团结的根源

一个<年代trong>统一的根源是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复数" target="_blank">复数当升到a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/de-moivres-theorem/" class="wiki_link" title="正整数幂" target="_blank">正整数幂，结果是<年代pan class="katex"> $1$ $1$ ．统一的根源与数学的许多领域都有联系，包括几何<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/regular-polygons/" class="wiki_link" title="常规的多边形" target="_blank">常规的多边形，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/group-theory-introduction/" class="wiki_link" title="群理论" target="_blank">群理论，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/learn-and-practice-number-theory-on-brilliant/" class="wiki_link" title="数论" target="_blank">数论．

下面的问题，虽然看起来与复数无关，但很好地演示了单位根的工作原理:

上一题中不同距离的“跳”类似于10<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{th}$ 团结的根源。事实上，是10<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{th}$ 团结之根，当绘于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-plane/" class="wiki_link" title="复平面" target="_blank">复平面，形成一个正的十边形。在十角形上跳十圈就像举起一个10<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{th}$ 10的统一之根<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{th}$ 权力。在布里利的案例中，这让他回到了起点。以10为例<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{th}$ 团结的根源，它的结果<年代pan class="katex"> $1$ $1$ ．

内容

统一根的定义

解<年代pan class="katex"> $文本\ textit {n} ^ \ {th}$ $n^{th} 团结的根源$

解形式方程<年代pan class="katex"> $x ^ n =$ $x^{n} ＝一个$
单位根与正多边形的关系

使用统一根的旋转

单位根与等比级数的关系

单位根的性质

附加的问题解决与统一的根源

统一根的定义

对于任何正整数<年代pan class="katex"> $n$ $n$ ,<年代pan class="katex"> $\ textit {n} ^ \ textbf {th}$ $x ^ n = 1$

解<年代pan class="katex"> $文本\ textit {n} ^ \ {th}$ $n^{th} 团结的根源$

欧拉公式可以用来找<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n$

$第九e ^ {} = {cis} (x) = \ \文本cos (x) + i \ sin (x)$

让<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 是正整数<年代pan class="katex"> $U_n$ $n ^ \文本{th}$

$左U_n = \ \ {e ^ {2 k \π/ n}{\大型\中期}k \ \ {1, 2 \ ldots n \} \右\}。$

重要的是要注意所有的集合<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n$

根据欧拉公式，

$e ^{2 \π}= \ cos(2 \π)+ i \罪(2 \π)= 1。$

让<年代pan class="katex"> $k$ $k$ 为任何正整数。然后

$\big(e^{2\pi}\big)^k=e^{2k\pi}=1^k=1。$

已知<年代pan class="katex"> $x ^ n = 1$ $x$

$x ^ n = 1 = e ^{2 \π}= e ^{4 \π}= e ^{6 \π}= \ ldots = e ^ {2 k \π}。$

取每一次幂<年代pan class="katex"> $\ \大型压裂{1}{n}$ $\frac{1}{n} 权力给$

$左(x ^ n \ \右)^ {1 / n} = x = e ^{2 \π/ n} = e ^{4 \π/ n} = e ^{6 \π/ n} = \ ldots = e ^ {2 k \π/ n}。$

注意，如果<年代pan class="katex"> $k > n$ $\ \大型压裂{2 k \π}{n}$

因此，有<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 不同的解决方案<年代pan class="katex"> $x ^ n = 1$ $x = e ^ {2 k \π/ n}$

解方程<年代pan class="katex"> $x ^ 3 = 1$ $x。$

根据上述定理，解为

$\{数组}{c}开始x = e ^{2 \π/ 3},e ^{4我\π/ 3},e ^{6我\π/ 3}\{数组}结束。$

根据欧拉公式，它们分别是，

$\{对齐}开始x = \ cos{\离开(\压裂{2 \π}{3}\右)}+ i \罪{\离开(\压裂{2 \π}{3}\右)}= \压裂{1}{2}+ i \压裂{\ sqrt {3}} {2} \ \ x = \ cos{\离开(\压裂{4 \π}{3}\右)}+ i \罪{\离开(\压裂{4 \π}{3}\右)}= \压裂{1}{2}- i \压裂{\ sqrt {3}} {2} \ \ x = \ cos{\离开(\压裂{6 \π}{3}\右)}+ i \罪{\离开(\压裂{6 \π}{3}\右)}= 1。\ _\方形\端{对齐}$

让<年代pan class="katex"> $z$ $z$ 是一个<年代pan class="katex"> $7 ^ \文本{th}$ $z$

如果<年代pan class="katex"> $z = a + bi$ $一个$

把答案精确到小数点后3位。

解形式方程<年代pan class="katex"> $x ^ n =$ $x^{n} ＝一个$

单位根可以用来解任何形式的方程<年代pan class="katex"> $x ^ n =$ $一个$

求出方程的所有复解<年代pan class="katex"> $x ^ 4 = 2。$ $x^{4} ＝ 2 ．$

求解这个方程的方法与求解<年代pan class="katex"> $x ^ 4 = 1:$ $x^{4} ＝ 1 ：$

$x ^ 4 = 2 (1) = 2 e ^{2} \π= 2 e ^{4} \π= 2 e ^{6} \π= 2 e ^{8} \π。$

以<年代pan class="katex"> $4 ^ \文本{th}$ $4^{th} 每个的根$

$\{对齐}开始x = \ sqrt [4] {2} e ^ {2 k \π/ 4}\ \文字的{}\ k = 1, 2, 3, 4 \ \ \ \ x = \ sqrt[4]{2}我~ - \ sqrt[4]{2}我~ - \ sqrt [4] {2}, ~ ~ \ sqrt[4]{2}。\ _\方形\端{对齐}$

1 2 3. 4 5 6 7 8

方程有多少根<年代pan class="katex"> $x ^ 8 = 16$ $bi$

单位根与正多边形的关系

统一的根与几何有很强的关系。通过画出统一的根<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-plane/" class="wiki_link" title="复平面" target="_blank">复平面，它们可用于生成正多边形的顶点。

对于任何整数<年代pan class="katex"> $n \通用电气3$ $n ^ \文本{th}$

等边三角形的质心位于原点，顶点位于原点<年代pan class="katex"> $(1,0)$ $（ 1 ， 0 ）．另外两个顶点的坐标是什么?$

这一点<年代pan class="katex"> $(1,0)$ $1 + 0$

$\压裂{1 + i \√{3}}{2}{和}\ \文本压裂{我\ sqrt {3}} {2}$

这些复数对应于坐标平面上的以下点:

$\离开(- \压裂{1}{2},\压裂{\ sqrt{3}}{2} \右){和}\ \文本左(- \压裂{1}{2},——\压裂{\ sqrt{3}}{2} \右)。\ _ \广场$

使用统一根的旋转

的<年代pan class="katex"> $8 ^ \文本{th}$ $12 ^ \文本{th}$

$单位的$8^\text{th}$和$12^\text{th}$根$ 的<年代pan class="katex"> $8 ^ \文本{th}$ $12 ^ \文本{th}$

因为这些值可以很容易地计算或记忆，所以它们对于执行非常有用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers-in-geometry/" class="wiki_link" title="复平面上的旋转" target="_blank">复平面上的旋转．通过扩展，它们可以用于在任何二维甚至三维空间中进行旋转。

这一点<年代pan class="katex"> $(2、3)$ $3 \ \压裂{π}{4}$

注意，在复平面上对应的点为<年代pan class="katex"> $2 + 3$ $e ^{3 \π/ 4}$

复平面上的旋转可以通过复数相乘来实现。在复平面上得到的图像是

$左(\ \ vphantom{\压裂{\ sqrt{2}}{2}} 2 + 3我\ \离开(- \压裂{\ sqrt {2}} {2} + i \压裂{\ sqrt{2}}{2} \右)= -大概{2}\ \压裂{3 \ sqrt{2}}{2} +我\ \√{2}- \压裂{3 \ sqrt{2}}{2} \右)= - \压裂{5 \√{2}}{2}- i \压裂{\ sqrt{2}}{2}。$

那么在坐标平面上对应的图像是<年代pan class="katex"> $\离开(- \压裂{5 \√{2}}{2},——\压裂{\ sqrt{2}}{2} \右)。\ _ \广场$ $（ - \frac{5 2 ， - \frac{2 ）． _{□}}{2}}{2}$

这一点<年代pan class="katex"> $\左(4+7\sqrt{3}\， 7-4\sqrt{3}\右)$ $\ dfrac{\π}{3}$

单位根与等比级数的关系

从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progressions/" class="wiki_link" title="几何发展" target="_blank">几何发展，我们有

$\ sum_ {k = 0} ^ n {x ^ k} = \压裂{x ^ {n + 1} 1} {x - 1}。$

这个恒等式，连同单位根的性质，可以用来求某些多项式方程的解。

求出方程的所有复解<年代pan class="katex"> $x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = 0$ $x^{3.} + x^{2} + x + 1 ＝ 0 ．$

由上面的恒等式，方程变成

$\开始{数组}{c} & \ dfrac {x ^ 4 - 1} {x - 1}{或}= 0 & \文本x ^ 4 = 1, x \ neq 1。结束\{数组}$

解是4<年代pan class="katex"> $^ \文本{th}$ $^{th}$ 团结的根源<年代pan class="katex"> $（$ $（$ 除了<年代pan class="katex"> $x = 1):$ $x ＝ 1 ）：$

$\{数组}{c}开始x = e ^{2 \π/ 4},e ^{4 \π/ 4},e ^{6 \π/ 4},e ^{8 \π/ 4}。结束\{数组}$

用欧拉公式展开得到

$\开始x =四维数组{}{rrrrr} + i, &0-i, &-1 + 0,我& 1 + 0。结束\{数组}$

最后一个解决方案被拒绝是因为<年代pan class="katex"> $x \ neq 1$ $我,我,$

考虑这个等式

$x x ^ ^ 7 + 6 + x x ^ ^ 5 + 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = 0。$

让<年代pan class="katex"> $xk$ $k ^ \文本{th}$

$7 \ sum_ {k = 1} ^{\[大\ Re (xk) \]大^ 2}= \ ?$

单位根的性质

统一的根有许多特殊的性质和应用。这些只是其中的一些:

如果<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $x ^ k,$

如果<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $x ^ n = 1$

所有的总和<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n \ ne 1$

所有的产物<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $(1) ^ {n + 1}$

$1$

如果一个数是单位的根，那么它也是单位的根<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-conjugates-problem-solving-easy/">复共轭．

所有的和<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $n ^ \文本{th}$

所有的绝对值之和<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n。$

如果<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $1，$

如果<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 是一个<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $x ^ k,$

通过下标法则，我们可以推导出<年代pan class="katex"> $(x ^ k) ^ n = (x ^ n) ^ k$ $x$

求所有这些的乘积<年代pan class="katex"> $2016 ^ \文本{th}$ $2 0 1 6^{th} 团结的根源。$

根据定义，单位根的乘积等于方程的根的乘积

$x ^{2016} 1 = 0。$

通过<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/">Vieta的公式，根的乘积与多项式的常数项有关。多项式的次是偶的，所以根的乘积和常数项是一样的，<年代pan class="katex"> $－1$ $_ \广场$

求所有的和<年代pan class="katex"> $1729 ^ \文本{th}$ $1 7 2 9^{th} 团结的根源。$

我们要求的是根号的和

$x ^{1729} 1 = 0。$

通过<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/vietas-formula/">Vieta的公式，根的和与一阶项的系数相反。一阶项的系数是<年代pan class="katex"> $0$ $0$ 所以根号和是<年代pan class="katex"> $0$ $0$ ．<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

求所有的和<年代pan class="katex"> $1000 ^ \文本{th}$ $17 ^ \文本{th}$

带根的方程是

$\{对齐}开始x ^ {17} 1 & = 0 x ^ \ \{17} & = 1 \ \ \离开(x ^{17} \右)^ {58}& = 1 ^ {58}\ \ & = 1 \ \ x ^ {986} & = 1 \ \ x ^ {1000} & = x ^{14}。结束\{对齐}$

所以我们只是在求所有14次方的和。通过<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/newtons-identities/">牛顿的总和（也请阅读这个<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/discussions/thread/a-genaralization-of-newtons-sum/">特殊情况）我们看到<年代pan class="katex"> $s_1 = s_2 = s_3 = s_4 =。= s_ {14} = 0$ $0$

这对任何人都是正确的<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $k$

求根的绝对值之和<年代pan class="katex-display"> $x ^{172920152016} = 1。$

如果只是和，那么结果是零。但是这个问题问的是模量。所以我们用每个根可以表示为<年代pan class="katex"> $e ^ {ki}$ $k$

$左\ | e ^ {ki} \右大| | = \ \因为k + i \罪k \大| = \√6 {\ cos ^ 2 k + \罪^ 2 k} = \ sqrt{1} = 1。$

所以每个根的绝对值都是<年代pan class="katex"> $1.$ $172920152016$

你可以推广<年代pan class="katex"> $n ^ \文本{th}$ $n^{th} 团结的根源。$

附加的问题解决与统一的根源

如果<年代pan class="katex"> $\α$ $α$ 是一个单位的非实数七次根，那么求带有根的一元二次方程的判别式<年代pan class="katex"> $\ \α+α^ 2 + \α^ 4$ $\α^ 3 + \α+ \α^ 6 ^ 5。$

细节和假设:

二次方程的判别式<年代pan class="katex"> $ax ^ 2 + bx + c = 0$ $b ^ 2-4ac。$

如果<年代pan class="katex"> $V_ {n} = ^ {n} + b ^ {n},$ $一个$

$\sum_{n=0}^{1729} (-1)^{n} \cdot \ V_{n} ?$

鉴于

$f (x) = x ^ {13} + 2 x ^ {12} + 3 x ^ {11} + 4 x ^ {10} + \ cdots + 13 x + 14,$

表示

$N = f(a) \ * f\left(a^2\right) \ * f\left(a^3\right) \ * cdots \ * f\left(a^{14} \right)，$

在哪里<年代pan class="katex"> $= \因为\离开(\压裂{2 \π}{15}\右)+我罪\ \(\压裂{2 \π}{15}\右)。$ $一个＝因为（ \frac{2 π ） + 我罪（ \frac{2 π ）．}{1 5}}{1 5}$

的值是多少<年代pan class="katex"> $米$ $米$ 这样<年代pan class="katex"> $N^\frac{1}{M} = 15 ?$ $N^{\frac{1}{米}}$

为<年代pan class="katex"> $w = e ^{\π{我}/ 11}$ $w ＝ e^{π 我 / 11}$

$\ prod_ {k = 0} ^{11} \离开(w ^ k-2w ^ {- k} \右)。$

$\begin{cases} \alpha^3 \beta^5 = 1 \\ \alpha^7 \beta^2 = 1 \end{cases}$

让<年代pan class="katex"> $alpha = \cos \theta_1 + I \sin \theta_1$ $\ β = \cos \ + I \sin \$

如果<年代pan class="katex"> $\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{a}{b}$ $一个$

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