二次互易律
在数论中二次互易律是关于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-residues/" class="wiki_link" title="二次残留" target="_blank">二次残留取奇素数的模。这个定律允许我们确定是否同余的形式 国防部 有一个解决方案,通过给出一个蓝图来计算<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德的象征" target="_blank">勒让德的象征 为 一个奇素数和 。有关使用二次互易律进行显式计算的示例,请参见<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德的象征" target="_blank">勒让德的象征。二次互易在数论和密码学中都有应用。
定理的说明
这个定理最容易用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德符号" target="_blank">勒让德符号。主要定理的表述是
在哪里 和 奇数是质数吗 表示勒让德符号。
关于勒让德符号还有另外两个结果,它们通常被归为二次互易定律,并被称为第一和第二补充对法律:
第一个补充在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="勒让德的象征" target="_blank">勒让德的象征第2页的证明一般作为二次互易律证明的主要部分。
高斯引理
大多数初等证明使用高斯引理在二次残数上。
引理:
假设
奇数质数是和吗
。然后考虑
不同的整数
这里,当我们说" 国防部 ,我们指的是同等于的最小正整数 国防部 ,即除后的余数 通过 让 求大于的整数的个数 然后
- 评估 ,高斯引理中的整数是 ,其中两个大于 ,所以 。事实上 国防部 ,所以 是一个平方模 像预期的那样。
- 评估 ,高斯引理中的整数是 ,其中三个比 ,所以 。所以同余 国防部 没有解。<!-- end-example -->
引理的证明:
评估产品
国防部
以两种不同的方式。通过重新排列项,我们得到
但是这个乘积也可以通过注意高斯引理中的每一个不同的整数来求值 或 为 ,并表明每一个 这是明显的。将它们相乘 给了 乘以一个数负号,等于的个数 副本;但是有 符号是 。结果如下<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/legendre-symbol/" class="wiki_link" title="欧拉准则" target="_blank">欧拉准则消掉 。