绰金削减

如我们所见，布景<年代pan class="katex"> $\ mathbb {Q}$ $问$ 的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rational-numbers/" class="wiki_link" title="有理数" target="_blank">有理数包含数字上的空白，例如<年代pan class="katex"> $\ sqrt {2}$ $2$ 和<年代pan class="katex"> $\π。$ $π ．$ 我们之前已经对<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数" target="_blank">实数以及这些数字是如何让我们填补空白的。在本节中，我们给出了实数的严格数学构造。

实数作为Dedekind削减

一个<年代trong>有理数分割 $x = (L, U)$ 在<年代pan class="katex"> $\ mathbb {Q}$ $问$ 是一对子集吗<年代pan class="katex"> $L U$ $l ， U$ 的<年代pan class="katex"> $\ mathbb {Q}$ $问$ 满足以下几点:

$L \cup U = mathbb{Q}， L \cap U = emptyset, L \not= emptyset, U \not= emptyset。$

如果<年代pan class="katex"> $在l l \$ $l \in l$ 和<年代pan class="katex"> $u的\$ $u \in U$ ,然后<年代pan class="katex"> $l < u。$ $l < u ．$

$l$ 不包含最大的元素。

一个<年代trong>实数狄德金插队了吗<年代pan class="katex"> $\ mathbb {Q}$ $问$ 表示实数的集合<年代pan class="katex"> $R \ mathbb {}$ $R$ ．

注意这个切口是命令以及<年代pan class="katex"> $l$ $l$ (如在下)都比元素小<年代pan class="katex"> $U$ $U$ (上)。在以上定义中，为一截<年代pan class="katex"> $x = (L, U),$ $x ＝（ l ， U ），$ 我们有<年代pan class="katex"> $L = mathbb{Q} \反斜杠$ $l ＝问＼ U$ ．给定任意有理数<年代pan class="katex"> $r,$ $r ，$ 切割的一个例子就是其中一种形式

$[r] =大(\ \{问\ \ mathbb {q}: q < r \} \{问\ \ mathbb {q}:问\ r组\}\大),$

它被称为<年代trong>合理的减少．这给出了有理数作为切的解释，因此每个有理数也是实数。实数0被定义为有理割

$[0] =大(\ \{问\ \ mathbb {q}: q < 0 \} \{问\ \ mathbb {q}:问\组0 \}\大)。$

注意在一个合理的切割<年代pan class="katex"> $[r]$ $［ r ］$ ,一组<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 包含最小的元素，即<年代pan class="katex"> $r$ $r$ ．实数是<年代trong>非理性的如果一组<年代pan class="katex"> $U$ $U$ 不包含最小的元素。定义无理数的一个例子是

$大(\ \{问\ \ mathbb {q}:{或}\ leq 0 \文本q ^ 2 < 2 \} \{问\ \ mathbb {q}: q > 0 \文本{和}问^ 2 > 2 \}\大)。$

现在我们使用切割来定义算术运算和顺序关系。

算术运算

我们首先使用切来定义实数熟悉的算术运算，包括加、减、乘和除。削减<年代pan class="katex"> $x = (A, B)$ $x ＝（一个， B ）$ 和<年代pan class="katex"> $y = (C, D)$ $y ＝（ C ， D ）$ ，定义添加如下:

$x + y = (E， \mathbb{Q} \反斜杠E)， \text{where} E = \{Q \in \mathbb{Q}: Q = a+c \text{for some} a \in a, c \in c \}。$

观察切割加法是定义良好且满足的<年代pan class="katex"> $X + [0] = X, X +y=y+ X$ $x + ［ 0 ］＝ x ， x + y ＝ y + x$ (交换性)<年代pan class="katex"> $(x+y)+z = x+ (y+z)$ $（ x + y ） + z ＝ x + （ y + z ）$ (结合性)。的加性逆<年代pan class="katex"> $x = (A, B)$ $x ＝（一个， B ）$ 是<年代pan class="katex"> $-x = (C， \mathbb{Q} \反斜杠C)$ $- x ＝（ C ，问＼ C ）$ 与

$C = \{q \in \mathbb{q}: q =-b \text{for} b \in b \text{not the smallest element} \}。$

那么减法的定义是<年代pan class="katex"> $X -y = X + (-y)$ $x - y ＝ x + （ - y ），$ 对于任何切割<年代pan class="katex"> $x$ $x$ ,我们有<年代pan class="katex"> $X + (-x) = (-x) + X =[0]。$ $x + （ - x ）＝（ - x ） + x ＝［ 0 ］．$ 绝对值<年代pan class="katex"> $\ \绿色绿色x$ $∣ x ∣$ 被定义为

$\lvert x \rvert = \begin{cases} x & \mbox{if} x \geq 0 \\ -x & \mbox{otherwise}， \end{cases}$

乘法的定义是

$x、y = \{病例}开始0 & \ mbox{如果}x = 0 \ mbox{或}y = 0 x \ \ \ \ lvert rvert \ \ lvert y \ rvert & \ mbox{如果}x > 0, y > 0 \ \ mbox{或}\ x < 0 y < 0 \ \ \大(\ lvert x \ rvert \ \ lvert y \ rvert \大)& \ mbox{如果}x > 0, y < 0 \ \ mbox{或}\ x y > < 0, 0。\{病例}结束$

然后加法和乘法满足这些性质<年代pan class="katex"> $X \乘以[1]= X X \乘以y=y \乘以X$ $x \times ［ 1 ］＝ x ， x \times y ＝ y \times x$ (交换性),<年代pan class="katex"> $(x \乘以y) \乘以z = x \乘以(y \乘以z)$ $（ x \times y ） \times z ＝ x \times （ y \times z ）$ (结合性)<年代pan class="katex"> $(x + y) \ * z = (x \ * z) + (y \ * z)$ $（ x + y ） \times z ＝（ x \times z ） + （ y \times z ）$ (分配性)。

对于实数<年代pan class="katex"> $x = (A， \mathbb{Q} \反斜杠A)$ $x ＝（一个，问＼一个）$ 与<年代pan class="katex"> $x > 0$ $x > 0$ ，乘法逆的定义为<年代pan class="katex"> $x^{-1} = (A'， \mathbb{Q} \反斜杠A')$ $x^{- 1} ＝（一个^{”} ，问＼一个^{”} ）$ ,在那里

$A' = left\{q \in \mathbb{q}: q \leq 0\ mbox{or} q > 0\\ mbox{and} frac{1}{q} \in \mathbb{q} \反斜杠A\\ \text{not the smallest element} \right\}。$

为<年代pan class="katex"> $x < 0$ $x < 0$ ，<年代pan class="katex"> $X ^{-1} = -左(lvert X \rvert^{-1} \right)$ $x^{- 1} ＝ - （ ∣ x ∣^{- 1} ）$ ．

对于有理数切割，所有上述算术运算都与有理数上的算术运算一致。

顺序关系

鉴于实数<年代pan class="katex"> $x = (A, B)$ $x ＝（一个， B ）$ 和<年代pan class="katex"> $y = (C, D)$ $y ＝（ C ， D ），$ $x$ 是小于还是等于<年代pan class="katex"> $y,$ $y ，$ 表示<年代pan class="katex"> $x \ leq y,$ $x \leq y ，$ 如果<年代pan class="katex"> $一个\ subseteq C。$ $一个 \subseteq C ．$ 这个不等式是严格的<年代pan class="katex"> $一个\ C子集。$ $一个 \subset C ．$

实数的这种排序满足以下性质:

$x < y$ 和<年代pan class="katex"> $y < z$ $y < z$ 意味着<年代pan class="katex"> $x < z。$ $x < z ．$
一个的<年代pan class="katex"> $X < y y < X，$ $x < y ， y < x ，$ 或<年代pan class="katex"> $x = y$ $x ＝ y$ 成立。
$x < y$ 意味着<年代pan class="katex"> $X + z < y + z$ $x + z < y + z$ ．

以上所有表明<年代pan class="katex"> $R \ mathbb {}$ $R$ 是一个<年代trong>命令字段．注意，根据我们的定义，<年代pan class="katex"> $\ infty$ $\infty$ 不是实数，因为<年代pan class="katex"> $(mathbb{Q}， \空集)$ $（问， \emptyset ）$ 不是切。此外，集合中有无限多的元素<年代pan class="katex"> $R \ mathbb{} \反斜杠\ mathbb {Q}$ $R ＼问$ 的集合<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/irrational-numbers/" class="wiki_link" title="无理数" target="_blank">无理数．

上界的属性

$B \ \ mathbb {R}$ 是一个<年代trong>上界一组<年代pan class="katex"> $R S \ \子集mathbb {}$ $年代 \subset R$ 如果每个<年代pan class="katex"> $\的年代$ $年代 \in 年代$ 满足<年代pan class="katex"> $s \ leq B$ $年代 \leq B$ ．如果<年代pan class="katex"> $B$ $B$ 的上界是<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 每个上界<年代pan class="katex"> $B”$ $B^{”}$ 满足<年代pan class="katex"> $B \ B组$ $B^{”} \geq B$ ,然后<年代pan class="katex"> $B$ $B$ 是<年代trong>最小上界为<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ ．注意，如果最小上界存在，那么它是唯一的。

工作的例子

让<年代pan class="katex"> $x = (A, B)$ $x ＝（一个， B ）$ 就像Dedekind一样。给出任意有理数<年代pan class="katex"> $\ε> 0$ $ϵ > 0$ ，则存在有理数<年代pan class="katex"> $一个\$ $一个 \in 一个$ 和<年代pan class="katex"> $b \ b$ $b \in B$ 这样<年代pan class="katex"> $B - a < \$ $b - 一个 < ϵ$ ．

根据定义,<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 和<年代pan class="katex"> $B$ $B$ 是非空的，所以存在有理数<年代pan class="katex"> $a_0 \在$ $一个_{0} \in 一个$ 和<年代pan class="katex"> $b_0 \ B$ $b_{0} \in B$ ．考虑有理数序列<年代pan class="katex"> $(a_i, b_i)， I = 1, 2, 3, ldots，$ $（一个_{我} ， b_{我} ），我＝ 1 ， 2 ， 3. ， .．. ，$ 定义为

$ai = \开始{病例}\压裂{现代张{}+ b_张{}}{2}和{如果}\ \文本压裂{现代张{}+ b_张{}}{2}\中\ \现代张{}和{否则}\ \文本结束{病例}\ \ b_i = \开始{病例}\压裂{现代张{}+ b_张{}}{2}和{如果}\ \文本压裂{现代张{}+ b_张{}}{2}\ B \ \ b_张{}{否则& \文本。} \结束{病例}$

请注意,<年代pan class="katex"> $a_i在A, b_i在B$ $一个_{我} \in 一个， b_{我} \in B$ 为<年代pan class="katex"> $I = 0,1,2， \ldots$ $我＝ 0 ， 1 ， 2 ， .．.$ 和<年代pan class="katex"> $B_n - a_n \leq \frac{1}{2^{n}} (b_0-a_0)$ $b_{n} - 一个_{n} \leq \frac{1}{2 ^{n}} （ b_{0} - 一个_{0} ）$ ．然后通过选择<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 这样<年代pan class="katex"> $2^{n} > \frac{b_0 - a_0}{\$ $2^{n} > \frac{b _{0} - 一个 _{0}}{ϵ} ，$ 理性的数字<年代pan class="katex"> $an, b_n$ $一个_{n} ， b_{n}$ 满足的条件<年代pan class="katex"> $a_n在A, b_n在B$ $一个_{n} \in 一个， b_{n} \in B$ 和<年代pan class="katex"> $B_n - a_n < \$ $b_{n} - 一个_{n} < ϵ$ ．<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

证明对于任意非空子集<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 的<年代pan class="katex"> $R \ mathbb {}$ $R$ 在有上界的情况下，存在一个最小上界<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ ．

一个非空的子集<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 的<年代pan class="katex"> $R \ mathbb {}$ $R$ 是一系列的切割吗<年代pan class="katex"> $\{(C_1,D_1)， (C_2, D_2)， (C_3, D_3)， \ldots \}$ $｛（ C_{1} ， D_{1} ），（ C_{2} ， D_{2} ），（ C_{3.} ， D_{3.} ）， .．. ｝$ ．让

$C= cu_i C_i, D = mathbb{Q} \反斜杠$

然后<年代pan class="katex"> $(C, D)$ $（ C ， D ）$ 是切还是上界<年代pan class="katex"> $为C_i \ subseteq C$ $C_{我} \subseteq C$ 意味着<年代pan class="katex"> $(C_i, D_i) \leq (C, D)$ $（ C_{我} ， D_{我} ） \leq （ C ， D ）$ 对所有<年代pan class="katex"> $我$ $我$ ．因为。的上界<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ 存在,让<年代pan class="katex"> $(C, D)$ $（ C^{”} ， D^{”} ）$ 是任何上界。那么根据上界的定义，<年代pan class="katex"> $C '$ $C^{”}$ 包含<年代pan class="katex"> $\ cu_i C_i = C，$ $\cup_{我} C_{我} ＝ C ，$ 暗示<年代pan class="katex"> $(C,D) \leq (C'， D')$ $（ C ， D ） \leq （ C^{”} ， D^{”} ）$ ．因此,<年代pan class="katex"> $(C, D)$ $（ C ， D ）$ 最小上界是多少<年代pan class="katex"> $年代$ $年代$ ．<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

假设<年代pan class="katex"> $x$ $x$ 和<年代pan class="katex"> $y$ $y$ 是实数。证明下列陈述:

如果<年代pan class="katex"> $X \leq y + \$ $x \leq y + ϵ$ 对于每一个<年代pan class="katex"> $\ε> 0,$ $ϵ > 0 ，$ 然后<年代pan class="katex"> $x \ leq y。$ $x \leq y ．$

如果<年代pan class="katex"> $反转x - y反转< \$ $∣ x - y ∣ < ϵ$ 对于每一个<年代pan class="katex"> $\ε> 0,$ $ϵ > 0 ，$ 然后<年代pan class="katex"> $x = y。$ $x ＝ y ．$

根据排序原则，我们两者都有<年代pan class="katex"> $x \ leq y$ $x \leq y$ 或<年代pan class="katex"> $x > y$ $x > y$ ．如果<年代pan class="katex"> $x > y$ $x > y$ ,然后让<年代pan class="katex"> $\ε$ $ϵ$ 是区间内的任意数<年代pan class="katex"> $0 < \ < x-y$ $0 < ϵ < x - y$ ．这给了<年代pan class="katex-display"> $< x- y \leq \，$ 一个矛盾。因此,<年代pan class="katex"> $x \ leq y$ $x \leq y$ ．

如果<年代pan class="katex"> $x \ ne y$ $x \neq ＝ y$ ,然后让<年代pan class="katex"> $\ε$ $ϵ$ 是区间内的任意数<年代pan class="katex"> $0 < \ - < lvert x - y \rvert$ $0 < ϵ < ∣ x - y ∣$ ．这给了<年代pan class="katex-display"> $< lvert x - y \lvert \leq \，$ 一个矛盾。因此,<年代pan class="katex"> $x = y。$ $x ＝ y ．$ $_ \广场$

有关……

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