利率

感兴趣是金钱的代价。它是借款人在偿还借款的基础上向投资者或贷款人支付的额外款项。例如，借款人可以借款 $100美元$并同意支付额外费用 $\ 5美元$在超出的利息 $100美元$欠的债。一个利率是支付在指定期限的量。例如，如果先前的借款人同意支付回 $100美元$在一年的时间内欠，那么年度利率是 $5 \$．

利率可简单的，意思是计算欠校长或复合，意思是计算所欠的本金加应计利息。和复利可以离散计算，每个月的实例，或一直．

爱因斯坦据报道，复利是宇宙中最强大的力量，这意味着随着时间的推移，投资可能会增长到意想不到的规模，债务可能会因为复利膨胀到难以控制的数额。许多人低估了长期投资的可能性，更不用说政府投资了货币政策改变利率影响市场。

单利(SI)当一个人借钱或投资的时候就会发生。当借款人在一段时间内收到一定数额的钱时，他们同意还钱，并支付一笔费用，即所欠的利息。投资的利息是一个人最初投资一些钱(称为本金)并获得投资回报的钱。回报是本金(利息)的一个百分比，并加到本金中，使初始投资增长。

单利是在整个贷款期间适用于借款或投资金额的一种利息，不考虑任何其他因素，例如过去的利息(已付或已记)或任何其他财务考虑。单利只支付原始本金，它不是复合．单利一般适用于由金融公司管理的一年或一年以下的短期贷款，或类似短时间投资的资金。

用公式计算单利(SI)

$si = \ dfrac {p \ times r \ times t} {100}。$

这里 $P.$本金, $R.$是的利率，以及 $T.$是利息的时间段。最后要支付的金额是初始本金加上单利， $P +硅$．

以下是通过以下示例的简单兴趣概念的一些插图：

投资金额在每年9％的速度下占4016.25卢比的总简单兴趣。最初的校长是什么？

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让本金数额保持不变 $P.$，利率 $r \％$每年, $如果$简单的兴趣和 $\ text {t}$的时间段，然后

$\begin{aligned} SI & = \dfrac{PRT}{100}\\ \\ 4016.25 & = \dfrac{P× 9 × 1}{100}\\ \\ \ right tarrow P & = \dfrac{4016.25 × 100}{9} =44625。\ \ _ \广场结束{对齐}$

1000卢比多少年才能产生相同的回报，如果利息是 $10 \$每年?
（加倍需要多少年？）

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让本金数额保持不变 $\文字{P}$，感兴趣的速度是 ${R} \$每年, ${四}\文本$做简单的兴趣，并且 $\ text {t}$是时间段。然后

$\ begin {对齐} \ text {si}＆= \ dfrac {\ text {prt}} {prt}} {100} \\ \\ \ {\ cancel {\ text {p}}}＆= {\ dfrac {\取消{\ text{p}} \ text {rt}} {100}} \ qquad \ left（\ text {因为p = si} \右）\\ \\ 1＆= dfrac {10×\ text {t}} {100} \\ \\ \ lightarrow \ text {t}＆= \ dfrac {100} {10} = 10. \ _ \ square \ END {对齐}$

5年后的金额为9800卢比，8年后的金额为12005卢比，利率相同。每年的利率(以百分比计)是多少?

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让本金数额保持不变 $\文字{P}$，利率 ${R} \$每年, ${四}\文本$简单的兴趣和 $\ text {t}$时间段。然后

$\ BEGIN {对齐} \ {文本SI 3年}＆= \ {文本卢比}（12005 - 9800）\\＆= \ {文本。卢比} 2205 \\\\ \文本{SI 5年}＆= \ {文本卢比} \ {dfrac 2205 \倍5} {3} \\＆= \ {文本卢比} 3675。\结束{对齐}$

因此，校长是 $（9800 - 3675）= 6125$卢比，这意味着

$\begin{aligned} \text{T}&= \dfrac{3675 \times 100}{6125 \times 5}\\\\ &= 12。\ \ _ \广场结束{对齐}$

在投资和贷款通常利率复利率;利息不是根据最初的本金计算的，而是根据计算时投资或欠下的金额计算的。这样，利息就叫做复利。这对投资者有利，让他们的回报产生更多回报，而不仅仅是最初的投资。

感兴趣的可以离散许多不同的时间间隔进行复合。的数量和配混时间段之间的距离被明确离散配合限定。例如，兴趣是在每个月的第一天化合物是离散的。这是在今年年底计算的兴趣是说：“每年的化合物”，即在每月月底计算的兴趣是说：“复合月刊”等。利息也可以化合物不断．

假设你在1年年初开立的主帐户 $1000美元$，银行提供的年复利为 $5 \$(这比当今大多数储蓄率都要高得多)。到今年年底，银行将会补充 $\ $ 50$给你的账户，你的新余额将是 $\ $ 1050$．

在第二年年末，我们不再使用 $1000美元$，银行将使用的新的平衡 $\ $ 1050$确定利息。他们乘 $\ $ 1050 \次5 \％= \ $ 52.50$．这是 $\ 2.50美元$比你更利息的最后一届。

在第三年底，新的余额将是 $\ 1102.50美元$．因此，要的数字，长期的利益，银行使用了新的，更高的平衡，而不是原来 $1000美元$平衡，现在收入 $\ 55.12美元$（如果他们截短）.看到这是如何对产生兴趣的人有利的了吗?因为银行每年使用更高的余额来计算新的利息，所以利息增加得更快。

计算兴趣时返回的量的公式是每年复合返回的

$\文本文本{A} = \ P{}{\离开(1 + \ dfrac{\文本R}{}{100} \右)}^{\文本{t}},$

在哪里 ${一}\文本$为所获得的数量， $\文字{P}$为本金， $\文本{R}$是兴趣率，和 $\ text {t}$是这个时期的复利数(对于年度复利，这是年数)。那么，在此期限内计算的复利总额为

$\text{Compound Interest} = \text{A} - \text{P}。$

证明

在第一年末利息 ${对齐}\ \开始dfrac{{文本\ P{}} _1 \文本{RT}} {100} & = \ dfrac{\文本{公关}×1}{100 }\\ \\ &= \ dfrac{\文本{公关}}{100}。\结束{对齐}$第一年年末的金额是 $开始\{对齐}{文本\ P{}} _1 +{\文本{我}}_1 & = \ P{} +文本\ dfrac{\文本{公关}}{100 }\\ \\ &= \ 文本P{} \离开(1 + \ dfrac{\文本R}{}{100} \右)。\结束{对齐}$在第二年年底的利息 ${对齐}\ \开始dfrac{{文本\ P{}} _2 \文本{RT}} {100} & = \ dfrac {{P} \ \文本左(1 + \ dfrac{\文本R}{}{100} \) \文本{R×1}}{100 }\\ \\ &= \ 文本P{} \离开(1 + \ dfrac{\文本R} {} {100} \) \ dfrac{\文本R}{}{100}。\结束{对齐}$因此，两年后的金额是 $\开始{对齐}{文本\ P{}} _2 +{\文本{我}}_2 & = {P} \ \文本左(1 + \ dfrac{\文本R}{}{100} \右)+文本\ P{} \离开(1 + \ dfrac{\文本R} {} {100} \) \ dfrac{\文本{R}} {100 }\\ \\ &= \ 文本P{} \离开(1 + \ dfrac{\文本R}{}{100} \) \离开(1 + \ dfrac{\文本R} {} {100} \ )\\ \\ &= \ 文本{P}{\离开(1 + \ dfrac{\文本R}{}{100} \右)}^{2}。\结束{对齐}$第三年结束时的利息是 $\ begin {对齐} \ dfrac {{\ text {p}} _ 3 \ text {r}} {100}＆= \ dfrac {\ text {p} {\ left（1 + \ dfrac {\ text {r}}{100}右）} ^ {2} \ text {r×1}} {100} \\ \\＆= \ text {p} {\ left（1 + \ dfrac {\ text {r}} {100} \右）} ^ {2} \ dfrac {\ text {r}} {100}。\结束{对齐}$所以，在三年年底量 $\ begin {对齐} {\ text {p}} _ 3 + {\ text {i}} _ 3＆= \ text {p} {\ left（1 + \ dfrac {\ text {r}} {100} \ otive）} ^ {2} + \ text {p} {\ left（1 + \ dfrac {\ text {r}}} ^ {2} \ dfrac {\ text {r}} {100} \\\＆= \ text {p} \ left（1 + \ dfrac {\ text {r}} {100} \右）\ left（1 + \ dfrac {\ text {r}} {100} \右）\ left（1 + dfrac {\ text {r}} {100} \ rote）\\ \\＆= \ text {p} {\ left（1 + \ dfrac {\ text {r}} {100} \右））}} ^ {3}。\结束{对齐}$我们看到，每种情况下的量都跟在a后面几何级数与第一项 $\文字{P}$和常见的比 $\离开(1 + \ dfrac{\文本R}{}{100} \右)。$

因此，在结束时的金额 $n ^{\文本{th}}$年是 ${(n + 1)} ^{\文本{th}}$几何进展的术语，即

$\文本{P} {\左（1个+ \ dfrac {\文本{R}} {100} \右）} ^ {N + 1 - 1} = \文本{P} {\左（1个+ \ dfrac {\文本{R}} {100} \右）} ^ {N}。\ _ \方$

计算两年期500卢比的利息，如果每年复利的利率是 $5 \$每年。

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让 ${一}\文本$是获得的金额， $\文字{P}$本金, $\文本{R}$利率， $\ text {t}$时间段，和 $文本\ {CI}$感兴趣的化合物。然后

$\开始{对齐}\文本{一}& = \ P{}{\离开(1 + \ dfrac{\文本R}{}{100} \右)}{t ^{\文本 }}\\ \\ & = 左(1 + 500×{\ \ dfrac{5}{100} \右)}^ {2 }\\ \\ & = 500×{\离开(\ dfrac{21}{20} \右)}^ {2 }\\ \\ & = 500×\ dfrac {441} {400 }\\ \\ & = 551.25文本{CI} \ \ \ \ \ & ={一}\文本-文本\ P{} \ \ & = 551.25 - 500 \ \ & = 51.25。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果利息的速率加剧什么会在一年Rs.100量 $10 \$半年(每六个月)?

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让 ${一}\文本$是获得的金额， $\文字{P}$本金, $\文本{R}$兴趣率，和 $\ text {t}$的次数感兴趣的化合物。然后

$\开始{对齐}\文本{一}& = \ P{}{\离开(1 + \ dfrac{\文本R}{}{200} \右)}{t ^{\文本 }}\\ \\ & = 左(1 + 100×{\ \ dfrac{10}{200} \右)}^ {2 }\\ \\ & = 100×{\离开(\ dfrac{21}{20} \右)}^ {2 }\\ \\ & = 100×\ dfrac {441} {400 }\\ \\ & = \ dfrac {441} {4 }\\ \\ & = 110.25。\ \ _ \广场结束{对齐}$

试试下面的问题:

离散和连续复合是密切相关的术语。每当按特定间隔（如每年，每月或每周）计算并加入本金时，利率会自由地复合。连续复合意味着总是据说量为“施用”的兴趣。不断复合的兴趣使用自然对数系式（天然原木被对数用的基 $E.$）以最小的间隔计算和加入应计累计的兴趣。

连续复利是指本金不断获得利息，利息立即计算和复利。它可以用下面的图形演示。

在数学上，不断复合的兴趣可以表示如下：

$\开始{对齐}\文本{一}& = \ P {} e ^{\文本{rt}},{对齐}\结束$

在哪里 $一种$代表给定时间的总金额， $P.$表示初始本金， $R.$是利率（表示为小数），和 $T.$是时候了。

这类似于离散复利公式

$文本\{一}= {P} \ \文本大(1 + \压裂{\文本{r}} {x} \大)^ {t}} {x \文本,$

在哪里 $一种$表示所赚的金额， $P.$表示初始本金， $R.$是利率， $X$在一年的利息记的次数，和 $T.$是时候了。然后，通过采取由分立转化它连续 $x \ rightarrow \ infty$，即“不断赚取利息，利息立即计算复利”:

$\开始{对齐}\文本{一}& = \ P {} \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \大(1 + \压裂{\文本{r}} {x} \大)^ {{t x \文本 }} \\\\ &= \ 文本{P} e ^ {rt}}{\文本。\结束{对齐}$

如果你的连续复利10％的年利率投资$ 2400，计算5年后，你将拥有帐户的最终金额。

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让 $\文字{P}$是本金额， ${一}\文本$量, $R.$利率和 $T.$时间段。然后

$\开始{对齐} \文本{A}＆= \文本{P} E 1 {\文本{RT}} \\＆= 2400×E ^ {\ tfrac {10×5} {100}} \\＆=2400×E ^ {0.5} \\＆= 2400×1.6487 \\＆= 3956.93。\ _ \平方\ {端对齐}$

注意:10%的年息，按2400美元的本金分五年复利，总共是3865.22美元，差91.70美元。 $_ \广场$

这72法则州,在 $r \％$年利率，投资大约需要 $r \压裂{72}{}$年内翻番。

解出 $\ text {t}$来自指数方程：

$\开始{对齐}\文本{一}& = \ P{}{\离开(1 + r \$

应用Maclaurin系列来 $\ ln（1+ r \％）= r \％+ \ ldots$并使用 $ln 2约0.69$， 我们获得

$\压裂{\ LN 2} {\ LN（1 + R \％）} \约\压裂{0.69} {R \％} = \压裂{69} {R}。$

然后稍微改变分子 $72$， 因为 $72$为小值的除法更容易吗 $R.$． $_ \广场$

将72规则应用于年利率的实际计算的误差是什么？ $9 \$还是

---

根据第72条规则，

$t = \压裂{72}{9}= 8。$

实际结果是

$t = \ frac {\ ln {2}} {\ ln（1 + 0.09）} = 8.04。$

使用公式计算错误 $\压裂{8.04-8} {8.04} \倍100 \％= 0.50 \％$． $_ \广场$

以下是72规则准确性的分析表。

的误差范围 $-3 \％$和 $+ 3 \$在美国，72法则对于2%~16%的利率是相当准确的，事实证明这是现实世界中的大多数情况。

作为 $R.$增大时，麦克劳林级数的近似开始发散。因此，这提供了一种估计误差程度的方法。例如,自 $\ LN（1个+ R）= R - \压裂{R ^ 2} {2} + \ cdots$，近似 $r \％$引入误差 $\压裂{r ^ 2} {2} \$．

有关详细信息，请参见这个讨论．

贷款的年利率（APR）是每年的信贷成本，表现为贷款金额的百分比。这是收取借款（或制造由投资）按年率计算，表示为代表在贷款期限内资金的实际成本每年一个百分比数字。它是指由借款人支付给金融机构的速度。

例如，信用卡可能会将APR表示为 $20 \$．这意味着，谁使用他们的信用卡持卡人，使$ 100购买，并且不还钱365天，可以预期在那个时间段结束时欠$ 20的兴趣。

APR并没有指定复利的期限，仅仅是年利率，无论利率是什么(称为名义利率)，无论复利的期限是什么，加上费用和额外成本。是的，这意味着年利率通常比名义利率要高，因为这包括了与交易相关的任何费用或额外成本。

贷款的APY是每年兴趣投资所赚取的金额，表达为截至截止日期的百分比。随着利益复合的，APY通常高于利率。但是，它不考虑影响净收益的账户费用的可能性。APY通常是指金融机构向存款人支付的费率。

计算猿的公式

$\large \text{APY}=100 \left[\left(1 +\ frac{\text{Interest}}{\text{Principal}} \right)^{frac{365}{\text{Days in terms}}} -1 \right]。$