谐波级数

一个谐波级数一个实数序列是由an的倒数组成的吗等差数列．等价地，它是一个实数序列，序列中的任何一项都是调和平均数它的两个邻居。

序列 $1、2、3、4、5、6 \ ldots$是等差数列，它的倒数是多少 $\压裂{1}{1},\压裂{1}{2},\压裂{1},{3}\压裂{1},{4}\ ldots$是一个和谐的级数。

一个序列 $an$是a谐波级数(HP)，如果序列中任意项是其两个相邻项的调和均值。 $_ \广场$

一个数列是调和级数当且仅当它的项是等差级数的倒数，而等差级数不包含 $0.$ $_ \广场$

的调和平均值 $\ frac1 {+ (n - 1) d}$和 $\ frac1 {+ (n + 1)维}$是

$\ frac2 {+ (n - 1) d + + (n + 1)维}= \ frac2 {2 + 2} = \ frac1 {+ nd},$

这就证明了这句话的"如果"“只有如果”部分与之相似，作为练习:将前两项写成 $\ frac1{一}$和 $\ frac1 {+ d},$证明第三项是 $\ frac1 {+ 2 d},$第四项是 $\ frac1 {+ 3 d},$以此类推。 $_ \广场$

如果 $3 ^ \文本{rd}$惠普的术语是 $3.$和 $10 ^ \文本{th}$term of the same HP is $10$， HP的最大可能长度是多少?

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HP的倒数构成一个等差数列 $+ d, + 2 d \ ldots$．然后 $A + 2d = \frac{1}{3}$和 $A + 9d = \frac{1}{10}。$

这给了 $= \压裂{2}{5}$， $d = - \压裂{1}{30}。$请注意, $+ 12 d = 0,$所以等差数列只能有 $12$包含之前的条款 $0.$所以答案是 $12.$ $_ \广场$

$（$练习:如果 $m ^ \文本{th}$项是 $米$和 $n ^ \文本{th}$项是 $n,$答案是 $m + n - 1)。$

如果第一个 $2$调和级数的项 $an$是 $\压裂{1}{19}$和 $\压裂{1}{17},$求最大部分和 $\ \和limits_ {n = 1} ^ k an。$

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惠普的条款是

$\压裂{1}{19},\ \压裂{1}{17},\ \压裂{1}{15},\ \ ldots \ \压裂{1},{3}\ \压裂{1}{1},\ \压裂{1}{1},\ \压裂{1},{3}\ \ ldots。$

所以最大部分和是

$\ \压裂{1}{19}+压裂{1}{17}+ \压裂{1}{15}+ \ cdots + \压裂{1}{1}\约2.13。\ _ \广场$

下一节将给出调和级数的部分和的一般近似。

如果第一个的和 $2$惠普的条件是 $\压裂{17}{70}$，下一个的和 $2$条款是 $\压裂{5}{4}$，以及下列各项的和 $2$条款是 $\压裂{7}{10}$，求下列数的和 $2$(再一次)。

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根据问题陈述，

${对齐}\ \开始压裂{1}{}+ \压裂{1}{(+ d)} & = \压裂{17}{70}& \ qquad(1) \ \ \压裂{1}{(+ 2 d)} + \压裂{1}{(+ 3 d)} & = \压裂{5}{4}& \ qquad(2) \ \ \压裂{1}{(a + 4 d)} + \压裂{1}{(+ 5 d)} & = \压裂{7}{10}。& \ qquad(3)结束\{对齐}$

解任意两个 $(1)、(2)、$和 $（3）$同时给出了 $一个= 10$和 $d = 3$．

因此，答案是

$\压裂{1}{(+ 6 d)} + \压裂{1}{(a + 7 d)} = \压裂{-19}{88}。\ _ \广场$

调和级数的部分和常常是令人感兴趣的。例如,谐波数是调和级数的部分和吗 $1、\ fr12， \ fr13， \ldots$．下面对调和级数的部分和的近似是由Brillianteer推导出来的Aneesh茶室．

目标是找到总和 $S_n$的条款 $\ frac1{一},\ frac1 {+ d}, \ ldots \ frac1 {+ d (n - 1)},$在哪里 $d > 0$．

考虑到功能 $f (x) = \压裂{1}{x}$,并考虑黎曼和矩形的宽度 $d$从 $x =一个$来 $x = a + (n - 1) d$．

在这里, $我^ \文本{th}$矩形的长度 $\ frac1{+(张)d}$，每个矩形的宽度为常数 $d$．所以这些矩形的面积之和近似等于曲线下的面积。

也就是曲线下的面积 $x = a - \压裂{d} {2}$来 $x = a + (n - \压裂{1}{2})d$大约是 $\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \压裂{d}{+(张)d}:$

$\开始{对齐}\ int_ {a - \压裂{1}{2}}^{+ \大(n - \压裂{1}{2}\大)d} \ frac1 {x} \ \ mathrm x &≈\ d {} sum_ {i = 1} ^ {n} \压裂{d}{+(张)d} \ \ \ int_ {a - \压裂{1}{2}}^{+ \大(n - \压裂{1}{2}\大)d} \压裂{1},{x} \ \ mathrm {d} x &≈d \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac1{+(张)d} \ \ d S_n &≈\ int_ {a - \压裂{1}{2}}^{+ \大(n - \压裂{1}{2}\大)d} \压裂{1},{x} \ \ mathrm x \ \ S_n &≈\ d{}。d \ frac1 {} \ ln (x) \右| _ {a - \压裂{1}{2}}^{+ \大(n - \压裂{1}{2}\大)d} \ \ S_n &≈\ frac1 {d} \ ln \离开(\压裂{2 + (2 n - 1) d}} {2 a - d \右),结束\{对齐}$

在哪里 $2 d≠$和 $d≠0$．

这个公式给出了一个很好的近似 $n$与之相比是非常大的吗 $d。$

上一节的示例涉及到计算 $左(\ \压裂{1}{19}+ \压裂{1}{17}+ \ cdots + \压裂{1}{3}\右)+ 1。$将公式应用于括号中的和，并重新排列项，以便 $d$是正的,即 $= 3, d = 2, n = 9。$

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给的公式

$\{对齐}开始S_n &≈1 + \压裂{1}{2}\ ln \离开(\压裂{2(3)+(2(9)(1)(2)}{2(3)-(2)}\)\ \ &≈1 + \压裂{1}{2}\ ln \离开(\压裂{40}{4}\)\ \ &≈1 + \压裂{1}{2}\ ln(10) \ \ &≈2.15。结束\{对齐}$

这确实是上面给出的精确值的一个合理的近似。 $_ \广场$

另一个很好的近似 $S_n$可通过以下方式获取:

采取 $b = \压裂{一}{d}$,请注意

$\开始{对齐}\ lim_ {n \ \ infty} \离开(S_n \压裂{1}{d} \ ln \离开(\压裂{+ dn} {+ d} \) \右)& = \压裂{1}{d} \ lim_ {n \ \ infty} \离开[\ sum_ {k = 1} ^ n \压裂{1}{b + k} - \ ln \离开(\压裂{b + n} {b + 1} \) \右]\ \ & = \压裂{1}{d} \ lim_ {n \ \ infty}左\ [\ sum_ {k = 1} ^ n \离开(\压裂{1}{b + k} - \压裂{1}{k} \右)+ \ ln左(n - \ ln \ \压裂{b + n} {b + 1} \右)+ \ sum_ {k = 1} ^ n \压裂{1}{k}——\ ln n \] \ \ & = - \压裂{1}{d} \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ sum_ {k = 1} ^ n \压裂{1}{k} - \压裂{1}{b + k} \右)+ \压裂{\ ln (b + 1)} {d} + \压裂{1}{d} \ lim_ {n \ \ infty} \离开(\ sum_ {k = 1} ^ n \压裂{1}{k} - \ ln n \右)。结束\{对齐}$

第一项可以从双函数作为

$\ psi (s + 1) = - \伽马+ \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \离开(\压裂{1}{k} - \压裂{1}{s + k} \右),$

在哪里 $\γ$是欧拉-马歇罗尼常数，其定义为

$\ lim_ {n \ \ infty} (H_n - \ n ln) = \伽马\约0.57722,$

在哪里 $H_n$是谐波数，从而简化了第三项。因此,我们得到

$\ lim_ {n \ \ infty} \离开(S_n \压裂{1}{d} \ ln \离开(\压裂{+ dn} {+ d} \) \右)= \压裂{1}{d}大\[- \伽马\ psi (2 + 1) + \ ln(2 + 1) + \伽马\]大= \压裂{\ ln \离开(1 + \压裂{一}{d} \右)- \ psi \离开(1 + \压裂{一}{d} \右)}{}。$

因此,对于大 $n$，我们得到近似 $d S_n \大约\压裂{1}{}\离开(\ ln \左(n + \压裂{一}{d} \右)- \ psi(1 + \压裂{一}{d}) \右)$．

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