无穷在实数轴的末端吗?

这是关于常见的误解．

真或假?

无穷是实数轴末端的数。

为什么有些人认为这是真的:因为无穷比其他所有数都大。

为什么有些人说它是错误的:因为无穷不是一个数字数轴上没有终点。

该声明是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$ ．

证明:

的误解是,“如果你保持继续沿着数轴过去越来越大的自然数,然后最终数数就放弃(某地后,你的老师会厌倦了tic标记),而且会有无穷符号( $\ infty$ )，以表示数轴的结束。”或者，有人说:“无穷在数轴的末端，但仍有无穷多的数字小于无穷、介于无穷与数轴上任何一点之间。”这两个概念都植根于微积分相关的概念;然而，它们从根本上都是错误的。

当你的老师用 $\ infty$ ，这实际上是表示数轴无限延伸的一种误导。表示这个概念的一种不那么误导人的方法可能是用箭头把数轴拉长。在我们决定停止记录整数之后，我们还可以使用公共符号表示整数继续存在一般术语系列符号:＂ $．..n，n+1，n+2，．..$ 在这种情况下，用来描述所有非负整数的集合。这个集合也通常被称为“自然数”( $\ mathbb {N}$ )或“非负整数”。

误解在于选择治疗 $\ infty$ 作为一个整数或整数，或作为实数．这和相信不一样 $\ infty$ 是“真实的”还是“不真实的”。无限是一个“真实的”和有用的概念。然而，无穷不是数学上定义的“实数”集合中的一员，因此，它不是实数线上的一个数。

实数的集合， $R \ mathbb {}$ 在大多数大学预科学校中，这是有解释的，而不是定义的。而且，即使这样，它通常也只是简单地解释一下，大致是这样描述的:“所有的点都是……数轴，并附加“负数在0的左边，正数在0的右边。”

大多数学生都没有接受过关于实数的严格定义，除非他们成为大学数学专业的学生。最常见的定义之一就是实数是集合绰金削减的有理数．给定实数的严格定义，很明显，“无穷大”不属于实数集合。

反驳:在研究中如果有极限，无限( $\ infty$ )就像对待其他数字一样。如果无穷不是一个数字，为什么我们要在微积分中这样做呢?

回复许多人在微积分预备课或微积分课上都学过极限，而人们对待无穷的方式却误导人，认为无穷只不过是另一个数字。例如，给定一个水平渐近线为5的函数，我们可以说 $f (x)$ 作为 $x$ 趋近于无穷是5: $F (x)_{x\rightarrow \ inty} = 5$ ,如果 $f (x)$ 有一条垂直渐近线在 $17$ 在美国，我们被教导这样说 $F (x)_{x\rightarrow 17} = inty$ ．这是许多学生第一次接触 $\ infty$ ，这是一个非常误导性的介绍，因为它暗示 $\ infty$ 可以简单地看作一个“比其他所有数字都大”的数字。

然而，在这种情况下，无穷只是一个定义良好的函数概念的缩写，这个函数没有任何实值的极限，而是无限增长，没有界限。请参阅维基百科函数的极限更多细节!

反驳我肯定在数学课本上见过无穷大，有时无穷大被定义为比所有非无穷大的数都大的数。如果它不是一个真正的数学概念，为什么会存在呢?

回复实际上，在一些数学数字集合中，如基数数和序数，有许多不同定义的版本 $\ infty$ 是数字。和严格定义的数字系统，包括 $\ infty$ 有许多有价值的应用。例如，在基数集合中，无穷大实际上是对有多少实数的度量。但是，实数的集合 $R \ mathbb {}$ 的定义使得它省略了无穷大的任何版本。

此外，当考虑基数时，我们必须改变我们对无穷的直觉:它不是一个实数意义上的数字。相反，它是一个测量和比较集合大小的概念。

另请参阅

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