割圆多项式
已经有账户了?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/cyclotomic-polynomials/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">在这里登录。一个>
有关……
割圆多项式多项式的复根是什么<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots-of-unity/" class="wiki_link" title="统一的原始根源gydF4y2Ba" target="_blank">统一的原始根源一个>.它们很重要<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/algebraic-number-theory/" class="wiki_link" title="代数数论gydF4y2Ba" target="_blank">代数数论一个>(给出明确的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/algebraic-number-theory/" class="wiki_link" title="最小多项式gydF4y2Ba" target="_blank">最小多项式一个>为了团结的根源)和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/galois-theory/" class="wiki_link" title="伽罗瓦理论gydF4y2Ba" target="_blank">伽罗瓦理论一个>,在那里他们提供了阿贝尔场扩展的例子,但他们也有应用在初等数论
动机
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/roots-of-unity/" class="wiki_link" title="团结的根源gydF4y2Ba" target="_blank">
nth团结的根源一个>在单位圆上作为正则的顶点
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots-of-unity/" class="wiki_link" title="团结的根源gydF4y2Ba" target="_blank">原始的
让
如果
0 <一个<n而且( ζk)一个=1,然后n ∣k一个.如果肾小球囊性肾病 (n,k)=1,然后n ∣一个,这是不可能的,所以呢ζ k是一个原语n th√1 .如果肾小球囊性肾病 (n,k)=d>1,然后ζ k(n/d)=ζn(k/d)=1k/d=1,所以ζ k不是原语n th√1 .这证明了这个命题。□
有十二个
<!-- end-example -->1 2th团结的根源,但只有ϕ (12)=4其中有一种是原始的ζ 12,ζ125,ζ127,ζ1211.另一个8 是d th某个适当除数的单位根d 的1 2.
定义
让
Φ n(x)为由公式定义的复系数多项式
Φ n(x)=nth统一的根源ζ一个原始∏(x−ζ)=肾小球囊性肾病(k,n)=11≤k<n∏(x−ζnk),在哪里
<!-- end-definition -->ζ n=e2π我/n.
任何的顺序
这个公式以后会用到。
- ζ1=1,所以
Φ 1(x)=x−1.- ζ2=−1,所以
Φ 2(x)=x+1.- Φ3.(x)=(x−ζ3.)(x−ζ3.2)=x2+x+1,因为
ζ 3.=−21+我23. 而且ζ 3.2=−21−我23. .- ζ4=我这是唯一的另一个原始元素
是4 th√1 − 我,所以Φ 4(x)=(x+我)(x−我)=x2+1.- 一个简单的捷径
单位的根是原始的,除了Φ 5(x)这是:每一个5 th1 ,所以Φ 5(x)=x−1x5−1=x4+x3.+x2+x+1.- 为
Φ 6(x),只有ζ 6=21+我23. 而且ζ 65=21−我23. 是原始的。所以Φ 6(x)=(x−ζ6)(x−ζ65)=x2−x+1.这也可以由Φ 6(x)=Φ1(x)Φ2(x)Φ3.(x)x6−1=(x−1)(x+1)(x2+x+1)x6−1=x2−x+1.
一些模式已经出现。关于
gydF4y2Ba更重要的是,注意的系数
的属性
Φ n
Φn(x)是整数系数的多项式吗
ϕ (n).它对有理数是不可约的( 也就是说,它没有次小于的有理数系数的非平凡因子Φ n),这就是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/algebraic-number-theory/" class="wiki_link" title="最小多项式gydF4y2Ba" target="_blank">最小多项式一个>的ζ n.<!-- end-theorem -->
表明,
Φ n(x)∈Z[x]通过归纳n .基本情况很清楚,现在假设结果对所有情况都成立k <n.然后x n−1=(k<nk∣n,∏Φk(x))Φn(x).根据归纳假设,括号内的乘积是一个整数系数的一元多项式。这个结果来自一个一般的可除引理。
引理: 假设f (x)=g(x)h(x)在C [x]而且f (x)而且g (x)是整数系数的一元多项式。然后h (x)是一个整数系数的一元多项式。
引理的证明: 有一种除法算法Z [x]只要除数是一元的就行。因此我们可以这样写f (x)=g(x)问(x)+r(x)与r =0或度 (r)<度(g),在那里问 (x),r(x)∈Z[x].所以g (x)h(x)g(x)(h(x)−问(x))=g(x)问(x)+r(x)=r(x),如果方程两边都是非零的,那么左边的次显然严格大于右边的次,这是不可能的;所以两边都是0,r (x)=0,h (x)=问(x).□ 不可约性的证明留到wiki的最后一个可选部分。<!-- end-proof -->
注意的系数
公式
Φ n
应用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/mobius-function/" class="wiki_link" title="默比乌斯变换gydF4y2Ba" target="_blank">默比乌斯变换一个>到恒等式
给了
这是一个相当明确的公式
对于正整数
的因数
d 的n 这样μ (d)=0是的约数吗r n.所以
Φ n(x)=d∣n∏(xn/d−1)μ(d)=d∣rn∏((xn/rn)rn/d−1)μ(d)=Φrn(xn/rn).
它直接由定理得出
Φ 96(x)=Φ6(x16)=x3.2−x16+1.
因此,
如果
的因数有两种类型
米 p, 1能被p 还有一些不是。前者可以写成p d,d∣米,后者可以写成d ,d∣米.把产品分成两个产品
Φ 米p(x)=d∣米∏(x米p/pd−1)μ(pd)d∣米∏(x米p/d−1)μ(d)=d∣米∏(x米/d−1)−μ(d)d∣米∏((xp)米/d−1)μ(d)=Φ米(x)−1Φ米(xp).□
计算
Φ 180(x).gydF4y2Ba根据第一定理,
Φ 180(x)=Φ3.0(x6).gydF4y2Ba现在
Φ 3.0(x)=Φ6(x)Φ6(x5)根据第二个定理。这是
x 2−x+1x10−x5+1=x8+x7−x5−x4−x3.+x+1,所以
Φ 180(x)=x48+x42−x3.0−x24−x18+x6+1.□
应用程序
这里有一个应用于下面的特殊情况<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/dirichlets-theorem/" class="wiki_link" title="狄利克雷定理gydF4y2Ba" target="_blank">狄利克雷定理一个>等差数列中的质数。这使用了一个关于质因数的结果
给定一个正整数
让
f (x)=(x−1)(x2−1)(⋯)(xn−1−1).然后f (x)而且x n−1相对于复数是相对素数,因此相对于有理数是相对素数(通过上面类似的论证)。所以存在一个 (x),b(x)∈问[x]这样f (x)一个(x)+(xn−1)b(x)=1.让N 是的系数的分母的乘积一个 而且b .然后清除分母f (x)一个(x)+(xn−1)B(x)=N,在那里一个 而且B 有整数系数。gydF4y2Ba现在假设
p >N质数是除法吗Φ n(b).然后p ∣(bn−1),所以b n≡1(米odp).现在,如果p ∣(bk−1)对于较小的正数也是如此k ,然后p ∣f(b)所以p ∣N,这是不可能的。所以事实上n 的乘法顺序是b 国防部p .然后<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-little-theorem/" class="wiki_link" title="费马小定理gydF4y2Ba" target="_blank">费马小定理一个>意味着n ∣(p−1),如你所愿。□
对于每一个
<!-- end-theorem -->n ,有无穷多个同余质数1 国防部n .
假设只有有限数量的质数。让
c 等于这些质数和数的乘积N !,在哪里N 和前面的定理一样。现在Φ n(x)→∞作为x →∞因为它是一个一元多项式,所以取米 足够大Φ n(米c)>1.gydF4y2Ba现在
n ≥2,Φ n(0)=1(锻炼),所以Φ n(米c)相对来说c (除常数项外,其他项都能被c ).这与之前的定理是矛盾的,因为任何质数除法Φ n(米c)必须分c 通过它的结构。□
不可约性证明
有几种不可约性的证明;这里给出的答案是舒尔的。
gydF4y2Ba首先,有一个关于产品的引理涉及统一的根源。
引理:让
引理的证明:首先,
现在我们来展示一下
如果是整数系数多项式
一旦证明了这个结果,的不可约性
gydF4y2Ba但
gydF4y2Ba把这两个放在一起,我们得到