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欧拉数(也称为纳皮尔常数), e e e,是一个数学常数,近似等于
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713829178…… 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713829178…… 2.71828182845904523.53.602874713.52662497757247093.69995957496696762772407663.03.53.5475945713.829178...
它可以表示为极限, e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \displaystyle e = \lim_{n\to\infty} \左(1 + \dfrac{1}{n} \右)^n e=n→∞lim(1+n1)n,也可以表示为无穷和 ∑ j = 0 ∞ 1 j ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + ⋯ \ displaystyle \ sum_ j = {0} ^ \ infty \ dfrac {1} {j !} = \ dfrac {1} {0 !} + \ dfrac {1} {1 !} + \ dfrac {1} {2 !} + \ cdots j=0∑∞j!1=0!1+1!1+2!1+⋯.
这是不可混淆的 γ \γ γ(欧拉-马歇罗尼常数).
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = ∑ j = 0 ∞ 1 j ! \displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n=\sum_{j=0}^\infty \frac 1{j!} n→∞lim(1+n1)n=j=0∑∞j!1
应用二项展开式在左边,我们有: lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = lim n → ∞ ( 1 + n 1 ! ⋅ 1 n + n ( n − 1 ) 2 ! 1 n 2 + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3. ! 1 n 3. + ⋯ ) = lim n → ∞ ( 1 + 1 1 ! n n + 1 2 ! n ( n − 1 ) n 2 + 1 3. ! n ( n − 1 ) ( n − 2 ) n 3. + ⋯ ) = lim n → ∞ ( 1 + 1 1 ! ( 1 ) + 1 2 ! ( 1 ) ( 1 − 1 n ) + 1 3. ! ( 1 ) ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) + ⋯ ) = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3. ! + ⋯ = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3. ! + ⋯ = ∑ j = 0 ∞ 1 j ! \ displaystyle \; \ \; \ \ lim_ {n \ \ infty}(1 + \压裂1 n) ^ n \ \ \ displaystyle = \ lim_ {n \ \ infty} (1 + n \压裂{1 !} \ cdot \压裂1 n + \压裂{n (n - 1)} {2 !}\frac 1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac 1{n^3}+\cdots)\\ \displaystyle=\lim_{n\to\infty}(1+\frac 1{1!}\frac nn+\frac 1{2!}\frac{n(n-1)}{n^2}+\frac 1{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}+\cdots)\\ \displaystyle=\lim_{n\to\infty}(1+\frac 1{1!}(1)+\frac 1{2!}(1)(1-\frac 1n)+\frac 1{3!}(1)(1-\frac 1n)(1-\frac 2n)+\cdots)\\ \displaystyle=1+\frac 1{1!}+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+\cdots\\ \displaystyle=\frac 1{0!}+\frac 1{1!}+\frac 1{2!}+\frac 1{3!}+\cdots\\ \displaystyle=\sum_{j=0}^\infty \frac 1{j!} n→∞lim(1+n1)n=n→∞lim(1+1!n⋅n1+2!n(n−1)n21+3.!n(n−1)(n−2)n3.1+⋯)=n→∞lim(1+1!1nn+2!1n2n(n−1)+3.!1n3.n(n−1)(n−2)+⋯)=n→∞lim(1+1!1(1)+2!1(1)(1−n1)+3.!1(1)(1−n1)(1−n2)+⋯)=1+1!1+2!1+3.!1+⋯=0!1+1!1+2!1+3.!1+⋯=j=0∑∞j!1
复数: e 我 θ = 因为 θ + 我 罪 θ E ^{i\theta} = \cos\theta + i\sin \theta e我θ=因为θ+我罪θ
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