欧拉 - Mascheroni常数

这欧拉 - Mascheroni常数，也称为欧拉常数或简单地“伽玛”是分析数字理论和微积分中的许多问题中出现的常数。它被表示为 $\ gamma，$这个常数的前几位数如下：

$\ gamma \左右0.57726060651209008240243 \ ldots$

伽玛与之相关自然对数功能和谐波数量，通常在这些术语中定义。没有闭合形式表达式为了 $n ^ \ text {th}$谐波数，但伽玛可用于估计 $n ^ \ text {th}$谐波数。除此之外，伽玛在数学和实际问题中的应用都是宽泛的。

对于已经研究并应用于数学问题的伽玛，对数量本身​​的性质知之甚少。如果伽马是伽马是不知道的代数要么超明。如果伽玛是甚至没有知道的非理性与其他重要的数学常数一样如 $\ PI.$和 $e。$

谐波数量是通过求解正整数的倒数来形成的一系列数字。

让 $H_N.$是 $n ^ \ text {th}$谐波数，然后

$\ begin {对齐} h_n＆= \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k} \\＆= 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ cdots + \ frac {1} {n}。\结束{对齐}$

$H_N.$也可以由复发关系

$h_n = h_ {n-1} + \ frac {1} {n}，\ h_1 = 1。\ _ \ square$

伽玛最常被定义为限制之间的差异 $n ^ \ text {th}$谐波数量和自然对数 $n，$作为 $N$接近无限。

让 $\ Gamma.$是欧拉 - Mascheroni常数，否则称为欧拉的常数。它定义如下：

$\ gamma = lim_ {n \ to \ infty} \ left（ - \ ln n + \ sum_ {k = 1} ^ n \ dfrac {1} {k} \右）\大约0.577216。$

作为 $N$变大，之间的差异 $H_N.$和 $\ ln {n}$方法 $\ Gamma。$

在积分的符号中，

$\ gamma = \ int_1 ^ \ infty \ left（\ dfrac {1} {\ lfloor x \ rfloor} - \ dfrac {1} {x} \右）\，dx。\ _\正方形$

由于伽玛与谐波数的关系，它用于许多需要估计a的问题谐波数量。没有闭合形式表达式为了 $n ^ \ text {th}$谐波数，因此有必要有能力计算的准确估计。

相对较大 $n，$

$h_n \ attum \ ln（n）+ \ gamma + \ frac {1} {2n}。$

笔记： 虽然 $\ ln（n）+ \ gamma$融合到 $H_N.$，添加 $\ frac {1} {2n}$提供更快的收敛性，从而更准确的估计。

谐波数字适用于一些着名的数学问题：

• 优惠券收集器问题

• 吉普问题。

谐波数字也适用于一些实际问题。

在一年中落在一年内的某个城镇的雨量每年都会记录100年。如果每年的雨量均匀随机，您希望在那段时间内看到多少次记录降雨？

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假设每年的降雨量都是均匀随机的，

• 这 $1 ^ \ text {st}$一年保证设置记录，因为它是唯一一年记录的，
• 这 $2 ^ \文本{nd}$年有A. $\ frac {1} {2}$有机会高于第一年，
• 这 $3 ^ \ text {rd}$年有A. $\ frac {1} {3}$有机会高于其他2年，
• 这 $4 ^ \ text {th}$年有A. $\ frac {1} {4}$有机会高于其他3年，
• 等等。

计算期望值记录降雨量的数量涉及将这些概率总结在一起，这给了 $H_ {100}，$这 $100 ^ \ text {th}$谐波数。这可以用上面的公式估计：

$\ begin {对齐} h_ {100}＆\ \ \ ln（100）+ \ gamma + \ frac {1} {2 \ cdot 100} \\＆\约5.187。\结束{对齐}$

因此，你希望看到大约 $5.$在那段时间内记录降雨。 $_\正方形$

您的公司生产电梯电缆。您试图发现您的电缆可以安全地保持最大重量。要执行此操作，请以下列方式测试电缆：

• 您逐渐增加了电缆的重量，直到它破裂，然后记录断开电缆的重量 $W_1.$。

• 你逐渐增加了第二个电缆的重量 $W_1。$如果电缆在重量达到之前休息 $w_1，$然后您将此新的最大安全重量录制为 $W_2。$否则，如果第二个电缆可以保持 $W_1.$，然后您开始测试下一个电缆。

• 每次电缆都在较小的重量下突破，您将其记录为新的最大安全重量。您以这种方式继续测试电缆，直到您测试了500个电缆。

如果单个电缆可以保持的重量是均匀的随机性，您希望在此测试过程中突破多少个电缆？

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假设电缆可以保持的最大重量均匀随机，

• 这 $1 ^ \ text {st}$电缆将始终装入其最大重量，
• 这 $2 ^ \文本{nd}$电缆将有一个 $\ frac {1} {2}$有比最大重量更小的机会 $1 ^ \ text {st}$电缆，
• 这 $3 ^ \ text {rd}$电缆将有一个 $\ frac {1} {3}$最大重量比其他2个电缆的机会更少，
• 这 $4 ^ \ text {th}$电缆将有一个 $\ frac {1} {4}$最大重量比其他3个电缆的机会更少，
• 等等。

计算断电电缆数量的预期值涉及将这些概率总量汇总在一起，这会产生 $H_ {500}，$这 $500 ^ \文本{th}$谐波数。这可以用上面的公式估计：

$\ begin {对齐} h_ {500}＆\ \ ln（500）+ \ gamma + \ frac {1} {2 \ cdot 500} \\＆\ them {aligned}$

因此，你希望大约打破 $7.$用这个过程的电缆。 $_\正方形$

伽玛不仅用于涉及谐波数的问题。像 $\ PI.$和 $E.$它在数学的许多领域找到了一个地方。以下是伽玛外观的一些地方：

伽玛被用作拉普拉斯变换自然对数函数。

LAPALL自然对数函数的变换：

$\ begin {array} {rc} {rc} \ text {time域：}＆f（t）= \ ln（t）\\ s \ text {domain：}＆f（s）= \ mathcal {l} \ {f（t）\} = - \ frac {1} {s} \ big [\ ln（s）+ \ gamma \ big]。\结束{array}$

这Digamma功能被定义为对数衍生的伽玛功能。DigAmma函数与通过伽马的谐波数量有关。

Digamm函数与谐波数字的关系：

$\ psi（n）= h_ {n-1} - \ gamma。$

有许多包含DigAmma函数和伽玛的其他身份，并且可以在上面的链接页面上看到这些身份。

三角积分是基于涉及三角函数函数的积分的功能。余弦积分由伽玛相关。

这余弦积分函数定义如下：

$\ begin {对齐} \ text {ci}（x）＆= - \ int_ {x} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos {t}} {t} \，dt} \\\\\ \ text {cin}（x）＆= \ int_ {0} ^ {x} {\ frac {1- \ cos {t}}} {t} \，dt}。\结束{对齐}$

这些函数与伽玛相关联：

$\文本{cin}（x）= \ gamma + \ ln（x） - \ text {ci}（x）。$

伽玛用于给予增长的界限除数功能。

除数功能的增长率：

对全部 $x \ ge 1，$

$\ sum \ limits_ {n = 1} ^ {x} \ sigma_0（n）= x \ ln {x} +（2 \ gamma-1）x + o \ left（\ sqrt {x}右），$

在哪里 $\ sigma_0（n）$是除数功能和 $o \ left（\ sqrt {x} \右）$是大o符号。

换句话说，如果一个是每个正整数的分除数的数量 $X，$然后将这些计数在一起，然后得到的总和， $S，$会满足以下不等式：

$x \ ln {x} +（2 \ gamma-1）x$ XLN.X+（2γ.-1）X<S.<XLN.X+（2γ.-1）X+X 。

表明上面的不平等是真的 $\ sum \ limits_ {n = 1} ^ {10} \ sigma_0（n）。$

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一个表，其中包含除法函数的值 $n \ le 10$在下面给出：

$\ begin {array} {c | c} n＆\ sigma_0（n）\\ \ hline 1＆1 \\ 2＆2 \\ 3＆2 \\ 4＆3 \\ 5＆2 \\ 6＆4 \\ 7＆2 \\ 8＆4 \\ 9＆3 \\ 10＆4 \ end {array}$

所有这些值的总和是 $\ sum \ limits_ {n = 1} ^ {10} \ sigma_0（n）= 27。$

这不仅仅是 $10 \ ln {10} +（2 \ gamma-1）（10）\约24.570，$但它少于 $24.570+ \ sqrt {10} \约27.732。$ $_\正方形$

伽玛也是不等式的一部分，其给出了除数总和的上限。

除数总和的上限功能：

假设这一点riemann假设是真的，除数函数的总和有足够大的上限 $N$：

$\ sigma_1（n）$

如果没有假设riemann假设是真的，则除数函数总和的上限略有保守（也足够大 $N$）：

$\ sigma_1（n）$

在哪里 $\ sigma_1（n）$是除数的总和。