Digamma功能GydF4y2Ba

这GydF4y2Ba双函数GydF4y2Ba通常用来表示GydF4y2Ba $\ psi.GydF4y2Ba$被定义为对数衍生的GydF4y2Ba伽玛功能GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

$\ psi (z) = \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm z d {}} \ ln \γ(z) = \ dfrac{\伽马^ \ ' (z)}{\γ(z)}GydF4y2Ba$

$\ psi（s + 1）= \ psi（s）+ \ dfrac {1} {s}GydF4y2Ba$

考虑GydF4y2Ba

$\ gamma（s + 1）= s \ gamma。GydF4y2Ba$

采取自然日志，我们有GydF4y2Ba

$\ ln \ big（\ gamma（s + 1）\ big）= \ ln \ big（\ gamma（s）\ big）+ \ ln。GydF4y2Ba$

differentGydF4y2Ba $S，GydF4y2Ba$我们得到了GydF4y2Ba

$\ psi（s + 1）= \ psi（s）+ \ dfrac {1} {s}。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

$\ psi（s + 1）= - \ gamma + \ sum_ {k = 1} ^ \ idty \ left（\ dfrac {1} {k} - \ dfrac {1} {k + s} \右）GydF4y2Ba$

考虑函数的Weierstrass表示:GydF4y2Ba

$\ gamma（s）= \ dfrac {e ^ { - \ gamma s}} {s} \ prod_ {k = 1} ^ left（1+ \ dfrac {s} {k} \右）^ { - 1}。GydF4y2Ba$

采取自然的日志，GydF4y2Ba

$\ ln \ big（\ gamma（s）\ big）= - \ gamma s-\ ln（s）+ \ sum_ {k = 1} ^ \ idty \ left（\ dfrac {s} {k} - \ ln \大（1+ \ dfrac {s} {k} \ big）\右）。GydF4y2Ba$

differentGydF4y2Ba $S，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba

$\ PSI（s）= - \ gamma- \ dfrac {1} {s} + \ sum_ {k = 1} ^ \ idty \ left（\ dfrac {1} {k} - \ dfrac {1} {k + s} \右）= - \ gamma + \ sum_ {k = 1} ^ \ idty \ left（\ dfrac {1} {k} - \ dfrac {1} {k + s-1} \右）。GydF4y2Ba$

所以，更换GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $S + 1GydF4y2Ba$给GydF4y2Ba

$\ psi (s + 1) = - \伽马+ \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \离开(\ dfrac {1} {k} - \ dfrac {1} {k + s} \右)。\ _ \广场GydF4y2Ba$

$\ psi（s + 1）= - \ gamma + \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1-x ^ s} {1-x} dxGydF4y2Ba$

考虑GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ psi（s + 1）＆= - \ gamma + \ sum_ {n = 1} ^ \ idty \ left（\ dfrac {1} {n} - \ dfrac {1} {n + s} \右）\\＆= - \ gamma + \ sum_ {n = 1} ^ \ idty \ int_0 ^ 1 \ big（x ^ {n-1} -x ^ {n + s-1} \ big）dx \\＆= - \ gamma + \ int_0 ^ 1 \ sum_ {n = 1} ^ \ idty \ big（x ^ {n-1} -x ^ {n + s-1} \ big）dx。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

通过应用GydF4y2Ba几何进展总和GydF4y2Ba， 我们有GydF4y2Ba

$\ psi（s + 1）= - \ gamma + \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1-x ^ s} {1-x} dx。\ _ \ squareGydF4y2Ba$

由此，我们可以轻松找到DigAmma功能的特定值;例如，放置GydF4y2Ba $s = 0,GydF4y2Ba$我们得到了GydF4y2Ba $\ psi(1) = - \γ。GydF4y2Ba$

此外，通过整体的代表GydF4y2Ba谐波数量GydF4y2Ba那GydF4y2Ba

$\ psi（s + 1）= - \ gamma + h_s。GydF4y2Ba$

由欧拉反射公式可得:GydF4y2Ba

$\ psi（1-z） - \ psi（z）= \ pi \ cot \ pi z。GydF4y2Ba$

欧拉的反思公式如下：GydF4y2Ba

$\ gamma（z）\ gamma（1-z）= \ frac {\ pi} {\ sin \ pi z}。GydF4y2Ba$

采用自然对数并区分上述表达，我们观察到这一点GydF4y2Ba

$\ ln \ big（\ gamma（z）\ big）+ \ ln \ big（\ gamma（1-z）\ big）= \ log \ pi - \ log \ sin \ pi z。GydF4y2Ba$

在差异化上，我们得到了GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ dfrac {\ gamma ^ {\ prime}（z）} {\ gamma（z）} - \ dfrac {\ gamma ^ {\ prime}（1-z）} {\ gamma（1-z）}＆= - \ dfrac {\ pi \ cos \ pi z} {\ sin \ pi z} \\\\ \ psi（z） - \ psi（1-z）＆= - \ dfrac {\ pi \ cos\ pi z} {\ sin \ pi z} \\\\ \ psi（1-z） - \ psi（z）＆= \ pi \ cot \ pi z，\ \ end {对齐}GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $\ psi.GydF4y2Ba$表示这一点GydF4y2Ba双函数GydF4y2Ba，这是对数的衍生物GydF4y2Ba伽玛功能GydF4y2Ba。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

$2 \ psi（2s）= 2 \ ln（2）+ psi（s）+ psi \ left（s + \ frac12 \右）GydF4y2Ba$

考虑GydF4y2Ba

$\ sqrt {\ pi} \ \ gamma（2s）= 2 ^ {2s-1} \ gamma（s）\ gamma \ left（s + \ frac12 \右）。GydF4y2Ba$

拍日志，GydF4y2Ba

$大(\ \ ln \ sqrt{\π}\大)+ \ ln \大型γ(2 s)(\ \大)= (2 s - 1) \ ln (2) + \ ln \大型γ(s)(\ \大)+ \ ln \离开(\伽马\大(s +{\小\ frac12} \大)\右)。GydF4y2Ba$

differentGydF4y2Ba $S，GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba

$2 \ψ(2 s) = 2 \ ln(2) + \ψ(s) + \ \ (s + \ frac12 \右)。\ _ \广场GydF4y2Ba$

证明GydF4y2Ba

$\ sum_ {n = 0} ^ \ idty \ dfrac {1} {n ^ 2 + 1} = \ dfrac {\ pi + 1} {2} + \ dfrac {\ pi} {e ^ {2 \ pi} -1}。GydF4y2Ba$

---

我们有GydF4y2Ba

$s = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2 + 1} = \ frac {1} {2i} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left（\frac{1}{n-i} - \frac{1}{n+i} \right).$

重写这个求和得到GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 2，＆= \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left（\ frac {1} {n-1-i} - \ frac {1} {n-1 + i} \）\\＆= \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left（\ frac {1} {n} - \ frac {1} {n-1 + i} \右） - \ sum_ {n =left（\ frac {1} {n} - \ frac {1} {n-1-i} \右）。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

通过DigAmma函数的系列表示，这只是GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 2＆= psi（i） - \ psi（-i）\\＆= psi（i） - \ psi（1-i） - \ dfrac {1} {i} \\＆=- \ pi \ cot（i \ pi）+ i \\＆= \ pi i \ coth（\ pi）+ i。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

进一步化简，得到GydF4y2Ba

$s = \ dfrac {1+ \ pi \ coth（\ pi）} {2} \意味着s = \ dfrac {\ pi + 1} {2} + \ dfrac {\ pi} {e ^ {2 \ pi} -1}。\ _ \ SquareGydF4y2Ba$

这GydF4y2Ba $n ^ \文本{th}GydF4y2Ba$PolyGama功能由GydF4y2Ba

$\ psi_n (s) = \ dfrac {d ^ n} {ds ^ n} \ psi (s) = \ psi ^ {(n)}(年代)。GydF4y2Ba$

我们可以从中获得许多物业;例如，通过区分系列表示GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$时间，我们有GydF4y2Ba

$\ psi_n（s）=（ - 1）^ {n + 1} n！\ sum_ {k = 1} ^ \ idty \ dfrac {1} {（k + s-1）^ {n + 1}} =（ - 1）^ {n + 1} n！\ sum_ {k = 0} ^ \ idty \ dfrac {1} {（k + s）^ {n + 1}} =（ - 1）^ {n + 1} n！\ zeta（n + 1，s）那GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $\泽塔(n + 1, s)GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba赫维茨ζ函数GydF4y2Ba。putGydF4y2Ba $s = 1,GydF4y2Ba$我们可以得到GydF4y2Ba $\ psi_n (1) = (1) ^ {n + 1} n ! \泽塔(n + 1)。GydF4y2Ba$

由此，我们还可以获得DigAmma功能的泰勒系列：GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ psi（s）＆= \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ dfrac {\ psi ^ {（n）}（1）（s-1）^ n} {n！} \\＆= - \ gamma + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ dfrac {\ psi_n（1）（s-1）^ n} {n！} \\＆= - \ gamma- \ sum_ {n = 1}^ \ idty（-1）^ n \ zeta（n + 1）（s-1）^ n \\ \ psi（s + 1）＆= - \ gamma- \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ zeta（n + 1）（ - s）^ n。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

我们可以对积分表示求导GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$次获得GydF4y2Ba

$\ psi_n（s + 1）= \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ ln ^ n（x）x ^ s} {x-1} dx。GydF4y2Ba$

我们也可以对功能方程来实现这一点GydF4y2Ba

$\ psi_n（s + 1）= \ psi_n（s）+（ - 1）^ nn！z ^ { - n-1}。GydF4y2Ba$

DigAmma函数可以在Mathematica中实现，如下所示：GydF4y2Ba

1GydF4y2Ba

PolyGamma [Z]GydF4y2Ba

或GydF4y2Ba

1GydF4y2Ba

PolyGamma [0，Z]GydF4y2Ba