的不对称性。这一观察是这样一个事实的基础,即在火车坐标系中同时发生的事件可能在静止观察者的坐标系中不同时发生。
假设火车左端和右端发生的事件在火车坐标系中同时发生。事实证明,这些事件是不同时出现在火车外静止观察者的框架中。此外,静止观察者帧中事件之间的时间间隔为
由于火车左端的事件先发生, 火车在车架中的长度,和 火车的速度。
假设在一列火车的中心放置一个光源静止观测器的坐标系长度 .在火车的框架中,光同时到达火车的两端,但在静止的观察者的框架中不是这样。如果列车向右移动,静止观察者测量的光线到达右端所需的时间为
而光到达左端的时间是
通过和之前一样的推理。使用长度收缩表达式 收益率
可以重新安排到哪个
虽然时间膨胀和长度收缩的表达式仅分别涉及时间或长度坐标,但这里显然“混合”了不同框架中的长度和时间坐标。出于这个原因,在相对论物理学中,人们经常把“时空”称为一个单一的实体,在这个实体中,时间与三个空间维度处于平等的地位。
洛伦兹变换
正如它们所提出的,关键的相对论效应(时间膨胀、长度收缩和同时性丧失)的表达式只直接适用于分别采取的每一个效应。总的来说,所有的影响都可以一举系统地解决。一个人可以证明所谓的洛伦兹变换,将静止观测器的坐标与运动坐标系中的观测器的坐标联系起来,则与所有在之前得到的表达式中:
在这里,运动的坐标系沿着 带速度轴 ,运动坐标系的坐标用质数表示。通常,洛伦兹变换被写成a矩阵变换在坐标向量之间,定义 :
相对论动力学
如果狭义相对论是正确的,为什么人们在日常生活中从来没有遇到过相对论现象?关键在于大小 以每天的速度。为 , ,因此 .因此,在比光速小得多的速度下,相对论效应是相当小的 有效地对运动方程进行因子修正并不会带来任何修正。
为了说明 变化与 ,考虑下表的值 作为函数 对于几个给定的速度 (以光速的分数表示 ).作为比较,光的速度是地球逃逸速度的一万倍:
显然,的值 略大于 对于任何速度都不是 .
狭义相对论的一个明确含义是,任何有质量的物体都不能以光速或更快的速度运动。这提出了一个明显的问题,牛顿表达式的各种动力量,如动能 还有动量 .在这两种情况下,这两个量都被限制为有限,尽管没有物理定律阻止任意大的(但有限的)能量量被添加到一个系统中。
它证明存在适当的能量和动量的相对论表达式具有适当的渐近行为为 方法 .一个有质量的粒子的总能量 和速度 是由
这个表达式的一个特殊结果是,一个静止的粒子一定有一些剩余能量 ,这本身就是一个强有力的暗示。
类似地,相对论动量是
它和相对论能量一样,有正确的极限行为。
这些方程,就像狭义相对论中的所有其他方程一样,可以通过要求与爱因斯坦的两个公设一致来推导,或者等效地在各种物理环境中强制执行洛伦兹变换。
在经典物理学中,系统的总能量和动量总是守恒的。 然而,质量在一般情况下不再守恒。爱因斯坦的方程 说明能量可以转化为质量,反之亦然,只有包含质量的总能量是守恒的。