黎曼和

一个<年代trong>黎曼和是一个区域面积的近似，是由多个简化的区域切片的面积相加得到的。它在微积分中用于形式化穷竭法，用于确定区域的面积。这个过程产生了精确计算面积值的积分。

内容

定义
关系定积分
应用和实例
作为和的极限的定积分
用定积分求级数的和

定义

让我们分解给定闭区间<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ 成<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 小区间插入<年代pan class="katex"> $n - 1$ $n - 1$ 点<年代pan class="katex"> $X_ {1}，X_ {2}，\ ldots，X_ {N-1}$ $x_{1} ， x_{2} ，．.. ， x_{n - 1}$ 这样

$一个= X_ {0}$

点的这样一个集合<年代pan class="katex"> $\ x_{0}， x_{1}， \ldots, x_{n}\}$ $｛ x_{0} ， x_{1} ，．.. ， x_{n} ｝$ 被称为分区的<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ ，这个分区决定了以下内容<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 封闭的子区间：

$(间的{0},间的{1}],[间的{1},间的{2}],\ ldots[间{n},间{n}]。$

让<年代pan class="katex"> $[X_ {K-1}，X_ {K}]$ $［ x_{k - 1} ， x_{k} ］$ 表示<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $k^{th}$ 闭子区间的划分，并令<年代pan class="katex"> $\德尔塔X_ {K}$ $δ. x_{k}$ 表示的长度<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $k^{th}$ 子区间。请注意,<年代pan class="katex"> $\德尔塔X_ {K}$ $δ. x_{k}$ 不必为每个子一样。

如果<年代pan class="katex"> $f$ $f$ 定义在闭区间上<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ 和<年代pan class="katex"> $C_K$ $c_{k}$ 在任何点<年代pan class="katex"> $[X_ {K-1}，X_ {K}]$ $［ x_{k - 1} ， x_{k} ］$ ,那么<年代trong>黎曼和被定义为

$\ sum_ {k = 1} ^ n f (c_ {k}) \三角洲间{k}。$

甲黎曼和可以被可视化为（大约）的区域的曲线下的分割<年代pan class="katex"> $f (x)$ $f （ x ）$ 在<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ 成<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 相邻的矩形跨越区间，其中<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $k^{th}$ 矩形的宽度<年代pan class="katex"> $\德尔塔X_ {K}$ $δ. x_{k}$ 和高度<年代pan class="katex"> $f (c_ {k})$ $f （ c_{k} ）$ ．每个矩形的面积是<年代pan class="katex"> $f (c_ {k}) \三角洲间{k}$ $f （ c_{k} ） δ. x_{k}$ （高度倍宽度）。所有矩形的面积之和接近下的实际面积<年代pan class="katex"> $f$ $f$ 在<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ 并且等于黎曼总和。请注意,<年代pan class="katex"> $C_ {K}$ $c_{k}$ 可能是<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $k^{th}$ 子区间，这意味着定义在选择每个的高度时留有一定的自由度<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 矩形。

关系定积分

关于定积分的更多信息，请看<一个href＝"//www.parkandroid.com/wiki/definite-integrals/" class="wiki_link" title="定积分" target="_blank">定积分．

函数的黎曼和与定积分的关系如下:

$\的DisplayStyle \ lim_ {N \ RIGHTARROW \ infty} \的DisplayStyle \ sum_ {K = 1} ^ {N} F（C_K）\德尔塔X_K = \的DisplayStyle \ int_ {A} ^ {B} F（X）\，DX．$

应用和实例

评价黎曼和如下图所示，这是该区域的下左手近似

$F (x) =根号{16-x^2}，四乘0 \leq x \leq 4。$

由四个长方形近似的四分之一圆

由于我们使用的4个矩形左边端点上的间隔<年代pan class="katex"> $4] [0,$ $［ 0 ， 4 ］，$ 我们可以先求出<年代pan class="katex"> $f (x)$ $f （ x ）$ 在范围内的每个左端点:

$\{对齐}开始f(0)和f (1) = 4 \ \ & = \ sqrt {15} \ \ f (2) & = \ sqrt {12} \ \ f (3) & = \ sqrt{7}。结束\{对齐}$

我们也知道间隔的长度是4我们把它分成4个等宽的矩形。所以每个矩形的宽度是1<年代pan class="katex"> $x = 1$ $δ. x ＝ 1$ ．

我们现在剩下的长方形的面积的总和找到上面的图片在总蓝色区域的面积：

$\开始{对齐}\ sum_ {i = 0} ^ 3 f (x_i)大\δx & = \[(从)+ f (x_1) + (x_2) + f (x_3)大\]\δx \ \ & = \[大(f (0) + f (1) + (2) + f(3) \]大\δx \ \ & = \大(4 + \ sqrt {15} + \ sqrt {12} + \ sqrt{7} \大)\ cdot 1 \ \ & \大约13.982,结束\{对齐}$

从图中我们可以看出，当函数在区间上减小时，曲线下的面积被稍微高估了。<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

让<年代pan class="katex"> $f (x)$ $f （ x ）$ 是一个连续函数，其下限为<年代pan class="katex"> $x$ $x$ -轴。找到的高估和有界区域的面积在闭区间的低估<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ 使用黎曼和。

为简单起见，我们将区间分割<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ 成<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 长度相等的子区间，<年代pan class="katex"> $Delta x = frac {b-a}{n}$ $δ. x ＝ \frac{b - 一个}{n}$ ．通过极值定理<年代pan class="katex"> $f (x)$ $f （ x ）$ 在每个子区间上都有一个最小值和一个最大值，对于<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $k^{th}$ 我们用子区间来表示<年代pan class="katex"> $F（M_ {K}）$ $f （米_{k} ）$ 和<年代pan class="katex"> $f (M_ {k}),$ $f （米_{k} ），$ 分别。点<年代pan class="katex"> $m_ {k}$ $米_{k}$ 我们构建具有高度的矩形<年代pan class="katex"> $F（M_ {K}）$ $f （米_{k} ）$ 哪个在曲线下面，在一点上<年代pan class="katex"> $M_ {k}$ $米_{k}$ 我们构建具有高度的矩形<年代pan class="katex"> $F（M_ {K}）$ $f （米_{k} ）$ 部分位于曲线上方。

为了计算每个矩形的面积，我们求出相应的长和高的乘积:

$\begin{aligned} (\text{Area of inner rectangle}) = \Delta x f(m_{k}) &\leq \big(\text{Area under } f \text{ on }k^\text{th} \text{ subinterval}\big)\\ & \leq \Delta x f(M_{k}) \\ &= (\mbox{Area of outer rectangle}). \end{aligned}$

（我们省略了这一说法，并就目前依靠检测证明。）

让我们用<年代pan class="katex"> $S_ {N}$ $年代_{n}$ 所有内矩形的面积之和，由<年代pan class="katex"> $S_ {N}$ $年代_{n}$ 所有外矩形的面积之和。然后得到公式

$\begin{aligned} (\mbox{Approximation from below}) &= s_{n}= \sum_{k=1}^n f(m_{k}) \Delta x=(\mbox{Total area of inner rectangles}) \\ (\mbox{Approximation from above})&=S_{n}=\sum_{k=1}^n f(M_{k}) \Delta x=(\mbox{Total area of outer rectangles} ). \end{aligned}$

有界函数的曲线下面积<年代pan class="katex"> $f (x)$ $f （ x ）$ 大于内矩形的总面积，但小于外矩形的总面积。也就是说，应用不等式的性质如果<年代pan class="katex"> $< b$ $一个 < b$ 和<年代pan class="katex"> $ç$ $c < d$ ,然后<年代pan class="katex"> $A + C$ $一个 + c < b + d$ 上面描述的不等式<年代pan class="katex"> $k ^ \文本{th}$ $k^{th}$ 子区间,我们获得

$S_ {N}＝\总和_{k=1}^n f(m_{k} )\Delta x\leq (\mbox{Area of region}) \leq \sum_{k=1}^n f(M_{k} ) \Delta x=S_{n},$

使<年代pan class="katex"> $S_ {N}$ $年代_{n}$ 低估和<年代pan class="katex"> $S_ {N}$ $年代_{n}$ 高估。<年代pan class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

注意:

如果<年代pan class="katex"> $m_ {k} =间{k - 1}$ $米_{k} ＝ x_{k - 1}$ ,然后<年代pan class="katex"> $s_ {n} = \ sum_ {k = 1} ^ nf(间{k - 1}) \δx$ $年代_{n} ＝ \sum_{k ＝ 1}^{n} f （ x_{k - 1} ） δ. x$ 我们称此为左侧黎曼和近似。

如果<年代pan class="katex"> $M_ {K} = X_ {K}$ $米_{k} ＝ x_{k}$ ,然后<年代pan class="katex"> $S_ {N} = \ sum_ {K = 1} ^ N F（X_ {K}）\增量X$ $年代_{n} ＝ \sum_{k ＝ 1}^{n} f （ x_{k} ） δ. x$ 我们称此为右手黎曼和近似。

评估的黎曼和<年代pan class="katex"> $f (x) = x ^ 2$ $f （ x ）＝ x^{2}$ 的时间间隔<年代pan class="katex"> $[0, 4]$ $［ 0 ， 4 ］$ ，它使用左端点的每一个

一）10级相等的子区间

B) 100个相等的子区间。

我们将区间分开<年代pan class="katex"> $[a, b] = [0, 4]$ $［一个， b ］＝［ 0 ， 4 ］$ 成<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 长度相等的子区间：

$\三角洲间{k} =δx = \ \压裂{b} {n} = \压裂{4 - 0}{n} = \压裂{4}{n}。$

这个分区的<年代pan class="katex"> $[0, 4]$ $［ 0 ， 4 ］$ 包括以下几点:

$0 = =间的{0}<间的{0}+ \δx <间的{0}+ 2 \δx < \ cdots <间的{0}+ k \δx < \ cdots <间的{0}+ n \δx = b = 4。$

代替<年代pan class="katex"> $X_ {0}$ $x_{0}$ 和<年代pan class="katex"> $\δx$ $δ. x$ ,我们获得

$0 <\压裂{4} {N} <2 \倍\压裂{4} {N} <\ cdots$

然后

$间{k} = k \ \压裂{4}{n}。$

接下来，我们找到左黎曼和近似:

$\{对齐}开始s_ {n} = \ sum_ {k = 1} ^ nf(间{k - 1})δx & = \ \ sum_ {k = 1} ^ n \大(间{k - 1} ^ 2 \大)\离开(\压裂{4}{n} \) \ \ & = \ sum_ {k = 1} ^ n \离开[(k - 1) \左(\压裂{4}{n} \) \右)^ 2 \离开(\压裂{4}{n} \) \ \ & = \ sum_ {k = 1} ^ n \离开(\压裂{64}{n ^ 3} \) \离开(k ^ 2-2k + 1 \) \ \ & = \压裂{64}{n ^ 3} \离开[\ sum_ {k = 1} ^ n k ^ 2 - 2 \ sum_ {k = 1} ^ n k + \ sum_ {k = 1} ^ n 1 \] \ \&=\left(\frac{64}{n^3}\right)\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\times\frac{n(n+1)}{2} + n\right] \\ &=\left(\frac{32}{3n^3}\right)\left(2n^3 +3n^2+n-6n^2-6n+6n\right) \\ &=\left(\frac{32}{3n^2}\right)\left(2n^2-3n+1\right), \end{aligned}$

在这里我们使用了求和公式扩大的款项。

因此，答案如下:

一个)<年代pan class="katex"> $n = 10$ $n ＝ 10$ ，<年代pan class="katex"> $s_ {n} = 18.24。$ $年代_{n} ＝ 18 ． 24 ．$

b)<年代pan class="katex"> $n = 100$ $n ＝ 100$ ，<年代pan class="katex"> $s_ {n} = 21.0144。$ $年代_{n} ＝ 21 ． 0144 ．$ $_ \广场$

请注意那<年代pan class="katex"> $\ INT_0 ^ 4×2 ^ DX = 21 \划线{3}$ $\int_{0}^{4} x^{2} d x ＝ 21 ． \overline{3.}$ 是实际的曲线下面积，并通过增加更多的矩形，我们会取得更好的近似。

评估的黎曼和<年代pan class="katex"> $F（X）= 1 - X ^ 2$ $f （ x ）＝ 1 - x^{2}$ 的时间间隔<年代pan class="katex"> $[0,1]$ $［ 0 ， 1 ］$ ，它对每个无穷个子区间使用正确的端点。

我们先除以<年代pan class="katex"> $x$ $x$ -轴分成许多宽度的间隔<年代pan class="katex"> $x = frac 1n$ $δ. x ＝ \frac{1}{n}$ ，所以间隔会

$\左[0，\ dfrac 1N \右]，\左[\ dfrac 1N，\ dfrac 2n个\右]，\点，\左[\ dfrac {N-1} {N}，1 \右。$

然后，我们让每个宽度的子区间<年代pan class="katex"> $\压裂1N$ $\frac{1}{n}$ 和高度:

$\左侧的[f \左（\ dfrac 1N \右）\右]，\左侧的[f \左（\ dfrac 2N \右）\右]，\点，\左侧的[f \左（\ dfrac KN \右）\右]，\点，\左侧的[f \左（\ dfracン\右）\右。$

因此，所有子区间的面积将由以下求和(我们称之为雷曼和)给出:

$\开始{对齐}\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n f \左(右\ dfrac kn \) \左(\ n dfrac 1 \右)& = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \离开(1 - \ \ dfrac kn $右)^ 2 \右)左(\ n dfrac 1 \右)\ \ \ & = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \离开(\ dfrac 1 n - \ dfrac {k ^ 2} {n ^ 3} $ \ \ & = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ dfrac 1 n - \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ dfrac {k ^ 2} {n ^ 3} \ \ & = n \ \ dfrac{1} {n} - \ dfrac {1} {n ^ 3} \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n k ^ 2 \ \ & = 1 - \离开(\ dfrac 1 {n ^ 3} \) \ dfrac {n (n + 1) (2 n + 1)} {6} \ \ & = 1 - \ dfrac {2 n ^ 3 + 3 ^ 2 + n} {6 n ^ 3}。结束\{对齐}$

因此，面积将是极限<年代pan class="katex"> $n \ \ infty$ $n \to \infty$ 上面的表达式，它等于

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} 1-\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}=1-\dfrac 26=\dfrac 23。\ _ \广场$

作为和的极限的定积分

我们可以把定积分表示为若干项之和的极限。让<年代pan class="katex"> $f (x)$ $f （ x ）$ 是区间内的连续函数<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ ．划分<年代pan class="katex"> $a - b$ $一个 - b$ 成<年代pan class="katex"> $n$ $n$ 相等的部分，使得每个部分的宽度为<年代pan class="katex"> $h$ $h$ ．然后

$nh = b。$

函数的定积分<年代pan class="katex"> $f (x)$ $f （ x ）$ 在间隔<年代pan class="katex"> $[A，B]$ $［一个， b ］$ 可以被定义为

$\开始{对齐}\ int _{一}^ {b} f (x) \, dx & = \ lim _ {h \ n \ rightarrow \ infty rightarrow 0} {h \[大(a + h) + f (h + 2) + \ cdots + f (a + nh) \大 ] } \\ &=\ lim _ {n \ rightarrow \ infty h \ rightarrow 0} {h \总和_ {r = 1} ^ {n} {f (a + rh)}}。结束\{对齐}$

利用这个公式，我们可以求一些简单的定积分。利用上述公式求定积分的过程称为<年代trong>定积分的总和的极限．

用定积分求级数的和

考虑前一节中所定义的“总和的极限”式的，即

$\ int _{一}^ {b} {dx = f (x) \ \ lim _ {h \ n \ rightarrow \ infty rightarrow 0} {h大\ [(a + h) + f (h + 2) + \ cdots + f (a + nh) \]大}}。$

现在，我们得到了一节中的概念，我们将寻找工作规则。

工作规则：

首先，快递的形式给定系列<年代pan class="katex"> $\frac {1}{n} \sum {f\left(\frac {r}{n} \right)}$ $\frac{1}{n} \sum f （ \frac{r}{n} ）$ ．

代替<年代pan class="katex"> $\总和$ $\sum$ 对于积分符号<年代pan class="katex"> $\ int,$ $\int ，$ $\压裂{R} {N}$ 为<年代pan class="katex"> $x,$ $x ，$ 和<年代pan class="katex"> $\压裂{1} {N}$ $\frac{1}{n}$ 为<年代pan class="katex"> $dx。$ $d x ．$

积分的下限和上限是<年代pan class="katex"> $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty}{\tfrac {r}{n}}$ $n \to \infty lim \frac{r}{n}$ 和<年代pan class="katex"> $r,$ $r ，$ 分别。

注意这个表达式<年代pan class="katex"> $\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty,h\rightarrow 0}{h\sum _{r=1}^ n}{f(a+rh)}}$ $n \to \infty ， h \to 0 lim h r ＝ 1 \sum n f （一个 + r h ）$ 也是形式的吗<年代pan class="katex"> $\压裂{1} {N} \总和{F \左（\压裂{R} {N} \右）}$ $\frac{1}{n} \sum f （ \frac{r}{n} ）$ 因为<年代pan class="katex"> $h = \压裂{b} {n}$ $h ＝ \frac{b - 一个}{n}$ ．

发现该系列的总和<年代pan class="katex"> $\的DisplayStyle \ LIM _ {N \ RIGHTARROW \ infty} \左（\压裂{1} {N} + \压裂{1} {N + 1} + \压裂{1} {N + 2} + \ cdots + \压裂{1} {6N} \右）。$ $n \to \infty lim （ \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{6 n} ）．$

首先，我们将用形式来表达它<年代pan class="katex"> $\压裂{1} {N} \总和{F \左（\压裂{R} {N} \右）}：$ $\frac{1}{n} \sum f （ \frac{r}{n} ）：$

$\开始{对齐} S＆= \ LIM _ {N \ RIGHTARROW \ infty} \左（\压裂{1} {N} + \压裂{1} {N + 1} + \压裂{1} {N + 2} + \ cdots + \压裂{1} {6N} \右）\\＆= \ LIM _ {N \ RIGHTARROW \ infty} \压裂{1} {N} \左（1+ \压裂{1} {1+\压裂{1} {N}} + \压裂{1} {1+ \压裂{2} {N}} + \ cdots + \压裂{1} {1+ \压裂{5N} {N}} \右）\\＆= \ LIM _ {N \ RIGHTARROW \ infty} \压裂{1} {N} \ {sum_ R = 0} ^ {5N} \压裂{1} {1+ \压裂{R} {N}}．结束\{对齐}$

自

$(文本\{下限})= = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty}{\压裂{r} {n}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty}{\压裂{0}{n}} = 0, \ qquad文本(\{上限})= b = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty}{\压裂{r} {n}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty}{\压裂{5 n} {n}} = 5,$

我们有

$\的DisplayStyle S = \ LIM _ {N \ RIGHTARROW \ infty} \压裂{1} {N} \ {sum_ R = 1} ^ {5N} \压裂{1} {1+ \压裂{R} {N}}= \ INT _ {0} ^ {5} {\压裂{DX} {1 + X}} = \大[\ LN | 1 + X |\大] ^ {5} _ {0} = \ LN6。\ _ \广场$

找到

$\ lim_ {n \∞}\压裂{\ sqrt {1} + \ sqrt {2} + \ sqrt {3} + \ sqrt {4} + \ cdots + \ sqrt {n}} {n \ sqrt {n}}。$

这个可以写成

$\ lim_ {n \ \ infty} \压裂{1}{n} \ sum_ {k = 1} ^ n \√6{\压裂{k} {n}} = \ int_0 ^ 1 \√{x} \, dx = \压裂{2}{3}。\ _ \广场$

$e$ 3. $\ PI$ 4

$\大\ lim_ {N \ RIGHTARROW \ infty} {2n个\选择N} ^ {\压裂{1} {N}} = \？$

评估

$\ lim_ {N \ \ infty} \离开(\压裂{1}{2 N} + \压裂{1}{2 N + 1} + \压裂{1}{2 N + 2} + \压裂{1}{2 N + 3} + + \ \点压裂{1}{3 N} \右)。$

答案在于形式<年代pan class="katex"> $\ ln \压裂{一}{b},$ $LN. \frac{一个}{b} ，$ 在哪里<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 和<年代pan class="katex"> $b$ $b$ 为互质的正整数。

找到<年代pan class="katex"> $a + b$ $一个 + b$ ．

测试

有关……

内容