高斯:数学王子
当你进一步学习大学数学和物理时,无论你转向哪里,你都会反复碰到这个名字高斯.约翰·卡尔·弗里德里希·高斯是历史上最有影响力的数学家之一。1777年4月30日,高斯出生在哈尔茨山脉以北的德国小城布朗瑞格。作为农民父母(都是文盲)的儿子,他提出了大量的重要思想,并有更多的思想以他的名字命名。许多人称他为数学之父,或“数学之父”。王子的数学.”
作为他博士论文的一部分(21岁时),高斯是第一个证明代数基本定理的人之一。他在数论、代数、统计学、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、静电学、天文学、光学等许多数学领域发表了开创性的著作。数论是高斯的最爱,他称数论为“数学女王”。
早期
高斯之所以能在他的一生中对数学做出如此大的贡献,原因之一就是他起步很早。有许多关于他童年时早熟的故事。年轻的高斯最著名的轶事是他在10岁那年发现了计算等差数列和的捷径。
这个故事讲的是他的老师,他想休息一下,让学生们把从1到100的整数相加,因为他们工作忙。几秒钟后,老师看到高斯无所事事地坐着。当被问到为什么没有疯狂地做加法时,高斯很快回答道,加法是5050。他的同学和老师都惊呆了,高斯最终成为唯一一个计算出正确答案的学生。
这个故事可能是杜撰的,在不同的来源以不同的方式讲述。没有人知道高斯小时候用什么方法计算出等差数列的和。虽然年轻的高斯可能有几种解决方法,但其中一种方法具有简洁、直观和优雅的视觉表示。
考虑如图1所示的两组弹珠。左边的一堆有 一排排的蓝色弹珠 行包含 弹珠。右边的一堆有 一排排的红色弹珠,在那里 行包含 弹珠。
蓝色弹珠的总数是
而红色弹珠的总数是
显然这两种玻璃球的数量是一样的。现在,如果我们将这些堆添加到一起,如图2所示,我们将得到一个with 行,其中每一行包含 弹珠:
加在一起的玻璃球总数是 .因为红堆和蓝堆的弹珠数量相等,所以每一堆都有贡献 弹珠。因此,我们获得
为了把从1到100的所有数字加起来,高斯简单地计算了一下 ,这比把所有的数字从1加到100要简单得多。请注意, 必须总是一个正整数。即使上面的公式能被2整除,结果仍然是一个正整数。这是因为分子总是很方便,即使是由于乘法的性质奇偶校验.例如, 可以是偶数也可以是奇数。如果 是偶数,那么 是奇怪的,因此
类似地,如果 是奇数,那么 是偶数的,因此
因此,分子总是偶数和 总是一个正整数。
表格编号 称为三角数,原因如上图所示。前几个三角数是
无论是在课堂问题中,还是在描述更广阔的世界时,对等差数列求和的应用都是很常见的。很少见到10岁的孩子自己学会算术级数的技巧。更不常见的是,一个早熟的10岁孩子长大后几乎像高斯一样多产。