斐波那契序列

让 $φ= \ \压裂{1 + \ sqrt {5}} 2 成为黄金比例。让 ϕ<米o stretchy="true"> ‾ ＝ − 1 ϕ ＝ 1<米o> − 5 2 ． {\眉题\φ}= \压裂{1}{\φ}= \压裂{1 - \ sqrt{5}} 2。 然后 F<米我>n ＝ ϕ<米我>n − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n 5 ． {F} _ {n} = \压裂{\φ^ n -{\眉题\φ}^ n} {\ sqrt{5}}。 公式(通常称为。比奈的公式的一般结果<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-recurrence-relations/" class="wiki_link" title="线性递归关系" target="_blank">线性递归关系，但可以直接用归纳法证明。让 G<米我>n ＝ ϕ<米我>n − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n 5 G_n = \压裂{\φ^ n -{\眉题\φ}^ n} {\ sqrt {5}} ．目标就是要证明这一点 F<米我>n ＝ G<米我>n fn = G_n 通过感应 n n ．基本情况是 G<米n>1 ＝ G<米n>2 ＝ 1 G_1 = g_2 = 1 ，这是显而易见的。现在假设 G<米我>k ＝ F<米我>k G_k = F_k 对所有 k<米o> < n k < n ,在那里 n n 至少是 3. 3. ．然后 F<米我>n ＝ F<米row> n<米o> − 1 + F<米row> n<米o> − 2 ＝ G<米row> n<米o> − 1 + G<米row> n<米o> − 2 (归纳假设) ＝ 1<米sqrt> 5 （ ϕ<米row> n<米o> − 1 − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n<米o> − 1 ） + 1<米sqrt> 5 （ ϕ<米row> n<米o> − 2 − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n<米o> − 2 ） ＝ 1<米sqrt> 5 （ ϕ<米row> n<米o> − 1 + ϕ<米row> n<米o> − 2 − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n<米o> − 1 − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n<米o> − 2 ） ＝ 1<米sqrt> 5 （ ϕ<米我>n − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n ） ＝ G<米我>n ， \{对齐}开始fn & = f f {n} {n} + \ \ & = G_ {n} + G_{2}和{\文本(归纳假设 )} \\ &= \ frac1大概{5}}{\ \大(\φ^ {n} -{\眉题{\φ}}^ {n} \大)+ \ frac1大概{5}}{\ \大(\φ^{2}-{\眉题{\φ}}^{2}\大)\ \ & = \ frac1大概{5}}{\ \大(\φ^ {n} + \φ^{2}-{\眉题\φ}^ {n} -{\眉题\φ}^{2}\大)\ \ & = \ frac1大概{5}}{\ \大(\φ^ n -{\眉题\φ}^ n \大)= G_n \{对齐}结束 最后一句台词从何而来 ϕ \φ 而且 ϕ<米o stretchy="true"> ‾ \眉题\φ 是方程的两个根吗 x<米n>2 ＝ x<米o> + 1 x ^ 2 = x + 1 ． □ _ \广场 请注意,对于 n<米o> ≥ 1 n \通用电气1 ,这个术语 ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n 5 \压裂{{\眉题\φ}^ n} {\ sqrt {5}} 是不是小，一定在之间 − 0.3 -0.3 而且 0.3 0.3 ．所以 F<米我>n fn 最接近的整数是 ϕ<米我>n 5 \压裂{\φ^ n} {\ sqrt {5}} ． 我们有 ϕ<米n>10 5 ＝ 55.0036<米o> .．. ， ϕ<米n>11 5 ＝ 88.9977<米o> .．. ， φ\压裂{\ ^ {10}}{\ sqrt {5}} = 55.0036 \ ldots \四\压裂{\φ^ {11}}{\ sqrt {5}} = 88.9977 \ ldots, 所以 F<米n>10 ＝ 55 f {10} = 55 而且 F<米n>11 ＝ 89 f {11} = 89 ． 因此，连续斐波那契数的比率应该大致为 ϕ<米o> ＝ lim<米o> ⁡ n<米o> → ∞ F<米row> n<米o> + 1 F<米我>n ＝ 1<米o> + 5 2 ． φ= \ displaystyle \ \ lim _ {n \ rightarrow \ infty}{\压裂{{F} _ {n + 1}} {{F} _ {n } } } = \ 压裂{1 + \ sqrt5}{2}。 这可以用比奈公式很容易地证明。 我们有 F<米row> n<米o> + 1 F<米我>n ＝ ϕ<米row> n<米o> + 1 − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n<米o> + 1 ϕ<米我>n − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n ＝ ϕ<米o> − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n<米o> + 1 ϕ<米我>n 1<米o> − ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n ϕ<米我>n ， {对齐}\ \开始压裂f {n + 1} {} {fn} & = \压裂{\φ^ {n + 1} -{\眉题{\φ}}^ {n + 1}}{\φ^ n -{\眉题{\φ}}^ n} \ \ & = \压裂{\φ- \压裂{{\眉题{\φ}}^ {n + 1}}{\φ^ n}}{1 - \压裂{{\眉题{\φ}}^ n}{\φ^ n}},{对齐}\结束 和条款 ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n<米o> + 1 ϕ<米我>n \压裂{{\眉题{\φ}}^ {n + 1}}{\φ^ n} 而且 ϕ<米o stretchy="true"> ‾ n ϕ<米我>n \压裂{{\眉题{\φ}}^ n}{\φ^ n} 方法 0 0 作为 n<米o> → ∞ n \ \ infty ，因为分子趋于 0 0 分母趋于 ∞ \ infty ．因此，极限是 ϕ<米n>1 ＝ ϕ \压裂{\φ}1 = \φ ． □ _ \广场 连分数 的收敛的分子和分母都是斐波那契数列<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continued-fractions/" class="wiki_link" title="简单连分数" target="_blank">简单连分数 ［ 1<米o separator="true"> ， 1<米o separator="true"> ， 1<米o separator="true"> ， .．. ］ ＝ 1<米o> + 1<米row> 1<米o> + 1<米row> 1<米o> + 1<米o> ⋱ ． (1, 1, 1, \ ldots) = 1 + \ frac1 {1 + \ frac1 {1 + \ frac1 {\ ddots}}}。 这个连分式等于 ϕ<米o separator="true"> ， \φ, 因为它满足 x<米o> ＝ 1<米o> + 1<米我>x x = 1 + \ frac1 {x} (且大于1)。的 n<米text> th n ^ \文本{th} 收敛于这个连分式是 F<米row> n<米o> + 1 F<米我>n \压裂f {n + 1} {} {fn} ，这就给出了另一个证明 lim<米o> ⁡ n<米o> → ∞ F<米row> n<米o> + 1 F<米我>n ＝ ϕ lim \ \ limits_ {n \ \ infty} \压裂f {n + 1} {} {fn} = \φ ． 计数的问题 就像<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/catalan-numbers/" class="wiki_link" title="加泰罗尼亚的数字" target="_blank">加泰罗尼亚的数字在美国，斐波那契数列计算了许多类型的组合对象。这里有四个例子。 (1） F<米我>n fn 作文的数量是多少 n<米o> − 1 n - 1 组成的 1 1 年代和 2 2 s.由…组成的 n<米o> − 1 n - 1 是对 n<米o> − 1 n - 1 作为部分的和，其中部分的顺序很重要。)例如, 5 ＝ 1<米o> + 1<米o> + 1<米o> + 1<米o> + 1 ＝ 1<米o> + 1<米o> + 1<米o> + 2 ＝ 1<米o> + 1<米o> + 2<米o> + 1 ＝ 1<米o> + 2<米o> + 1<米o> + 1 ＝ 2<米o> + 1<米o> + 1<米o> + 1 ＝ 1<米o> + 2<米o> + 2 ＝ 2<米o> + 1<米o> + 2 ＝ 2<米o> + 2<米o> + 1<米o separator="true"> ， \{对齐}开始5 & = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \ \ & = 1 + 1 + 1 + 2 \ \ & = 1 + 1 + 2 + 1 \ \ & = 1 + 2 + 1 + 1 \ \ & = 2 + 1 + 1 + 1 \ \ & = 1 + 2 + 2 \ \ & = 2 + 1 + 2 \ \ & = 2 + 2 + 1 \{对齐}结束 所以 F<米n>6 ＝ 8. F_6 = 8。 （2） F<米我>n fn 平铺的方法是多少 2<米o> × （ n<米o> − 1<米o stretchy="false"> ） 2 \ * (n - 1) 板与 1<米o> × 2 1 \ * 2 多米诺骨牌。（3） F<米我>n fn 二进制序列的长度是多少 n<米o> − 2 n - 没有连续 0 0 年代。（4） F<米我>n fn 子集的个数是多少 ｛ 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， .．. ， n<米o> − 2<米o stretchy="false"> ｝ \ {1, 2 \ ldots n \} 不包含任何连续数字对的。 为了查看斐波那契数列是否计算了这些对象，让对象的数量相等 G<米我>n G_n 并显示 G<米我>n ＝ G<米row> n<米o> − 1 + G<米row> n<米o> − 2 G_n = G_ {n} + G_ {2} ．然后确认 F<米n>1 ＝ G<米n>1 f = G_1里面 而且 F<米n>2 ＝ G<米n>2 ₂= G_2 ，证明就完成了。例如，要证明(4)，从 G<米n>1 ＝ 1<米o separator="true"> ， G<米n>2 ＝ 1<米o separator="true"> ， G<米n>3.． ＝ 2<米o separator="true"> ， G<米n>4 ＝ 3. G_1=1, g_2 =1, g_3 = 2, g_4 = 3 ，然后假设 年代 年代 是 ｛ 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， .．. ， n<米o> − 2<米o stretchy="false"> ｝ \ {1, 2 \ ldots n \} 里面没有任何连续的数字。有 G<米row> n<米o> − 1 G_ {n} 这样的设置 年代 年代 不包含 n<米o> − 2 n - ．如果 年代 年代 包含 n<米o> − 2 n - ，那么它就不包含 n<米o> − 3. n - 3 ,所以 年代 年代 是通过取 ｛ 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， .．. ， n<米o> − 4<米o stretchy="false"> ｝ \ ldots \ {1, 2, 4 \} 和扔在 n<米o> − 2 n - ．所以有 G<米row> n<米o> − 2 G_ {2} 这样的设置 年代 年代 ．这证明 G<米我>n ＝ G<米row> n<米o> − 1 + G<米row> n<米o> − 2 ， G_n = G_ {n} + G_ {2}, 根据需要。 提交你的答案 的组合 n n 是对 n n 它是一组不一定不同的正整数的和，顺序很重要。请注意, n<米o> ＝ n n = 的合成物 n n ．让 C<米我>n C_n 是作文的 n n 没有一项等于1。例如, C<米n>6 ＝ 5 C_6 = 5 因为 6<米o> ＝ 6<米o> ＝ 4<米o> + 2<米o> ＝ 3.<米o> + 3.<米o> ＝ 2<米o> + 4<米o> ＝ 2<米o> + 2<米o> + 2. 6 = 6 =4+2=3+3=2+4=2+2+2 找到 C<米n>15 C_ {15} ． 提交你的答案 小丑爬楼梯可以一步，也可以两步。例如，他可以从地板爬到第一个台阶，然后爬到第三个台阶，或者他可以从地板爬到第一个台阶，然后爬到第二个台阶，最后爬到第三个台阶。如果一个楼梯有10级台阶，小丑可以用多少种方式爬上去?澄清: 当他从 9<米text> th {9} ^ \文本{th} 一步的 10<米text> th ， {10} {th} ^ \文本, 他已经爬上了整层楼梯;也就是说，最后一步是二楼。 他爬楼梯的顺序很重要! 奖金:概括它。 提交你的答案 斐波那契数列是由 F<米o stretchy="false"> （ 0<米o stretchy="false"> ） ＝ 0 F (0) = 0 F<米o stretchy="false"> （ 1<米o stretchy="false"> ） ＝ 1 F (1) = 1 F<米o stretchy="false"> （ n<米o stretchy="false"> ） ＝ F<米o stretchy="false"> （ n<米o> − 1<米o stretchy="false"> ） + F<米o stretchy="false"> （ n<米o> − 2<米o stretchy="false"> ） ． F(n) = F(n-1) + F(n-2)。 所以，前几个是 0<米o separator="true"> ， 1<米o separator="true"> ， 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， 3.<米o separator="true"> ， 5<米o separator="true"> ， 8<米o separator="true"> ， 13. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 如果我们把这个推广到负数，是什么 F<米o stretchy="false"> （ − 8<米o stretchy="false"> ） ? F (8) ? 涉及斐波那契级数的恒等式 有相当多的恒等式与不同的斐波那契数相关。例如, F<米我>n<米n>2 − F<米row> n<米o> − 1 F<米row> n<米o> + 1 ＝ （ − 1<米sup> ） n<米o> + 1 ， fn ^ 2-F_ f {n + 1} = {n} (1) ^ {n + 1}, 哪个有有用的推论连续的斐波那契数列是互质数． 通常，最实际的证明是通过归纳法。很明显 n<米o> ＝ 2<米o separator="true"> ， 3. n = 2, 3 ，现在假设它是对的 n n ．然后 F<米row> n<米o> + 1 2 − F<米我>n F<米row> n<米o> + 2 ＝ F<米row> n<米o> + 1 2 − F<米我>n （ F<米我>n + F<米row> n<米o> + 1 ） ＝ F<米row> n<米o> + 1 （ F<米row> n<米o> + 1 − F<米我>n ） − F<米我>n<米n>2 ＝ F<米row> n<米o> + 1 F<米row> n<米o> − 1 − F<米我>n<米n>2 ＝ − （ − 1<米sup> ） n<米o> + 1 ＝ （ − 1<米sup> ） n<米o> + 2 ， 开始\ f {n + 1}{对齐}^ 2-F_nF_ {n + 2} & f {n + 1} = ^ 2-F_n (fn + f {n + 1}) \ \ & f {n + 1} = (f {n + 1} fn) - fn ^ 2 \ \ & = f f {n} {n + 1} fn ^ 2 \\ &= -(- 1) ^ {n + 1} = (1) ^ {n + 2},{对齐}\结束 这是对的 n<米o> + 1 n + 1 ． □ _ \广场 其余恒等式的证明是相似的。 (1） F<米我>米 F<米我>n + F<米row> 米<米o> − 1 F<米row> n<米o> − 1 ＝ F<米row> 米<米o> + n<米o> − 1 F_mF_n + F_{m-1}F_{n-1} = F_{m+n-1} (1) F<米row> 2<米我>n<米o> − 1 ＝ F<米row> n<米o> − 1 2 + F<米我>n<米n>2 f f {n} {2 n - 1} = ^ 2 + fn ^ 2 (1 b) F<米row> 2<米我>n ＝ F<米我>n （ F<米row> n<米o> − 1 + F<米row> n<米o> + 1 ） f {2 n} = fn (f {n} + f {n + 1}) （2） F<米n>1 + F<米n>2 + F<米n>3.． + ⋯ + F<米我>n ＝ F<米row> n<米o> + 2 − 1 f +₂+ F_3 + \ cdots + fn = f {n + 2} 1 （3） F<米n>1 + F<米n>3.． + F<米n>5 + ⋯ + F<米row> 2<米我>n<米o> − 1 ＝ F<米row> 2<米我>n f + F_3 + F_5 + \ cdots + f f {2 n} {2 n - 1} = 而且 F<米n>2 + F<米n>4 + F<米n>6 + ⋯ + F<米row> 2<米我>n ＝ F<米row> 2<米我>n<米o> + 1 − 1 ₂+ F_4 + F_6 + f {2 n} \ cdots + f {2 n + 1} 1 = （4） F<米row> n<米o> + 1 ＝ ∑ k<米o> ＝ 0 ⌊ n<米我米一个thvariant="normal"> /<米n>2<米o stretchy="false"> ⌋ （ n<米o> − k k ） f {n + 1} = \ \ limits_总和{k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} \ binom {n - k} {k} 提交你的答案 从前，一只兔子和一只乌龟在赛跑。快速的兔子可以跳的越来越远，类似于Fibonacci序列(省略第一个1项)，如上图所示: 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， 3.<米o separator="true"> ， 5<米o separator="true"> ， 8<米o separator="true"> ， 13<米o separator="true"> ， .．. ． 1, 2, 3, 5, 8, 13，\ldots。 缓慢的海龟可以在1-interval的等差数列中以递增的距离滚动，如下所示: 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， 3.<米o separator="true"> ， 4<米o separator="true"> ， 5<米o separator="true"> ， .．. 1,2,3,4,5，\ldots 虽然在开始的三步中，兔子似乎是平稳的，但不久之后，兔子迅速地超过了它的对手。然而，有一次，兔子对自己的胜利充满信心，停下来打了个盹。后来，乌龟继续沿着同样的路线走，在同样的距离遇见了兔子。乌龟继续努力，最终赢得了比赛。根据这个故事，从起点到兔子睡觉点的最短距离是多少? 提交你的答案 最近，我在清理我的阁楼时，发现了一套至少14根的棍子，是一位好奇的意大利先生几年前卖给我的。我努力想弄清楚为什么我从他那里买了它，我意识到这套衣服有一种不可思议的特性 3. 3. 可以形成三角形的棍子。如果一组有两根棍子的长度 1 1 的最小长度是多少 14<米text> th {14} ^ \文本{th} 坚持吗? 提交你的答案 y<米n>2 − x<米我>y<米o> − x<米n>2 ＝ 1 Y ^2 - xy - x^2 = 1 让 （ x<米o separator="true"> ， y<米o stretchy="false"> ） (x, y) 是上面双曲线的非负整数解。如果 x<米o> + y<米o> ＝ n x + y = n 对于某个完全平方 n n 什么是所有可能的总和 n<米o stretchy="false"> ? n ? 提示:唯一完全平方的斐波那契数是0 1和144。 生成函数 的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/generating-functions/" class="wiki_link" title="生成函数" target="_blank">生成函数斐波那契数列是 ∑ n<米o> ＝ 1 ∞ F<米我>n x<米我>n ＝ x<米row> 1<米o> − x<米o> − x<米n>2 ． \sum_{n=1}^\infty F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}。 以下是展开图: （ 1<米o> − x<米o> − x<米n>2 ） （ F<米n>1 x<米o> + F<米n>2 x<米n>2 + F<米n>3.． x<米n>3.． + ⋯ ） ＝ F<米n>1 x<米o> + （ F<米n>2 − F<米n>1 ） x<米n>2 + （ F<米n>3.． − F<米n>2 − F<米n>1 ） x<米n>3.． + （ F<米n>4 − F<米n>3.． − F<米n>2 ） x<米n>4 + ⋯ ＝ x<米o> + 0<米sup> x<米n>2 + ∑ k<米o> ＝ 3. ∞ （ F<米我>k − F<米row> k<米o> − 1 − F<米row> k<米o> − 2 ） x<米我>k ＝ x<米我米一个thvariant="normal"> ．<米sub> □ {对齐}\ \开始大(1-x-x ^ 2 \大)\大(F_1x + F_2x ^ 2 + F_3x ^ 3 + \ cdots \大)& = F_1x + (F_2-F_1) x ^ 2 + (F_3-F_2-F_1) x ^ 3 + (F_4-F_3-F_2) x ^ 4 + \ cdots \ \ & = x + 0 x ^ 2 + \ sum_ {k = 3} ^ \ infty (F_k-F_ {k - 1} f {k-2}) x ^ k \ \ & = x。\ \ _ \广场结束{对齐} 提交你的答案 1<米n>10 + 1<米row> 1<米sup> 0<米n>2 + 2<米row> 1<米sup> 0<米n>3.． + 3.<米row> 1<米sup> 0<米n>4 + 5<米row> 1<米sup> 0<米n>5 + 8<米row> 1<米sup> 0<米n>6 + ⋯ \ \压裂{1}{10}+压裂{1}{10 ^ 2}+ \压裂{2}{10 ^ 3}+ \压裂{3}{10 ^ 4}+ \压裂{5}{10 ^ 5}+ \压裂{8}{10 ^ 6}+ \ cdots 求上述分数的和，其中分母遵循几何级数，分子遵循斐波那契数列。如果你的答案是 一个<米我>B \压裂{一}{B} ,在那里 一个 一个 而且 B B 互素正整数，提交你的答案为 一个<米o> + B A + B ． 提交你的答案 ∑ n<米o> ＝ 1 ∞ n<米sub> F<米我>n 2<米我>n ＝ k<米row> ∑ n<米o> ＝ 1 ∞ F<米我>n 2<米我>n \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ dfrac f {n} {n} {2 ^ n} = k {\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ dfrac f {n} {} {2 ^ n}} 让 F<米我>n fn 表示 n<米text> th n ^ \文本{th} 斐波那契数, F<米n>0 ＝ 0 F_0 = 0 ， F<米n>1 ＝ 1 f = 1 而且 F<米我>n ＝ F<米row> n<米o> − 1 + F<米row> n<米o> − 2 F_n = F_{n-1} + F_{n-2} 为 n<米o> ＝ 2<米o separator="true"> ， 3.<米o separator="true"> ， 4<米o separator="true"> ， ．<米我米一个thvariant="normal"> ．<米我米一个thvariant="normal"> ．<米我米一个thvariant="normal"> ． n = 2, 3, 4,… 找到…的价值 k k 满足上面的等式。 提交你的答案 0. 00000<米space width="1em"> 00001<米space width="1em"> 00001<米space width="1em"> 00002<米space width="1em"> 00003<米space width="1em"> 00005<米space width="1em"> 00008 00013<米space width="1em"> 00021<米space width="1em"> 00034<米space width="1em"> 00055<米space width="1em"> 00089<米space width="1em"> 00144<米space width="1em"> .．. \{对齐}0开始。&& 00000 \四角00001 \四角00001 \四角00002 \四角00003 \四角00005 \四角00008 \\ && 00013 \四角00021 \四角00034 \四角00055 \四角00089\四角00144\四角\ldots \\ \\端{对齐} 上面显示了分数的十进制表示的前几个数字(实际上是65) 1<米row> 9<米o separator="true"> ， 999<米o separator="true"> ， 899<米o separator="true"> ， 999 ． 大\ \ frac1{9999899999}。 如果我们把这些数字分成5个分区，我们可以看到这些数字形成了斐波那契数列: 0<米o separator="true"> ， 1<米o separator="true"> ， 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， 3.<米o separator="true"> ， 5<米o separator="true"> ， 8<米o separator="true"> ， 13<米o separator="true"> ， .．. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13日\ ldots ．在模式打破之前，我们能找到多少正的斐波那契数?注意:例如，假设分数等于 0.00000<米space width="1em"> 00001<米space width="1em"> 00001<米space width="1em"> 00002<米space width="1em"> 00003<米space width="1em"> 00009<米o> .．. 0.00000 \四边形00001 \四边形00001 \四边形00002 \四边形00003 \四边形00009 \ldots 而不是上面给出的那个。然后你只能找到前五个斐波那契数，也就是 0<米o separator="true"> ， 1<米o separator="true"> ， 1<米o separator="true"> ， 2<米o separator="true"> ， 3. 0、1、1、2、3 ．所以你的答案是在模式打破之前有4个正的斐波那契数。 奖金:概括。 试试Daniel Liu的问题，这个问题启发了他。 可分性属性 上面的等式(1)可以用来表示如果 一个<米我米一个thvariant="normal"> ∣<米我>b a | ,然后 F<米我>一个 ∣<米sub> F<米我>b F_a | F_b ．事实上，事实远非如此: 肾小球囊性肾病 （ F<米我>一个 ， F<米我>b ） ＝ F<米row> 肾小球囊性肾病 （ 一个<米o separator="true"> ， b<米o stretchy="false"> ） ． {gcd} \文本(F_a F_b) = f{\文本{gcd} (a, b)}。 这是由(1)和一个类似于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/euclidean-algorithm/" class="wiki_link" title="欧几里得算法" target="_blank">欧几里得算法；写 一个<米o> ＝ b<米我>问<米o> + r<米o separator="true"> ， 0<米o> ≤ r<米o> < b<米o separator="true"> ， A = bq+r， \， 0 \le r < b， 然后 肾小球囊性肾病 （ F<米我>一个 ， F<米我>b ） ＝ 肾小球囊性肾病 （ F<米row> b<米我>问<米o> + r ， F<米我>b ） ＝ 肾小球囊性肾病 （ F<米row> b<米我>问 F<米row> r<米o> + 1 + F<米row> b<米我>问<米o> − 1 F<米我>r ， F<米我>b ） ＝ 肾小球囊性肾病 （ F<米row> b<米我>问<米o> − 1 F<米我>r ， F<米我>b ） （ 因为 F<米我>b ∣<米sub> F<米row> b<米我>问 ） ＝ 肾小球囊性肾病 （ F<米我>r ， F<米我>b ） ， （ 因为肾小球囊性肾病 （ F<米row> b<米我>问<米o> − 1 ， F<米row> b<米我>问 ） ＝ 1<米o fence="false"> ） \ {gcd}{对齐}\文本(F_a F_b) & = {gcd} \文本(f {bq + r}, F_b) \ \ & = {gcd} \文本(f f {r + 1} {bq} + f {bq-1} F_r, F_b) \ \ & = {gcd} \文本(f {bq-1} F_r, F_b) & & \ qquad文本(\{因为}F_b f {bq | }) \\ &= \ 文本{gcd} (F_r F_b) & & \ qquad \大文本(\{因为肾小球囊性肾病}(f {bq-1}, f {bq}) = 1大)\ \{对齐}结束 等等。 我们有 肾小球囊性肾病 （ F<米n>10 ， F<米n>15 ） ＝ 肾小球囊性肾病 （ 55<米o separator="true"> ， 610<米o stretchy="false"> ） ＝ 5<米o> ＝ F<米n>5 ． {gcd} \文本(f {10}, f {15}) = {gcd} \文本(55610)= 5 = F_5。 注意，这个讨论暗示了如果 F<米我>p F_p 是',那么 p p 是质数或 p<米o> ＝ 4 p = 4 ．反之则不然 （ F<米n>2 ＝ 1<米o separator="true"> ， F<米n>19 ＝ 37<米o> ⋅ 113<米o stretchy="false"> ） ， (F_2 = 1, F_{19} = 37 \cdot 113)， 事实上，我们不知道是否有无限多个质数 p p 这样 F<米我>p F_p 是质数。 提交你的答案 在斐波那契数列中， F<米n>0 ＝ 1 f {0} = 1 ， F<米n>1 ＝ 1 {f} = 1 ，对所有人来说 N<米o> > 1 N > 1 ， F<米我>N ＝ F<米row> N<米o> − 1 + F<米row> N<米o> − 2 fn = f f {n} {n} + ．2014年的斐波那契数列中有多少以0结尾? Zeckendorf定理 一个Zeckendorf表示是将该整数表示为(至少一个)不同的非连续斐波那契数的和的表达式。例如, 41<米o> ＝ 34<米o> + 5<米o> + 2 41 = 34 + 5 + 2 是Zeckendorf表示的 41 41 ． 每个正整数只有一个Zeckendorf表示。 首先要说明不能有多于一种表示形式，请使用上面第(3)项中的恒等式来看看最大的非连续斐波那契数的和 F<米我>n fn 不能大于 F<米row> n<米o> + 1 f {n + 1} （ （ 请注意, F<米n>1 f 而且 F<米n>3.． F_3 是连续的斐波那契数列 F<米n>1 ＝ F<米n>2 ） ． f =₂)。 然后假设一个整数有两个Zeckendorf表示，并减去两个和中的所有公共斐波那契数。那么得到的两个和仍然相等，并且由两个互不相连的斐波那契数集合组成。假设第一个和中最大的斐波那契数是 F<米我>一个 F_a 第二次和中最大的斐波那契数为 F<米我>b F_b ；在不丧失一般性的前提下假设 一个<米o> < b < b ．那么第一个和小于 F<米row> 一个<米o> + 1 f {+ 1} 但第二个和很明显 ≥ F<米我>b 通用电气\ F_b ，所以它们不可能相等。要证明泽肯多夫表示法始终存在，可以用归纳法。基本情况很清楚 （ 1<米o> ＝ 1<米o separator="true"> ， 2<米o> ＝ 2<米o stretchy="false"> ） ， (1 = 1, 2 = 2), 现在假设所有的结果都成立 k<米o> < n k < n ．让 F<米我>一个 F_a 是小于或等于的最大斐波那契数 n n ．如果 F<米我>一个 ＝ n<米o separator="true"> ， F_a = n, 那么这就是泽肯多夫的表示法，假设 F<米我>一个 < n F_a < n ．然后 n<米o> − F<米我>一个 n-F_a 有泽肯多夫的代表吗 F<米sub> b<米n>1 + F<米sub> b<米n>2 + ⋯ + F<米sub> b<米我>k F_{b_1}+F_{b_2} + \cdots +F_{b_k} 根据归纳假设，所以 n<米o> ＝ F<米我>一个 + F<米sub> b<米n>1 + F<米sub> b<米n>2 + ⋯ + F<米sub> b<米我>k n =F_a +F_{b_1}+F_{b_2}+\cdots+F_{b_k} ．的 b<米我>我 b_i 都是非连续的，而且所有的 b<米我>我 b_i 还不到 一个<米o> − 1<米o separator="true"> ， a - 1, 因为如果 n<米o> − F<米我>一个 ≥ F<米row> 一个<米o> − 1 ， 通用电气n-F_a \ f {1}, 然后 n<米o> ≥ F<米我>一个 + F<米row> 一个<米o> − 1 ＝ F<米row> 一个<米o> + 1 ， n \ge F_a + F_{a-1} = F_{a+1}， 与的极简性相矛盾的是 一个 一个 ．这是泽肯多夫表示法。 □ _ \广场 证明表明，Zeckendorf表示法可以通过取最大的斐波那契数小于 n<米o separator="true"> ， n, 减去它，重复这个过程。这个定理适用于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/coding-theory/" class="wiki_link" title="编码理论" target="_blank">编码理论． 引用:斐波那契序列。Brilliant.org．检索从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fibonacci-series/">//www.parkandroid.com/wiki/fibonacci-series/ 加入的擅长数学和科学。报名 注册阅读所有关于数学、科学和工程主题的维基和测试。 登录Facebook<一个href="//www.parkandroid.com/account/google/login/?next=/wiki/fibonacci-series/" id="login-google" class="btn btn-google signup-social ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal_google" data-ax-type="button" data-is_modal="true">以谷歌登录<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/fibonacci-series/" id="problem-login-link" class="btn btn-email ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal_email" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/fibonacci-series/">用电子邮件登录 加入使用Facebook<一个href="//www.parkandroid.com/account/google/login/?next=/wiki/fibonacci-series/" id="signup-google" class="btn btn-google signup-social ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal_google" data-ax-type="button">加入使用谷歌<一个href="//www.parkandroid.com/account/signup/?signup=true&next=/wiki/fibonacci-series/" id="signup-email" class="btn btn-email ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal_email" data-ax-type="button" data-next="/wiki/fibonacci-series/">加入使用电子邮件 忘记了密码?新用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/signup/?signup=true&next=/wiki/fibonacci-series/" id="problem-signup-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_signup_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-next="/wiki/fibonacci-series/">报名 现有的用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/fibonacci-series/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/fibonacci-series/">登录 × 问题加载…注意加载…设置加载…$